專(zhuān)題09 不等式（知識(shí)梳理）（原卷版）

1、專(zhuān)題09 不等式（知識(shí)梳理）一、不等式的有關(guān)概念1、不等式的定義：用數(shù)學(xué)符號(hào)“、”連接的兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式表示不等關(guān)系的式子叫不等式。不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)：(1)不等符號(hào)、或；(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系。2、不等式的含義：不等式應(yīng)讀作“大于或者等于”,其含義是指“或者,或者”,等價(jià)于“不小于,即若或之中有一個(gè)正確,則正確。不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換：大于大于等于小于小于等于至少至多不少于不多于例1-1判斷(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)某隧道入口豎立著“限高米”的警示牌,是指示司機(jī)要安全通過(guò)隧道,應(yīng)使車(chē)的整體高度滿(mǎn)足關(guān)系為。 ( )(2)用不等式表示“與的差是非負(fù)數(shù)”為。

2、( )(3)不等式的含義是指不小于。 ( )(4)若或之中有一個(gè)正確,則正確。 ( )二、實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)與方法1、實(shí)數(shù)的兩個(gè)特征(1)任意實(shí)數(shù)的平方不小于,即。(2)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小,反之,可以比較大小的兩個(gè)數(shù)一定是實(shí)數(shù)。2、實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)如果是正數(shù),那么；如果等于零,那么；如果是負(fù)數(shù),那么。反之也成立,即；。(2)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大小,需歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào),至于差的值是什么無(wú)關(guān)緊要。3、比較兩數(shù)(式)大小的方法作差比較法作商比較法乘方比較法依據(jù),若,則,若,則應(yīng)用范圍數(shù)(式)符號(hào)不明顯,作差后可通過(guò)配方、因式分解等恒等變形手段將差化積或商的形式。同號(hào)兩數(shù)比較大小

3、或只是式之間比較大小。要比較的兩數(shù)(式)中有根號(hào)。步驟作差變形定號(hào)下結(jié)論作商變形判斷商值與的大小下結(jié)論乘方用作差比較法或作商比較法例2-1比較與的大小。變式2-1比較與的大小,其中。三、常用不等式的重要性質(zhì)名稱(chēng)式子表達(dá)性質(zhì)1(對(duì)稱(chēng)性)性質(zhì)2(傳遞性),性質(zhì)3(可加性)推論1：推論2：,性質(zhì)4(可乘性),推論1：,推論2： ()推論3：()例3-1用不等號(hào)填空：(1)若,則 ；(2)若,則 ；(3)若,則 ；(4)已知,則 。四、解一元二次不等式1、按項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)分類(lèi),即,。例4-1解不等式：。2、按判別式的符號(hào)分類(lèi),即,。例4-2解不等式。3、按方程的根、的大小來(lái)分類(lèi),即,。例4-3解不等式

4、()。五、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及確定1、直線(xiàn)：把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：(1)直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足；(2)直線(xiàn)一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足,(3)直線(xiàn)另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足。2、二元一次不等式表示的平面區(qū)域 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的大眾部分。(1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),把直線(xiàn)：畫(huà)成實(shí)線(xiàn),表示平面區(qū)域包括這一邊界直線(xiàn)；畫(huà)成虛線(xiàn)表示平面區(qū)域不包括這一邊界直線(xiàn)。(2)對(duì)于直線(xiàn)同一側(cè)的所有點(diǎn),把它的坐標(biāo)代入所得的符號(hào)都相同。(3)作二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法：直線(xiàn)定界：畫(huà)直線(xiàn)(注意實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)之分)；特殊點(diǎn)定域：取特殊點(diǎn) (當(dāng)時(shí)常取原點(diǎn)(0,

5、0)作測(cè)試點(diǎn)；當(dāng)時(shí),可取或作測(cè)試點(diǎn))代入二元一次不等式,如果滿(mǎn)足,則點(diǎn)所在的平面區(qū)域就是表示的平面區(qū)域,否則是點(diǎn)所在的平面區(qū)域的另一側(cè)的平面區(qū)域。 簡(jiǎn)記為：直線(xiàn)定界,特殊點(diǎn)定域。例5-1下列說(shuō)法正確的是( )。A、由于不等式不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一區(qū)域B、點(diǎn)在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)C、不等式與表示的平面區(qū)域是相同的D、第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式表示變式5-1已知點(diǎn),若、兩點(diǎn)在直線(xiàn)的同側(cè),則的取值范圍是( )。A、 B、 C、 D、例5-2畫(huà)出不等式表示的區(qū)域。變式5-2寫(xiě)出下列表示平面區(qū)域的二元一次不等式。六、簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃1、線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件

6、下的最大值和最小值的問(wèn)題,統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。名稱(chēng)意義約束條件由變量,組成的不等式組線(xiàn)性約束條件由,的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量,的函數(shù)解析式線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于,的一次解析式可行解滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題例6-1判斷：(1)可行域是一個(gè)封閉的區(qū)域。 ( )(2)在線(xiàn)性約束條件下,最優(yōu)解是唯一的。 ( )(3)最優(yōu)解一定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解。 ( )(4)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題一定存在最優(yōu)解。 ( )2、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值線(xiàn)性目

7、標(biāo)函數(shù)()對(duì)應(yīng)的斜截式直線(xiàn)方程是,它表示斜率為,在軸上的截距是的一條直線(xiàn),當(dāng)變化時(shí),方程表示一組互相平行的直線(xiàn)。(1)當(dāng),截距最大時(shí),取得最大值,截距最小時(shí),取得最小值；(2)當(dāng),截距最大時(shí),取得最小值,截距最小時(shí),取得最大值。線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題一般用圖解法,其步驟如下：(1)算：根據(jù)題意,設(shè)出變量,；列出線(xiàn)性約束條件；確定線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)；(2)畫(huà)：畫(huà)出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的大眾區(qū)域)和線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)；(3)移：利用線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)作平行直線(xiàn)系(為參數(shù))平行移動(dòng),找到直線(xiàn)(為參數(shù))在可行域上使取得欲求最值的位置,以確定最優(yōu)解,給出參考答案；(4)求：求出取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)(解方程組)及最大

8、值和最小值；(5)答：給出正確參考答案。例6-2若目標(biāo)函數(shù)中變量、滿(mǎn)足約束條件。(1)試確定可行域的面積；(2)求出該線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中所有的最優(yōu)解。變式6-1設(shè),式中變量、滿(mǎn)足條件,求的最大值和最小值。變式6-2設(shè)、滿(mǎn)足約束條件,求的最大值和最小值。3、非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題(1)型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方,特別地,型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方。(2)型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率。(3)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的倍。例6-3如果點(diǎn)在平面區(qū)域上,點(diǎn)在曲線(xiàn)上,那么的最小值為( )。A、 B、 C、 D、例6-4若、滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為( )。A、 B、 C

9、、 D、4、線(xiàn)性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題當(dāng)最值是已知時(shí),目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線(xiàn)斜率有關(guān),解題時(shí)應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知,且約束條件中含有參數(shù)時(shí),因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動(dòng)的,所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口,先確定最優(yōu)解,然后變動(dòng)參數(shù)范圍,使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可。平面區(qū)域的確定方法是“直線(xiàn)定界、特殊點(diǎn)定域”,二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的半平面的交集。(1)條件不等式組中含有參變量例6-5若實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足,目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)( )。A、 B、 C、 D、(2)目標(biāo)參數(shù)中設(shè)置參變量例6-6已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足,若的最大值為,最小值為,則實(shí)數(shù)的

10、取值范圍為( )。A、 B、 C、 D、七、基本不等式1、基本不等式原始形式：(1)若,則；(2)若,則。2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若,則。3、基本不等式的兩個(gè)重要變形：(1)若,則；(2)若,則。4、利用均值不等式求最值的條件：“一正,二定,三相等”。(1)一正：各項(xiàng)均為正數(shù),若各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),則可以提負(fù)號(hào)；(2)二定：如果兩個(gè)正數(shù)的積是定值,則有最小值。如果兩個(gè)正數(shù)的和是定值,則有最大值。(3)三相等：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最值。5、常用結(jié)論：(1)：若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)；若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)；(2)(,)：若,則(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”)；若,則(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”)；(3)

11、(,)：若,則(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”)；若,則(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”)；(4)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)；(5)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)；(6)基本不等式鏈：若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)。注：算術(shù)平均數(shù)：；幾何平均數(shù)：；調(diào)和平均數(shù)：；平方平均數(shù)：。例7-1設(shè),證明不等式：。變式7-1已知、為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證：。例7-2已知,求證：。變式7-2已知且,求證：。例7-3已知,則的取值范圍為( )。A、 B、 C、 D、變式7-3已知,則的取值范圍為( )。A、 B、 C、 D、例7-4已知(),則的取值范圍為( )。A、 B、 C、 D、變式7-4已知,則的取值范圍為( )。A、 B、 C、 D、例7-5已知,則的最小值為( )。A、 B、 C、 D、變式7-5已知正數(shù)、滿(mǎn)足,的最小值為,則的值為( )。A、 B、 C、 D、例7-6圍建一個(gè)面