課題學習短路徑問題公開課PPT學習教案

1、會計學1 課題學習短路徑問題公開課課題學習短路徑問題公開課 復習引入 線段公理： 兩點之間，線段最短. 垂線段性質： 垂線段最短. AB 最短 路徑 問題 B Al 第1頁/共23頁 問題問題1 如圖，牧馬人從如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河地出發(fā)，到一條筆直的河 邊邊 l 飲馬，然后到飲馬，然后到B地牧馬人到河邊的什么地地牧馬人到河邊的什么地 方飲馬，可使所走的路徑最短？方飲馬，可使所走的路徑最短？ 思考：思考： 你能把這個問題轉化你能把這個問題轉化 為數(shù)學問題嗎？為數(shù)學問題嗎？ A B l 第2頁/共23頁 l A B CC 轉化為數(shù)學問題轉化為數(shù)學問題 當點當點C在直線在直線 l

2、的什么位置時，的什么位置時，AC與與BC的和最小？的和最?。?分析：分析： A B l 第3頁/共23頁 如圖，點如圖，點A、B分別是直線分別是直線l異側的兩個點，異側的兩個點， 如何在如何在 l 上找到一個點，使得這個點到點上找到一個點，使得這個點到點A、點、點B 的距離的和最短？的距離的和最短？ 聯(lián)想：聯(lián)想： 兩點之間，線段最短. l A B C 第4頁/共23頁 （1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？ （2）我們能否把A、B兩點轉化到直線l 的異側呢？ 轉化需要遵循的原則是什么？ （3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉化目標？ 分析：分析： l A B C l A B C 第5頁/共23頁

3、l A B C B 如下左圖，作點如下左圖，作點B關于直線關于直線 l 的對稱點的對稱點B . 當點當點C在直線在直線 l 的什么位置時，的什么位置時，AC與與CB的和最?。康暮妥钚?？ 如上右圖，在連接如上右圖，在連接AB兩點的線中，線段兩點的線中，線段AB最短最短. 因此，線段因此，線段AB與直線與直線 l 的交點的交點C的位置即為所求的位置即為所求. l A B C B 第6頁/共23頁 在直線在直線 l 上任取另一點上任取另一點C ， 連接連接AC 、BC 、B C 直線直線 l 是點是點B、B的對稱軸，的對稱軸， 點點C、C在對稱軸上，在對稱軸上， BC=BC，BC=BC AC+BC=

4、AC+BC=AB 在在ABC中，中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC， 即即AC+BC最小最小 l A B C B C 證明：如圖證明：如圖. 第7頁/共23頁 問題問題1 歸納歸納“一線兩點一線兩點” l A B C l A B C B l A B C 抽象為數(shù)學問題抽象為數(shù)學問題 用舊知解決新知用舊知解決新知 聯(lián)想舊知聯(lián)想舊知 解決實解決實 際問題際問題 A B l 第8頁/共23頁 問題問題2 （造橋選址問題）如圖，（造橋選址問題）如圖，A和和B兩地在同一條兩地在同一條 河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN橋造在何橋造在何 處可使從處可使從A到到B的路徑

5、的路徑AMNB最短？（假定河的最短？（假定河的 兩岸是平行的直線，橋要與河垂直兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.） 思考：思考： 你能把這個問題轉化你能把這個問題轉化 為數(shù)學問題嗎？為數(shù)學問題嗎？ 第9頁/共23頁 如圖假定任選位置造橋MN， 連接AM和BN，從A到B的路徑是 AM+MN+BN，那么折線AMNB在在什 么情況下最短呢？ 分析：分析： a B A b M N 由于河寬是固定的，因此當 AM+NB最小時，AM+MN+NB最小. 第10頁/共23頁 分析：分析： l A B C a B A b M N A 如左圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點 A，使AA等于河寬，則AA=MN，

6、AM=AN，問題轉化 為：當點N在直線b的什么位置時，AN+NB最??？ 參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決. 第11頁/共23頁 如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等 于河寬，連接AB交河岸于點N，在點N處造橋MN， 此時路徑AM+MN+BN最短. a B A b M N A 解：解： 第12頁/共23頁 另任意造橋MN， 連接AM、BN、AN. 由平移性質可知， AMAN，AMAN， AAMNM N. AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN. 在ANB中，由線段公理知AN+BN AB， AM +MN +BN AM+MN+BN. 證明：證明： a B

7、A b M N A N M 第13頁/共23頁 問題問題2 歸納歸納 抽象為數(shù)學問題抽象為數(shù)學問題 用舊知解決新知用舊知解決新知 聯(lián)想舊知聯(lián)想舊知 解決實解決實 際問題際問題 a B A b M N l A B C a B A b M N A 第14頁/共23頁 小結歸納小結歸納 a B A b M N A l A B C l A B C B 軸對稱軸對稱 變換變換 平移平移 變換變換 兩點之間，線段最短. 第15頁/共23頁 如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出 馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然 后回到馬廄. 請你幫他確定這一天的最短路線. 草 地 小 河 A 課堂練習 第16

8、頁/共23頁 已知：如圖，在l1、l2之間有一點A. 求作：分別在l1、l2上確定一點M、N， 使AM+MN+NA最小. l1 l2 A M N 第17頁/共23頁 l1 l2 如圖，作點A關于l1和l2的對稱點A1、A2， 連接A1A2，交l1于M點，交l2于N點. 連接AM和 AN，則AM+MN+NA最小. 因此，那天這樣走路線最短. M N A1 A A2 方法歸納：方法歸納：“兩線一點兩線一點”要作兩次軸對稱要作兩次軸對稱 第18頁/共23頁 課堂小結 AB 線段公理： 兩點之間，線段最短. 最短 路徑 問題 垂線段性質： 垂線段最短. B Al a B A b M N A l A B C B 第19頁/共23頁 教材復習題13 第15題. 課后作業(yè) 1.必做作業(yè) 第20頁/共23頁 你也許很喜歡臺球，在玩臺球過程中也用到數(shù)學知識. 如圖，四邊形ABCD是長方形的球桌臺面，有兩個球分別位 于P、Q兩點上，先找出P點關于BC的對稱點P，連