高等數(shù)學(xué) 洛必達(dá)法則

1、2021/6/161 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式 一、一、 型未定式型未定式 0 0 第二節(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)法則 第三三章 2021/6/162 )( )( lim xg xf 微分中值定理 函數(shù)的性態(tài) 導(dǎo)數(shù)的性態(tài) 函數(shù)之商的極限 導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化 0 0 ( 或 型) )( )( lim xg xf 本節(jié)研究本節(jié)研究: 洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/163 一、一、 0)(lim)(lim) 1 xFxf axax )( )( lim)3 xF xf ax 存在 (或?yàn)?) )( )( lim )( )( l

2、im xF xf xF xf axax ,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf 0)( x F且 定理定理 1. 型未定式型未定式 0 0 (洛必達(dá)法則) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/164 ( 在 x , a 之間) 證證: 無妨假設(shè), 0)()(aFaf在指出的鄰域內(nèi)任取 ,ax 則)(, )(xFxf在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯 0)(lim)(lim) 1 xFxf axax 故 )()( )()( )( )( aFxF afxf xF xf )( )( F f )( )( lim xF xf ax )( )( lim F f ax )( )( lim x

3、F xf ax )3 定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件: 西定理?xiàng)l件, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( )( lim)3 xF xf ax 存在 (或?yàn)?) ,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf 0)( x F且 2021/6/165 推論推論1. 定理 1 中ax 換為 , ax, ax,xx 之一, 推論推論 2. 若 )( )( lim xF xf 滿足定且型仍屬)(, )(, 0 0 xFxf 理1條件, 則 )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf )( )( lim xF xf 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立. ,x )( )( lim )( )

4、( lim xF xf xF xf axax 洛必達(dá)法則 定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/166 例例1. 求. 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 解解: 原式 lim 1 x 型 0 0 26 6 lim 1 x x x2 3 注意注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 ! 26 6 lim 1x x x 1 6 6 lim 1 x 33 2 x 123 2 xx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/167 例例2. 求. arctan lim 1 2 x x x 解解: 原式 lim x 型 0 0 2 2 1 lim x x x 1 2 1

5、1 x 2 1 x 1 1 lim 2 1 x x 思考思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim ( n 為正整數(shù)) ? 型 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/168 二、二、 型未定式型未定式 )(lim)(lim) 1xFxf axax )( )( lim)3 xF xf ax 存在 (或?yàn)? )( )( lim xF xf ax 定理定理 2. 證證: )( )( lim xF xf ax 僅就極限存在的情形加以證明 . )( )( lim xF xf ax (洛必達(dá)法則) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf 0)(

6、 x F且 2021/6/169 1)0 )( )( lim xF xf ax 的情形 )( )( lim xF xf ax lim ax )( 1 xF )( 1 xf lim ax )( )( 1 2 xF xF )( )( 1 2 xf xf )( )( )( )( lim 2 xf xF xF xf ax)( )( lim )( )( lim 2 xf xF xF xf axax )( )( lim )( )( lim1 xf xF xF xf axax )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 從而 型 0 0 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20

7、21/6/1610 2) 0 )( )( lim xF xf ax 的情形. 取常數(shù),0k ,0 k k xF xf ax)( )( lim )( )()( lim xF xFkxf ax )( )()( lim xF xFkxf ax )( )()( lim xF xFkxf ax k xF xf ax)( )( lim )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf axax 可用 1) 中結(jié)論 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1611 3) )( )( lim xF xf ax 時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 ) 說明說明: 定理中ax 換為 之一,

8、條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立. , ax, ax,x x,x 定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1612 例例3. 求. )0( ln lim n x x n x 解解: 型 原式 1 1 lim n x x xn n x xn 1 lim 0 例例4. 求求 解解: (1) n 為正整數(shù)的情形. 原式 0 x n x e xn 1 lim x n x e xnn 2 2 ) 1( lim xn x e n ! lim . )0, 0(lim n e x x n x 型 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1613 例例4. 求. )0, 0(li

9、m n e x x n x (2) n 不為正整數(shù)的情形. n x 從而 x n e x x k e x x k e x 1 由(1)0limlim 1 x k x x k x e x e x 0lim x n x e x 用夾逼準(zhǔn)則 k x 1 k x 存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時(shí), 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1614 . )0(0 ln lim n x x n x 例3. 例4. )0, 0(0lim n e x x n x 說明說明: 1) 例3 , 例4 表明x時(shí), ,lnx 后者比前者趨于更快 . 例如, x x x 2 1 lim 2 1 lim x

10、 x x x x x 2 1 lim 而 x x x 2 1 lim 1 1 lim 2 x x 1 )0( x e, )0( nx n 用洛必達(dá)法則 2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1615 3) 若,)( )( )( lim時(shí)不存在 xF xf . )( )( lim )( )( lim xF xf xF xf 例如例如, x xx x sin lim 1 cos1 lim x x 極限不存在 ) sin 1 (lim x x x 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1616 三、其他未定

11、式三、其他未定式:,0 , ,00,1 型 0 解決方法解決方法: 通分 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 0 取倒數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 1 0 取對(duì)數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 例例5. 求).0(lnlim 0 nxx n x 型0 解解: 原式 n xx x ln lim 0 1 1 0 lim n x xxn 0)(lim 0 n x n x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1617 型. )tan(seclim 2 xx x 解解: 原式) cos sin cos 1 (lim 2 x x xx x x xcos sin1 lim 2 x x xsin cos lim 2 0 例例6. 求 機(jī)動(dòng)

12、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 0 取倒數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 1 0 取對(duì)數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 2021/6/1618 例例7. 求.lim 0 x x x 型 0 0 解解: x x x 0 lim xx x e ln 0 lim 0 e1 例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 0 取倒數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 0 0 1 0 取對(duì)數(shù) 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 2021/6/1619 例例8. 求 . sin tan lim 2 0 xx xx x 解解: 注意到 xsin 原式 3 0 tan lim x xx x 2 2 0 3 1sec lim x x x 2 2 0 3 ta

13、n lim x x x xx 22 tan1sec 3 1 x 型 0 0 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1620 n n n n e ln 1 1 例例9. 求. ) 1(lim n n nn 分析分析: 為用洛必達(dá)法則 , 必須改求. ) 1(lim 1 2 1 x xx x 法法1 用洛必達(dá)法則 型0 但對(duì)本題用此法計(jì)算很繁 ! 2 1 lim n n 法法2 ) 1(lim 1 2 1 n nn n 1 ln 1 n n e 2 1 lim n n n n ln 1 2 1 ln lim n n n 0 u1 u e 原式 例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 202

14、1/6/1621 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 型 00 ,1 ,0 型型0 型 0 0 型 g f gf 1 fg fg gf 11 11 g fy 令 取對(duì)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1622 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 設(shè) )( )( lim xg xf 是未定式極限 , 如果 )( )( xg xf 不存在 , 是否 )( )( xg xf 的極限也不存在 ? 舉例說明 . 極限 )1ln()cos1 ( cossin3 lim. 2 1 2 0 xx xx x x 說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式 x xx x x 1 2 0 cossin

15、3 lim 2 1 )1ln(xx )03( 2 1 2 3 分析分析: 2021/6/1623 分析分析: 2 0 3 cos1 lim x x x 3 0 lim x x 3. xx x x 1 sin 1 cotlim 0 原式 xsinx 1coslim 0 x xxxsin 2 2 2 1 03 lim x x x xcos1 2 2 1 x 6 1 6 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx xxx x 2 0 sin )sin(cos lim 2021/6/1624 , 1 x t 則 2 0 11221 lim t tt t 4. 求 xxxx x 122lim 2 3

16、解解: 令 原式 tt2 lim 0 2 1 )21 ( t 2 1 )1 ( t 2 )1 ()21 ( lim 2 3 2 3 2 1 0 tt t4 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1625 作業(yè)作業(yè) P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1626 洛必達(dá)洛必達(dá)(1661 1704) 法國數(shù)學(xué)家, 他著有無窮小分析 (1696), 并在該書中提出了求未定式極 限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達(dá)法 的擺線難題 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 , 在他去世后的

17、1720 年出版了他的關(guān)于圓 錐曲線的書 . 則 ”. 他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1627 求下列極限 : ;) 1 1ln(lim) 1 2 x x x x 解解: t t t t 1 )1ln( 1 lim 2 0 2 0 )1ln( lim t tt t . cossec )1ln()1ln( lim)3 22 0 xx xxxx x ; 1 lim)2 2 1 100 0 x x e x ) 1 1ln(lim) 1 2 x x x x )1 (2 lim 0tt t t 備用題備用題 t t t2 1 lim 1 1 0 2 1 ) 1 ( x t 令 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1628 令 , 1 2 x t 則 t t et 50 lim 原式 = t x e t 50 lim 0 t t e t 49 50 lim 2 1 100 0 1 lim)2 x x e x 解解: t t e !50 lim (用洛必達(dá)法則) (繼續(xù)用