勾股定理及其逆定理知識網絡及典型例題解析

1、勾股定理及其逆定理知識網絡及典型例題解析【考綱要求】1 . 了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2 .理解并掌握勾股定理及逆定理的內容；3 .能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題；4 .加強知識間的內在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題.以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內在聯(lián)系.【知識網絡】11【考點梳理】知識點一、勾股定理1 .勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（即：a2 b2 c2）【要點詮釋】 勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出了 “勾三，股四，

2、弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的平 方和等于斜邊的平方.2 .勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 ；根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理3 .勾股定理的應用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊，在 ABC中， C 90 ,則c Ja2 b2 , b Jc2 a2 , a . c2 b2 ；知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)

3、量關系可運用勾股定理解決一些實際問題.知識點二、勾股定理的逆定理1 .原命題與逆命題如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題2 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、B c,滿足a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形 .【要點詮釋】勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以 a, b, c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b

4、2 c2,時，以a, b, c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2 b2 c2,時，以a, b, c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a, b,c滿足a2 c2 b2,那么以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊；勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 .3 .勾股數(shù)能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a, b, c為正整數(shù)時，稱a, b, c為一組勾股數(shù)；記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4

5、,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等；用含字母的代數(shù)式表示 n組勾股數(shù)：n2 1,2n,n2 1 （n 2, n 為正整數(shù)）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n為正整數(shù)） 2222m n ,2mn, m n （ m n, m , n 為正整數(shù)）知識點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系1 .區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角 形中線段之間的關系的證明問題.在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角 形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），

6、構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解；而其逆定理是判定定理，能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關系判斷一個三角形是否是直角三角 形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平 方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論.2 .聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體.通常既要通過逆定理判定一個三角形是直 角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決 【典型例題】類型一、勾股定理及其逆定理的應用1 .我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明

7、勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形 ABCD正方形EFGH正方形MNKT勺面積分別為 Si, &, S,若Si+&+S3=10,則S2的值是圖1圖2【思路點撥】 根據圖形的特征得出線段之間的關系，進而利用勾股定理求出各邊之間的關系，從而得出 答案.【答案與解析】二.圖中正方形 ABCD正方形EFGH正方形MNKTJ面積分別為 S,5，S, .CG=NG CF=DG=NF .Si= (CG+DG 2=cG+dG+2CG?DG =GF2+2CG?DGQ=GF2,S3= (NG-NF 2=Nd+NF2-

8、2NG?NF S1 +S2+S3=10=gF +2CG?DG+dF+Nd+NF2- 2NG?NF =3GF2, 10, . S 2.3【總結升華】此題主要考查了勾股定理的應用，根據已知得出S1+S2+S3=10=GF2+2CG?DG+G2F+nG +NF2-2NG?NF=3GF是解決問題的關鍵.【變式】若 ABC三邊a、b、c滿足a3 + b2 +c3 + 338=10a+24b+26c, ABC是直角三角形嗎？為什么？【答案】a2 + b2 +c2 + 338=10a+24b+26c.a+b + c= + 338 10a 24b 26c =0(a2 -10a+25) + ( 3 24b+14

9、4) + ( c2 26c+169) =0即：l/ 1 I ,:(：:-t ：:，二 I Ia=5, b=12, c=13又 a口 + b3 =ca =169,.ABC是直角三角形.劭2.如圖，AB=AC AE=AF / BACW EAF=90 , BE、CF交于 M 連 AM(1)求證：BE=CF(2)求證：BE!CF;(3)求/AMC的度數(shù).【思路點撥】(1)求出/ BAE至CAR根據 SAS推出CAf BAE即可；(2)根據全等得出/ ABE= ACf 求出/ ABO+ BOA= COMI + ACF=90 ,求出/ CMO=90即可；(3)作AGLBE于G AhLCF于H,證全等得出

10、AG=AH得出正方形，求出/ AMQ即可求出答案. 【答案與解析】證明：(1) Z BAC= EAF=90 , / BAC+ CAE= FAE吆 CAE / BAE至 CAR在ACAF和ABAE中AC = ABZCAF=ZBAEAF=AE .CAF ABAE.BE=CF(2)證明：, CAMABAE /ABE至 ACF / BAC=90 , / ABO4 BOA=90 ,/ BOAW COM ./COM + ACF=90 , ./CMO=180 - 90 =90 , .BE! CF.(3)解：過點 A分別作AGL BE于G, AHL CF于H則/AGBW AHC=90 , 在AGB和AHC中

11、f ZABG=ZACHZagb=Zahc .AG里 AAHC.AG=AH. AGL BE AHL FC, BE! CF, / AGM = GMH = AHM=90 , ，四邊形ahmG1正方形， ，/GMH=90 , /AMG/HMG=45 ,2，/AMC=90 +45 =135 .【總結升華】 本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理 能力.舉一反三:【變式】如圖， ABC中，有一點P在AC上移動.若 AB=AC=5 BC=6,貝U AP+BP+CP勺最小值為()A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.類型二、勾股定理及其逆定理與其他

12、知識的結合應用C3. (1)如圖，正方形 ABCD)中，點E、F分別在邊BG CD上，/ E AF=45 ,延長C惻點C,使 DG=BE 連結 EF、AG 求證：EF=FG(2)如圖，在 ABC 中，/ BAC=90，點 M N在邊 BC上，且/ MAN=45 ,若 BM=1 AB=AC CN=3, 求MN勺長.【思路點撥】(1)欲證明EF=FG只需證得 FA*AGAF利用該全等三角形的對應邊相等證得結論；(2)過點C作CELBC 垂足為點 C,截取 CE,使CE=BM連接 AE、EN通過證明 AB俸AACE( SAS 推知全等三角形的對應邊 AM=AE對應角/ BAM=CAE 然后由等腰直角

13、三角形的性質和/ MAN=45得到 / MAN = EAN=45 ,所以 MA陣 EAN( SAS ,故全等三角形的對應邊MN=EN最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC 即 mN=bM+nc【答案與解析】(1)證明：在正方形 ABCD43, / ABE至ADG AD=AB ;在4ABE和4ADG中，I AD 二 ABZABE=ZADG，DG=BE. .AB珞AAD(3( SAS,/ BAE至 DAG AE=AG/ EAG=90 ,在AFAE和GAF中，AE=AGNeap=/FAO45” ，AF=AF .FAWAGAF( SAS),.EF=FG(2)解：如圖，過點 C作CELBG垂足為點 C,

14、截取CE,使CE=BM連接AE、EN. AB=AQ Z BAC=90 , . . / B=Z ACB=45 . CEL BC，/ACEW B=45 .在ABM和 ACE中，fAB=ACZB=ZACE, BM=CE. .AB俸AACE( SAS).AM=AE / BAMg CAE. / BAC=90 , / MAN=45 , . . / BAM+CAN=45 .于是，由/ BAM=CAE 得 / MAN=EAN=45 .在 AMAND EAN 中，AH 二城ZVAN=ZEAN,AN二 AN .MA陣AEAN( SAS).MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得 eRmE&NC2.MN=BI+NC

15、2.BM=1 CN=3，mN=12+32,.MN= I ii.【總結升華】 本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理的運用、等腰直角三角形的性質，題目的 綜合性較強，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造全等三角形.4.如圖，ABC比一弓邊AB長為2,邊A為1的矩形紙片，沿過點 B的折痕將A角翻折，使得點 A落在邊CD上的點A處，折痕交邊 AD于點E.(1)求/ DA E的大小；(2)求A BE的面積.【思路點撥】(1)先根據圖形翻折變換的性質得出RtAABERtA BE,再根據直角三角形的性質可得出/ DA E的度數(shù)；RD(2)設 AE=x,則 ED=1 x,A E=x,在 RtA DE 中，利

16、用 sin / DA E=p；可求出 x 的值，在根據 RtA BE中，A B=AB利用三角形的面積公式即可求解.【答案與解析】(1) & BE是 ABE翻折而成，RtAABERtM BE在 RtA BC 中，A B=2, BC=1 得，/ BA C=30 ,又./BA E=90 ,/ DA E=60 ;(2)解法 1:設 AE=x,貝U ED=1-x, A E=x,在 RtA DE 中，sin / DA E=1 - T即 =T,彳導 x=4-2 33 , JL 上在 RtA BE 中，A E=4- 2 73, A B=AB=2 _S 嚇 BE受 2X(4-26) =4-2 33 ;解法 2:

17、在 RtA BC 中，A B=2, BC=1,得 A C=J3, .A D=2- 73 ,設 AE=x,貝U ED=1-x, A E=x,在 RtA DE 中，A D 2+DE=A E2,即(2- F) 2+ (1 x) 2=x：得 x=4-2 察,在 RtA BE 中，A E=4-2 /3 , A B=AB=2 S AA BE=ix 2X ( 4-2 73 ) =4-2 曲.【總結升華】 本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到勾股定理及矩形的性質，熟知折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵.舉一反三:【變式】如圖，在 ABC中

18、，已知/ C=90 , AC=60cm AB=100cm a, b, c是在 ABC內部的矩形， 它們的一個頂點在 AB上，一組對邊分別在 AC上或與AC平行，另一組對邊分別在 BC上或與BC平行.若 各矩形在AC上的邊長相等，矩形 a的一邊長是72cm,則這樣的矩形 a、b、c的個數(shù)是（）【答案】D.如圖，公路 MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30 ,點A處有一所中學,AP= 160ml 假設拖拉機行駛時，周圍 100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上?& PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的

19、時間為多少秒?【思路點撥】（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A,實質上是看A到公路的距離是否小于 100m 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度.（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響過程中所行駛的路程.因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校.【答案與解析】 作AB MN垂足為B在 Rt AABP中，. / ABP= 90 , / APB= 30 , AP=160,AB = 4 AP= 80 （直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半）2點A到直線MN的距離小于100mx這所中學會受到噪聲的影響.如圖，

20、假設拖拉機在公路 MN上?gPN方向行駛到點 C處時學校開始受到影響，那么AC= 100(m),由勾股定理得：BC2= 1002- 802= 3600,BC=60m同理，假設拖拉機行駛到點D處時學校開始不受影響，那么AD= 100(m), BD= 60(m),CD= 120(m).;拖拉機行駛的速度為 ：18km/h = 5m/s1-1 = 120m 5m/s = 24s答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為 24秒.【總結升華】勾股定理是求線段長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作垂線的方法，構造直角三角形，以便利用勾股定理./F6.如

21、圖(1), (2)所示，矩形 ABCD勺邊長AB=6, BC=4,點F在DC上，DF=2動點M N分別 從點D B同時出發(fā)，沿射線 DA線段BA向點A的方向運動(點 M可運動到DA的延長線上)，當動點 N運動到點A時，M N兩點同時停止運動.連接 FM FN,當F、N M不在同一直線時，可得 FMN 過4FMN三邊的中點作 PWQ設動點 M N的速度都是1個單位/秒，M N運動的時間為x秒.試解 答下列問題：(1)說明 FMW QWP(2)設0WxW4 (即M從D到A運動的時間段).試問x為何值時， PWQ直角三角形？當 x在何 范圍時， PQM為直角三角形？(3)問當x為何值時，線段 MNt

22、短？求此時 MN的值.。尸CD圖1圖2【思路點撥】解決圖形運動的問題，由于運動過程中圖形的位置或形狀不確定，常會用到分類思想【答案與解析】(1)由題意可知 P、W Q分別是A FMNE邊的中點,PW A FMN的中位線，即 PW/ MN A FMW A QWP(2)由題意可得 DM=BN=x, AN=6-x, AM=4-x,由勾股定理分別得FM2 = 4 x2,MN 2 = (4 x)2+(6 x)2FN2=(4 x)2+16當 MN 2 = FM 2+FN 2時，(4 x)2 + (6 x)2 = 4 x2 + (4 x)2 + 16-，r4解得x -；3當 FN 2= FM 2+MN 2時，(4 x)2 + 16=4 x2+(4 x)2+(6 x)2此方程無實數(shù)根； FM 2 = MN 2+FN 2時，4 x2 = (4 x)2+(6 x)2 + (4 x)2 + 16解得 x1 10 (不合題意，舍去)，x2 4;4綜上，當x 一或x