奇異系統(tǒng)的分解

1、第6章奇異系統(tǒng)的分解6.1導論在這一章中，我們開始關(guān)注更加一般類型的線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解，即線性奇異（descriptor）系統(tǒng)。奇異系統(tǒng)通常在文獻中也稱為廣義系統(tǒng)（generalized systems）,出現(xiàn)在許多實際應用中，包括工程系統(tǒng)，經(jīng)濟系統(tǒng)，網(wǎng)絡分析和生物系統(tǒng)中（可參見Dai 43 , Kuijper 79和Lewis 80）。事實上，現(xiàn)實生活中的許多系統(tǒng)在本質(zhì)上是奇異的。因為缺乏有效的工 具來處理奇異系統(tǒng)，常常用正則系統(tǒng)來簡化或近似它。在近三十年中，不管是利用代數(shù)還是幾何方法的線性奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析都得到了許多學者的相當關(guān)注（參見Chu和Mehrmann37， Chu 和 H

2、o 38，F(xiàn)liess 53，Geerts 57，Lewis 80-82，Lewis 和 Ozcaldiran 83， Loiseau 93， Malabre 97，Misra 等99， Van Dooren 143， 144， Verghese 146， Zhou 等 161，以及其中的參考文獻）。一般說來，幾乎所有涉及奇異系統(tǒng)的研究工作都是對相應正 則系統(tǒng)的自然推廣，盡管這些推廣并不是直接的。對非奇異系統(tǒng)，象有限和無限零點結(jié)構(gòu)，可逆結(jié)構(gòu)這樣的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性質(zhì)已經(jīng)充分展示了在解決各種控制問題中所發(fā)揮的重要作用，包括打，控制和干擾解耦（參考 22和120）。然而奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性和它們在奇異系統(tǒng)控

3、制問題中的應用在文獻中就沒有得到 應有的重視。在這一章中，我們將給出一般多變量線性奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解技術(shù)。和第5章的系統(tǒng)相對應，這樣的技術(shù)可以捕獲和揭示一般奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。也可以認為是第5章正則系統(tǒng)對應結(jié)果的自然推廣。但是很快就會發(fā)現(xiàn)對一般多變量奇異系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)分解更 加復雜?？梢灶A計這樣的分解技術(shù)能夠成為解決大量奇異系統(tǒng)控制問題的有力工具，如戸 和匚 控制，模型降階和干擾解耦，這只是其中的幾個例子而已。這一章的結(jié)果，特別是對連續(xù)時間系統(tǒng)，主要是根據(jù)64,65中已有的研究結(jié)果。我們考慮一個連續(xù)時間系統(tǒng)，表示為Ex AxBuyS : _. y = C x D u,其中，：一氐肚和分別是系統(tǒng)的

4、狀態(tài)， 輸入和輸出和八是具有適當維數(shù)的定常矩陣。如果|，則系統(tǒng)丁是奇異的。通常為了避免系統(tǒng)的解的任何歧義性，在整章中我們都假設給定的奇異系統(tǒng)是正規(guī)（regular）的，即對所有的 有1 1： / 1L傳統(tǒng)上，Kronecker規(guī)范形（嚴格等價變換下的矩陣束（matrix pencil ）的傳統(tǒng)形式）在奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解分析中得到了廣泛應用。Malabre 97提出了一種幾何方法和引入了奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不變性。從那篇文章中可以看出有些定義和其它直接從矩陣束（matrix pencil ）工具中推出的結(jié)果是一致的。它把許多幾何和結(jié)構(gòu)方面的 結(jié)果從正則系統(tǒng)推廣到了奇異系統(tǒng)。在第3章的正則系統(tǒng)中已經(jīng)看到

5、Kronecker規(guī)范形揭示了系統(tǒng)的有限和無限零點結(jié)構(gòu)（即不變指數(shù)，in varia nt in dices），以及左和右零空間結(jié)構(gòu)?？梢园淹瑯拥募夹g(shù)移植到奇異 系統(tǒng)不變指數(shù)的定義中（見Malabre 97）。我們知道如果存在具有適當維數(shù)的非奇異定常矩(昌 A/】N)P = s Af2,則兩個一維的矩陣束 宀 和;陸一 卷是嚴格等價的。在Gantmacher 56中已經(jīng)證明在嚴格等價意義下，任何矩陣束辰潦瀘都可以變換到規(guī)范準對角形，即Q(sM-N)P =在本章中，我們將關(guān)注blkdiuglf/t/j Li、Rm】TsU 000 (6.3)Eo AB 00-C -D一 A BC D即和匸相關(guān)聯(lián)的

6、（Rosenbrock）系統(tǒng)矩陣束。在（6.1.3 ）中，人和.分別是；x (A: + 1)(6,1.5)Rk ：=-1是約當規(guī)范形，二 *有以下 空-曲 個束作為它的對角塊,-1冉一 0譏l6,1.6)“-乩有以下個束作為j = Z d, i = 2，H是幕零和約當規(guī)范形,它的對角塊,Aij-41 -+i (0)；=-ft1 _(6.1.7)i = 1,2,心則& 一盡）” J J = 1,2,.衛(wèi)汀是在i =的有限基本因子。指標集 和 分別是右和左最小指數(shù)。:丁汀一二入 *、是無限基本因子。 的結(jié)構(gòu)不變性定義是基于它的系統(tǒng)束的不變指數(shù)。對于奇異系統(tǒng)，右和左可逆指數(shù)分別是系統(tǒng)束的右和左的最小

7、指數(shù)，奇異系統(tǒng)的有限和無限零點結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)束的有限和無限基本因子相關(guān)聯(lián)。注意奇異系統(tǒng)L的系統(tǒng)束的不變指數(shù)的計算非常簡單。不失一般性，我們假設式是血 1.X)所以，:-和；就有相應地分塊起歧義的情況下，我們有時把 寫成.。這里的是微分算子或者是Laplace變換的變把（6.1.4）的系統(tǒng)束重新寫為忌=容易發(fā)現(xiàn)一的不變指數(shù)等價于由 : ;所表示的正則系統(tǒng)的不變指數(shù)。因而可91）。從（6.1.10）也可得 奇異系統(tǒng)的Kronecker規(guī)范形并 因為它和正則系統(tǒng)的是一樣的！在這一章中，我們的精力并以計算出所有的不變指數(shù)（參見 不能捕獲系統(tǒng)的所有結(jié)構(gòu)特性， 不放在不變指數(shù)的計算上，而是在推導可以把給定系統(tǒng)

8、的狀態(tài)空間分解到幾個不同部分的構(gòu) 造性算法，這些部分和有限和無限零點動態(tài)，以及給定系統(tǒng)的可逆結(jié)構(gòu)直接相關(guān)。有趣的是奇異系統(tǒng)和正則系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)方面有本質(zhì)的差別。對于奇異系統(tǒng)來說，我們很 快就會發(fā)現(xiàn)有些狀態(tài)變量完全是零，表明奇異系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡通常并沒有張成整個間，有一些則是輸入變量和它們的導數(shù)的線性組合。這一章所給出的分解技術(shù)將能夠自動和顯示地分離出奇異系統(tǒng)的允余動態(tài)（redundant dynamics），而Kronecker規(guī)范形是做不到這點的。除了這些特有的性質(zhì)以外，我們進一步發(fā)現(xiàn)剩下的狀態(tài)變量和第5章的正則系統(tǒng)有相似的結(jié)構(gòu)特性。前面已經(jīng)指出，在解決一系列奇異系統(tǒng)控制問題方面，和正則系統(tǒng)相對應

9、，這一章中的技術(shù)應該能夠發(fā)揮同樣的作用。我們要強調(diào)的是有關(guān)奇異系統(tǒng)和控制的研究還遠遠不夠全 面，我們相信這一章的結(jié)果是對付許多奇異系統(tǒng)和控制問題的重要工具。本章的安排如下。6.2節(jié)是對SISO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的算法。6.3節(jié)給出了一般 MIMO系統(tǒng) 結(jié)構(gòu)分解算法和這類系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。6.3節(jié)中結(jié)果的證明放在 6.4節(jié)中。6.5節(jié)處理離散時間系統(tǒng)。在這一章中，表示，的階導數(shù)，其中是非負整數(shù)。稍許有些不嚴格，在不會引量。6.2 SISO奇異系統(tǒng)在這一節(jié)中，我們考慮（6.1.1）中二一 :一 I時的奇異系統(tǒng)。正如所料， SISO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分 解的計算要比一般多變量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的計算簡單的多。為簡潔起見，我

10、們在這一節(jié)中假設 &的狀態(tài)變量 在一時是/的連續(xù)函數(shù)。我們有下面的定理。定理6.2.1考慮（6.1.1）中 ? 時的奇異系統(tǒng)_ ,滿足通常的正規(guī)性假設，即對J有:：匸匕七一.產(chǎn)；。存在非奇異的狀態(tài)，輸入和輸出變換丨，：匕和必，以及一個.的非奇異矩陣I ，它的元素是的多項式，所有這些給出了用以下方程組描述的的結(jié)構(gòu)分解,/陽i x = rsi, i = 1.e Rd,眄=d2* ?Xd7叭卄y f帀 e Kni, % e nr篤盹e劇匕y =嘉也u Viu(62 J)(6.2.2)(623)(62.4)和情形1 :如果汽I -：，即不存在，則有 3E 0了% =五何,広軋=+ Eg* y =+ D

11、ii（叫情形2 :如果，則有 0, xe = a胡巧： 為i = aaa +教11 =趾2 忑d務，= M血 + ddVd + 五何 t y = y,B =*1 叭如=100 1000 *Wd 丿_ 00 010 一LoJ如果 I,則u=C =OlCl 為2 * vt?d 1* = Cvl,如果：，則1樂=為,冠=U,A = A7 B = aB,C = cb =如我們有以下兩種不同情況。情形1 ,相應于定理6.2.1的情形1。在這種情況下，很容易得到，嘰吐=0 ,斑=疣，Th = 7T +卩和x& = (A BD1 C)xa + BD1 y =(6.2.2H)如果令巳三三息:，則y = Cx

12、+ Dau Cx + Duv(6+2.29)情形2 -，相應于定理6.2.1的情形2。根據(jù)定理5.2.1,存在非奇異的變換I ,和I，當我們對(6.2.27)的系統(tǒng)進行坐標變換x = f6 = ra (), y roj,U =-=五何，(6.2.30)Ia根據(jù)(6.2.22)可得i =衛(wèi)豳adCd_ El Afrfa Add _龍+0 _ 如(6.231)和3? = 0 Cj x.(6.232)其中：，和的形式是(6.233)和令16.2.34)U =廿五=qYU =私=憎3a由此完成了給定SISO奇異系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解算法。000Cr10101-0011U(J10100E =00010,/L =

13、101017 B =000000010100lo011oJ_10101-.1和c =01000,D0.例6.2.1我們考慮（6.1.1）的奇異系統(tǒng)，其中(6235)(ft.2.36)L41421.4142-0,7071-L4142-0.7071001.22480-1,22480-L4142一 1.4142L41421.41420-101100010我們首先選擇，并得到0.70710.4083000000J07101Q0-0.816500000 -0.707100.-0.70710.4083010 _ 10 000 0000001 00000000PEQ =00 100,PAQ =0000000

14、 0000001000 000 j00001PB =其中宀一：;和和其中 0 0 0= 0 0 00 0 0和N =注意；非零，丁已經(jīng)是a = -1,.以及輔助的正則系統(tǒng)其中0.7071L22471,414210CQ = 0 0 0.7071 0 1 ,給定的奇異系統(tǒng)可被分解成下面的子系統(tǒng):(Xi = Ai Xi + Bi u7 Si : I yi = Ci xi,(N 2 = X2 + B-2 y2 Cq 引，07071,Bt =-1.2248 L Ci = 0 0 0,7071 ,1.4142=0,1 r . b2 = J , c2 = o 1 .(6.2.15)所要求的形式，我們有u =

15、 u = u, a0 0 0 r -0.70710 0 0,B =L22480 0 0一 1.414210 0 0.70715 = o,它對應了 SISO-SDDS步驟3的情形2。根據(jù)定理521的結(jié)果，我們得到所需的狀態(tài)，輸出 和輸入變換矩陣，0 -107071= 1, fi = -i,f& =10-1.2248001*4142000100-10110-1.224801.22180-1.4142-2.121302.12131,41420-1-111它把輔助正則系統(tǒng)變換到所需的結(jié)構(gòu)形式：000 1r o i000,事呃A 二 o , r-1 = o o 11 000E最后，所有需要的變換是和00

16、0.4083-0.707101000100-0,8165010000-1010,408307071-1幾=和Fi = 1】= 1,0000000000001000001000001這些變換把奇異系統(tǒng)變換成特殊形式分解后的系統(tǒng)可以重新寫為玄扛0000% +010 li,y=6 + Vd 二- Vd-叼6.3 MIMO奇異系統(tǒng)我們首先在下面的主要定理中總結(jié)多變量奇異系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解。也將給出所有相關(guān)的特性。為了陳述清晰，結(jié)構(gòu)分解構(gòu)造性算法以及所有特性的證明放在6.4節(jié)中。定理6.3.1 （ SDDS）考慮（6.1.1）的多變量線性奇異系統(tǒng)，對， 滿足:（nM - 壬二。貝寸1 存在和坐標無關(guān)的非負整數(shù)

17、，,，-, 和如果；J門，則有正整數(shù) ，：；_丄：.匚.宀：，和2 存在非奇異的狀態(tài)和輸出定常變換 和；匸序宀，以及一個；的非奇異輸入變換：,它的逆矩陣的元素是一些的多項式（即它的逆包含了各種微分算子），一個一的非奇異變換I八，它的元素是的多項式，所有這些給出了的結(jié) 構(gòu)分解，并且顯式地揭示了結(jié)構(gòu)特性。V:的結(jié)構(gòu)分解可以用下面一組方程描述:(如X,=(城il Wd2*ydnid)如叫f(6,3.3)(6,3.5)其中7小5的特征值都在0 ,化=Beoo + Becuc + Bedd + 席 A (何)眄(6.3.6)血=且豳 + B0a0 + Lyyy + 憶陰(蓉)忑卻ib Abbb + ob

18、 妙0 + bd?/d + nLbx(ti)TZj(6.3.7)J/b = Cb雷b + Cb聲丈 +富m、(氐3*R)ic二幾小匚+盡農(nóng)切+匸閔珈+匚小恥+民幾人偽盹+民扯+冉厶“和王)恥=CoaiTa + Cobb + 血 + Codd + 呦 + Cg叭 + 冉Gh黑)応巧(6.3. 10) 對每個：和一些定常的具有適當維數(shù)的子矩陣，還有元素是的多項式的矩陣有龍di = 4?嚴曲 十L迫的 + Lidyd +用G/對血/叫+ B(Ji | uai + 詛不& + Mihxb + Micxc + 力入哲j%ij , (6-3 J 1) m/ym Cqi 忑j +彌旳 + 醫(yī)i/d = Cd

19、T” +Gi詢* +出01朋(卅)曬 t (,3.12)這里狀態(tài)，,和的維數(shù)分別是，和 j - 而對每個 亠*寧，： 的維數(shù)是?？刂剖噶?， 和的維數(shù)分別是，丨和:-. -：i，而輸出變量小，.和 的維數(shù)分別是 ， 和 汁、_尸小.：宀。矩陣對 i f 是可觀的，；，是可控的，三元組 ：；的形式是切二 0 咲J % = ； =1 0 0,(6.3J3)假設(宅二以以上 Hl的方式排列，則矩陣，：有特殊的形式厶d 二厶L 厶厘 * T ii1 0 * 0,(6.3,14)其中最后一行全為零。定理6.3.1中結(jié)構(gòu)分解的構(gòu)造性證明在下一節(jié)中給出。以下的定理6.3.1的推論給出了結(jié)構(gòu)分解的簡明矩陣形式，

20、建立了和原系統(tǒng)的等價關(guān)系。推論的證明沿用定理6.3.1的構(gòu)造性證明過程。推論6.3.1定理6.3.1中I的結(jié)構(gòu)分解可以表示如下:01(6.345)幾00000-00000000000000人豳（杰）0000Aib0000000g0Lf 盂(ti)0-00000ridi-EM)0e = re(jf)；rs = s - Ez + 亞何o000000 00 00 00 00 00 0+巫,a = re()4rs =血 + 冉亞 G)ro o0 (k(6.3.16)eLda o M Moacb他 o b b X 忸4d LLHadClEbclGi cdGlB =幾jBT何二耳=c = r-cr, =

21、g + 驗=e a b c d UBOBOBOBOBOo % o 0鳥0(6.3J7)童zti cocdGD = iDiG) = Dg + 驗=其中卜是一個元素為一些0 00aBob 1“Dd -acoobcoo+(6JJ8)(6.3 J 9)-多項式的丫 -矩陣,Cq 00Co直GjuCoc Goa t(6.3,20)驗帝+ Fu（s）tf = 監(jiān)(6.3.21)其中小是元素為一些-多項式的矩陣。推論6.3.2令為一個奇異系統(tǒng)，用定常矩陣四元組-|來表示，它的傳遞函數(shù)為比(“)=- 4s)_1s + 2-(6.3.22)令：九|為原奇異系統(tǒng)(6.1.1)的傳遞函數(shù)，則H&) = C(tiE

22、A)_1B + D =幾忑(對17】6),(6.3+23)這表明原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和用表示的傳遞函數(shù)之間由非奇異變換相聯(lián)系。接下來，我們要指出的是假設 v的狀態(tài)變量 在一：丄是的連續(xù)函數(shù)并沒有失去一 般性，這只是意味著從到 1 |時沒有跳變。則很容易證明(634)意味著對所有有:、一。在這樣一個比較弱的假設下，我們在下面總結(jié)結(jié)構(gòu)分解中狀態(tài)變量的物理特性：1.狀態(tài)：是純靜態(tài)的，對所有時間都是零。它既不能被系統(tǒng)輸入所控制，也不受其它狀態(tài)的影響。2狀態(tài)也是靜態(tài)的，包含了系統(tǒng)輸入變量和它們的適當階次導數(shù)的線性組合。3. 狀態(tài)既不能被系統(tǒng)輸入直接控制，也不受系統(tǒng)輸出的直接影響。4. 輸出-和狀態(tài)，不受任何

23、輸入的直接影響，盡管它可以受到輸出-的間接控制。 而且 i 形成了可觀測對。這表明狀態(tài) “，是可觀的。5. 狀態(tài)直接受輸入 控制，但對任何輸出沒有直接影響。形成了可控對。 這表明狀態(tài)：是可控的。6變量通過一組 忙個積分器控制輸出。而且所有的狀態(tài)二 是可控和可觀的。很快就會發(fā)現(xiàn)給定系統(tǒng)的所有不變特性都很容易通過我們的結(jié)構(gòu)分解得到。從定理6.3.1中的結(jié)構(gòu)分解中也不難和有趣地發(fā)現(xiàn)給定系統(tǒng)存在允余的狀態(tài)變量。因為狀態(tài)變量-始終為零，狀態(tài)變量:只是系統(tǒng)輸入變量和它們的導數(shù)的線性組合，直接應用該技術(shù)就可以把奇異系統(tǒng)變換到一個等價的非奇異系統(tǒng)。所以從輸入-輸出的關(guān)系來看系統(tǒng)的話，給定的奇異系統(tǒng)可以等價地變

24、成以下的非奇異系統(tǒng)：且=工牡 + Eadi/對 +(&3*24)丘b = 4bbb + Elb MO + bdyd? yb = Cb忑b?3*2鄉(xiāng))龍C =+ BgJ/O + cd?/d + cb/b + Ec 壯 u,yo = Cg% + Cobb + Cocc + Codd + 地b(6.3.27)對每個 i咯H =xh + L詢血+ L加d/咖、+ J 14曲 + 人軌工出 +忑t + AJjj忑（|jy Cobs ：=CgCqc 1Bc AfcaA/( j(6.331)可以用與正則系統(tǒng)同樣的方式來定義奇異系統(tǒng)的不變零點 的 Kronecker 規(guī)范形（參見 Malabre 97）。（參

25、見第3章），或者是根據(jù)定義6.3.2 （不變零點）如果rankJ(a) n + nonnrankfr(j),(6332)其中H=C(aE 一+ D、(6.333)時（HQ）表示/的常態(tài)秩，就是定義為在整個具有實系數(shù)的上的有理函數(shù)域 上的秩， :是 （6.1.4）中的和E相關(guān)的系統(tǒng)矩陣束。（6.1.6）中的.；就對應了的不變JH零點。以下的特性表明Y的不變零點可以很直接的方式從結(jié)構(gòu)分解中得到。特性6.3.2 （不變零點，常態(tài)秩）丁的不變零點是的特征值。的常態(tài)秩等于o我們注意到的約當規(guī)范結(jié)構(gòu)對應了系統(tǒng)的Morse 100 i列。實際上在許多應用中，進一步地分離和不變零點動態(tài)相關(guān)聯(lián)的狀態(tài)變量是有用和

26、必須的，即把分解成穩(wěn)定部分，不穩(wěn)定部分以及和虛軸上不變零點相關(guān)的部分。根據(jù)定理421，存在一個非奇異的狀態(tài)變換，比如說是，使得(6.3J4)孟 00TlA =0 越a 0 啟話其中遼d 為穩(wěn)定的不變零點,J殳為虛軸上的不變零點，心心曲是不穩(wěn)定的不變零點。給定系統(tǒng)廠的無限零點結(jié)構(gòu)可被定義為（6.1.7）中廠 |的Kronecker規(guī)范形的相應的塊結(jié)構(gòu)。也可以應用眾所周知的Smith-McMillan形或Morse100的.列來定義。特性6.3.3 （無限零點結(jié)構(gòu)）具有個0階的無限零點。的無限零點結(jié)構(gòu)（大于0階） 為醴（E） = 如件，g 叫,（-335）即對每個-分別有一個-階的無限零點。注：特

27、性6.3.3只對變換后的系統(tǒng)成立。由于對系統(tǒng)輸入求導的緣故，如（ 原系統(tǒng)的無限零點結(jié)構(gòu)和（6.3.35）有些不同。6.1.7 ）所定義的我們所給的結(jié)構(gòu)分解也可以給出奇異系統(tǒng)的可逆結(jié)構(gòu)。從本質(zhì)上講，對于矩陣(6.4.3)L(s)H(n) = Im.(6.336)則系統(tǒng)或等價地廠：是左可逆的；如果存在一個有理矩陣函數(shù)-使得H (&) R =Ip.(6.337)則系統(tǒng)是右可逆的；進一步地，如果既是左可逆，又是右可逆的，則v就是可逆的；如果既不是左可逆，又不是右可逆，則 匸是不可逆或是退化(degenerate)的。匸的具體的可逆結(jié)構(gòu)同樣和(6.1.5) 中 的Kronecker規(guī)范形中相應的塊結(jié)構(gòu)的

28、左和右的最小指數(shù)有 關(guān)。實際上右和左最小指數(shù)分別分別等價于的可觀性指數(shù)和/的可控性指數(shù)，這些分別對應了 Morse 100的L；和L列。特性6.3.4 (可逆結(jié)構(gòu))是右可逆的，當且僅當宀(因此)不存在；是左可逆的，當 且僅當(因此)不存在；是可逆的，當且僅當，和；都不存在。6.4定理6.3.1和特性的證明我們現(xiàn)在給出前節(jié)中主要結(jié)果的完整證明，即定理6.3.1和它的所有結(jié)構(gòu)特性。定理6.3.1的證明 下面是一般多變量奇異系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的逐步算法。MIMO-SDDS步驟1： 初步分解這一步是把給定的奇異系統(tǒng)分解成一個正則子系統(tǒng)和一個具有特殊結(jié)構(gòu)的奇異子系 統(tǒng)。這一步和6.2節(jié)中SISO-SDDS步驟

29、1相同。就是要找到兩個非奇異矩陣薩心和I使得PEQ彳獰対啦=恃(6.4.1)和CQ = CL C27(6.4.2)其中,，和：是具有適當維數(shù)的矩陣，是一個具有適當指數(shù)的幕零矩陣，比如說是，即而：=匚。等價地，丫可被分解成下面 兩個子系統(tǒng):?/i = Ci xi + D u,N 2 = X2 + B2 U. 妙2 = C2盹,其中工底叫和x-2 lRnj，化1 +冗2 =幾和甘=+血MIMO-SDDS 步驟2:和.的分解主要的想法是分離 中 二 矩陣對的可控和不可控部分。根據(jù)第(6.4.4)4章中的定使得其中TvNJ0nzB2 =T B2Tj 幾10 * 00兀2 * 0=f *00 _ 00

30、0rBnB|2-Bne% -022*r00 +*口*Eg_ 0000 _，:/VijPi z(6.4.5)(6.4.6)理441和442,存在非奇異的坐標變換其中是可控的。而且由于是幕零矩陣，所以，和.的特征值都在0,，和八的形式是01B*00 0010(Tf01、(6.4.7)(64.8)因此通過（645）的變換， 被分解成子系統(tǒng)(6,4.9)對.一 ：,: 幾伍卅+ 7VM* =譏+盡心+ 刀 B可五j + E注心朽（杵.40）j=t+i這等價于/vivi = vi + B血 + ” E葩i + 民加審（N注爲t）（杵.4+1 1） j=+l因為.的特殊結(jié)構(gòu)，對每個 S-:氏有nr*Evi

31、s2 = *Pvijl + bijjiij + 6閔1 心* 諒、1 広込, l=i+l 642)vi,3 = xvi,2 + 乂2 &紡同j +仇餌2尬* 恥諾爲,j=i+LJvi,pi 1 + 如沖1詢+ 4遠扭一代*池舲一l丘巧J=i+1A.(6.4.13)連續(xù)地對（6413）中的求導可得仍一Z epi-2pivi,i=一奶7 -52隔屮鏟一 治出皿0+乂加k=G J-i+lJt=Ojfc=l（6.4J4）對于一個元素為-多項式的合適矢量：，讓我們定義一個新的輸入變量(6.4J5)Ui = 一如j +刀畑皿繆=泯必it=l則（6412）可重新寫為:價九1%乳旳+j=：+l & plj=i

32、4-lPj = lPim-曾+：叩撫*f幅J叩加叭爲Jb=2j=i- 1& pj 1rie=xfit2 5Zb 紡 2vj,旳j=?+l 肪円 1He+52如2切j= 4c Pi1 vi.pi Ij=i+l & Pjlnrnr:+ ij,Pi -ljj=i+ l & pj = lHe如i - I可扣冋爲+ & 讓円1處* t/tZgjFj l*Pa +j=i+l & Pj 1(6.4.16)接下來定義VlePl-a?vl,l +刀叫申0*=1-v2,1 +紐 20*=1vlj(6417)-工叫J十血哄幻k I0-Ue +(6A18)其中l(wèi) -是元素為多項式的矩陣?，F(xiàn)在很容易驗證（644）中變換

33、后的系統(tǒng) 可以重新寫成以下形式(6.4J9)=-7Ze + SN班=A2X2 + 62eUe +右沁* + 8心血(町遲巧V_Wu 3/2= c滋2 + 6風+卜。為+ cy%其中：包含了中所有不在中的狀態(tài)變量，丄，：；，】， 和L 是具有適當維數(shù)的定常矩陣，忘一和 是元素為一些 多項式的矩陣。而且對一些具有適當維數(shù)的定常矩陣1 ，門，廠 和L ，以及一些元素為r多項式的矩陣/；|-：和，（6.4.3）的 可被重新寫為:y Cxi + Cv22 + 6血 + DH + 拎 DO 仏(6.4.20)MIMO-SDDS步驟3：正則系統(tǒng)的形成和最后的分解關(guān)鍵是從子系統(tǒng)（6.4.19）和（6.4.20

34、）中形成正則系統(tǒng)，然后對（6.1.1 ）的原系統(tǒng)應用正則系統(tǒng)結(jié)果獲得結(jié)構(gòu)分解。根據(jù)（6.4.19）和（6.4.20），我們得到正則系統(tǒng)（x = Ax + Bu B7（s） xZ7S: I _（6.4.21）y = Cx + Du-h Ds）其中(6422)根據(jù)定理L2(6.4.23)A (fl) = Cz +舄嘰+舄G c2+c12,。=方* + 方玄 Qj.(6.4,24)541的結(jié)果可知存在非奇異的變換 二 ，其中-小心 _心，：，匚用和.二貝-,當對久應用這些變換時，即帀=1Ij ti=rj?i=r, I ?i(jue其中斑E斑E Rnb % E旳E UV舊其中,如El叫，咖盤,恥麗如E

35、U?叫，/如、/ Vdi /城n 7=7 Wd =如2F+J*=i7m a叫(6.4,27)我們有出 a = -aaa + ad/7d + Jabf/b + 導 2醍(占)衛(wèi)巧(6428)j?b 衛(wèi)bb；Fb 一 B）bo + LbdMd + 弓匚也（占）松，#b C（jb + CbzH + 啟 Cbzs （用）巧啟t =人g%；+&）（：妙o+Ludj/tl+Hcbab+Ef 丫坯 +訂+沖乙# （占）工工 T#0 = 0口耳少（1 + 017=匕 + 匚。（+。1玄（1+上0 + 0易+興0酩（甘）疔16429)6 丄 3()j6 丄 31)6+432)和di =+ SojJ/D + id

36、l/d + 亦 G(黑)歸(6.4.33)+川也(h + Mf+MbZb + M託業(yè)+ ”M*j列jJ=i丿Jdi Cgi土 d- C. giz-z + 占Cjr*jig(*)北ji,妙1 = Gj(i + 匚血龍疋 + 弓Cdgs(占)心，(6.434)其中 1 有（6313）的特殊形式。至此已經(jīng)完成了定理6.3.1的證明。最后，我們注意到推論 6.3.1和632的結(jié)果可以從以上的構(gòu)造過程和一些簡單但繁瑣的推導中得到。結(jié)構(gòu)分解特性的證明一旦有了以下兩個引理的結(jié)果，奇異系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解特性的證明就可以 采用和第5章5.5節(jié)正則系統(tǒng)相類似的方法來進行。引理6.4.1考慮用它:二表示的系統(tǒng)，或者是(6

37、.1.1 )的狀態(tài)空間形式。則對 任何滿足:;狀態(tài)反饋增益/ -，貝V以門；表示的狀態(tài)反饋系統(tǒng)有以下特性：1.是可穩(wěn)定的，當且僅當是可穩(wěn)定的；2 .山,和的常態(tài)秩相同；3. 、和有相同的不變零點結(jié)構(gòu)；4 . i和有相同的無限零點結(jié)構(gòu)；5. 是(左，右或都不是)可逆的，當且僅當是(左，右或都不是)可逆的。證明第一項是顯然的。第 2項從以下推導中得出耳： = (C + DF)(aE-A-BF)B + D=(c + DF)(aE - I-BFE-A)-1 B + D=(C + DF)(fiE-F(&E - A)x + D=C(sE 一 AB + DI-FE 一 貝)t Bl=- F(E -.(6t4

38、.35)接下來注意到C + DF d = C D f(6436)以及在(6.1.2)的非奇異定常變換下 睡) 不變性是嚴格等價的事實，就可以推出第 3, 4和5項。引理6.4.2考慮由U 所表示的系統(tǒng)一或者是(6.1.1 )的狀態(tài)空間形式。則對于滿足 ；I 一 的定常輸出饋入增益,由m 川人$ f -1所表示的輸出饋入系統(tǒng)有以下的特性：1.1是可鎮(zhèn)定的，當且僅當是可鎮(zhèn)定的；2 . V和有相同的常態(tài)秩；3. V和有相同的有相同的不變零點結(jié)構(gòu)；4. V和有相同的有相同的無限零點結(jié)構(gòu)；5 . i：是（左，右或都不是）可逆的，當且僅當是（左，右或都不是）可逆的 證明和引理641是對偶的。根據(jù)推論6.3.2，變換后的系統(tǒng)和原系統(tǒng)的特性相同。奇異系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性證明和正則系統(tǒng)的相同，我們把細節(jié)留給感興趣的讀者。我們在下面的例子中演示一般奇異