拉普拉斯變換及逆變換

1、拉普拉斯變換及逆變換Last updated on the afternoon of January 3, 2021第十二章 拉普拉斯變換及逆變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡便的方法，而 且在自動控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用。我們經(jīng)常應(yīng)用拉普拉斯變換進(jìn) 行電路的復(fù)頻域分析。本章將扼要地介紹拉普拉斯變換(以下簡稱拉氏變換)的根本 概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用。第一節(jié)拉普拉斯變換在代數(shù)中，直接計(jì)算是很復(fù)雜的，而引用對數(shù)后，可先把上式變換為然后通過查常用對數(shù)表和反對數(shù)表，就可算得原來要求的數(shù)“。這是一種把復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡

2、單運(yùn)算的做法，而拉氏變換那么是另一種化繁為簡的 做法。一、拉氏變換的根本概念定義設(shè)函數(shù)/當(dāng)冷0時有定義，假設(shè)廣義積分/(/)嚴(yán)力在P的某一區(qū)域內(nèi)收 斂，那么此積分就確定了一個參量為P的函數(shù)，記作F(P),即()稱()式為函數(shù)/的拉氏變換式，用記號Lf(t) = F(P)表示。函數(shù)F(P)稱為/(/) 的拉氏變換(Laplace)(或稱為/(/)的象函數(shù))。函數(shù)/稱為F(P)的拉氏逆變換(或稱 為F(P)象原函數(shù))，記作UlF(P) = f 即 /(/) = L-*F(P)o關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)說明：(1) 在定義中，只要求/在0時有定義。為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便， 以后總假定在/

3、0.為常數(shù))的拉氏變換解:乙側(cè)=血叫=-巴匚5(嚴(yán))= -仝嚴(yán)+巴廠嚴(yán)力二. 單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流時，要涉及到我們要介紹的脈 沖函數(shù)，在原來電流為零的電路中，某一瞬時(設(shè)為,=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn) 要確定電路上的電流訛)，以oa)表示上述電路中的電量，貝ij 由于電流強(qiáng)度是電量對時間的變化率，即dT0(/+ 0)5)At解：Lu(t) =dt = -ept=丄，(p0)o所以,留神0時，誼)=0 ；當(dāng)20時,“、r Q(0 + zk) Q(0) r ,1z(0) = lim= inn (_) = sAt/Vo上式說明，在通常意義下的函數(shù)類

4、中找不到一個函數(shù)能夠用來表示上述電路的電 流強(qiáng)度為此，引進(jìn)一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)。定義0, t 0設(shè)= 丄，0t 稱為狄拉克(Dirac)函數(shù)，簡稱為函數(shù)。留神0時，5的值為0；當(dāng)/ = 0時,5的值為無窮大,即+00,顯然,對任何0,有匚=所以匚負(fù)少 =1。工程技術(shù)中，常將5-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，有些工程書上，將5-函數(shù)用一個 長度等于1的有向線段來表示，這個線段的長度表示函數(shù)的積分，叫做函數(shù)的 強(qiáng)度。例求單位脈沖信號5(/)的拉氏變換。解：根據(jù)拉氏變換的定義，有LJ(r)= 1 d(t)ep,dt =(lim 丄)ep,dt + h 0-t/r = lim V -eptdt

5、JoJo S()J$ioJo 8=恤丄-二：=丄lim 8 =丄lim(I 一宀)=llun 匚=1u pp eu gp u (p ()1ZW) = 1o例現(xiàn)有一單位階躍輸入“(/)= 壯求其拉氏變換。1, r 0例求指數(shù)函數(shù)/(/)=嚴(yán)(“為常數(shù))的拉氏變換。Q+3C戶+X .解：u嚴(yán)=eal.edt =嚴(yán)叫=,(pa)l 即 p_a類似可得Lsincot = -C -(/? 0) ； Lcos6X= -/? T(/?0) o 礦+少/廣+少三、拉氏變換的性質(zhì) 拉氏變換有以下幾個主要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變 換。性質(zhì)(線性性質(zhì))假設(shè)5偽是常數(shù),且=Lf2(t) =

6、 F2(p),那么厶口/衛(wèi))+。2/2(/)】=上爪擁+勺厶皿】=5片(卩)+。2心(“)()證明:例求函數(shù)=的拉氏變換a解：性質(zhì)(平移性質(zhì))假設(shè)Lf(t) = Fp,那么wva)=F(i)(為常數(shù))()證明:位移性質(zhì)說明：象原函數(shù)乘以嚴(yán)等于其象函數(shù)左右平移I小個單位。例 求 Ltea, , Lea, sin 期和 嚴(yán) cos 期。解因?yàn)?Lt = -, Lsincot = -, Hcoscot= /?,由位移性質(zhì)即得pP + CDP + CD性質(zhì)(滯后性質(zhì))假設(shè)Lf(t) = Fp,那么Uf(t-a) = e-aiF(p) (a 0)證明：f +8r ar +厶/(/一)=W-QLdtJ 0

7、_ J 0J a在拉氏變換的定義說明中已指出，當(dāng)/vo時，/(r)=0o因此，對于函數(shù) f(t-a),當(dāng)t-a0 (即75)時，f(t-a) = O,所以上式右端的第一個積分為0, 對于第二個積分，令-0=匚 那么滯后性質(zhì)指出：象函數(shù)乘以不等于其象原函數(shù)的圖形沿/軸向右平移個單位。 由于函數(shù)是當(dāng)宀。時才有非零數(shù)值。故與/相比 在時間上滯后了一 個“值.正是這個道理，我們才稱它為滯后性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，為了突出“滯后這 一特點(diǎn)，常在f(t-a)這個函數(shù)上再乘所以滯后性質(zhì)也表示為例求 Lu(t-a)o解：因?yàn)?丄，由滯后性質(zhì)得Lu(t - a)=嚴(yán)1 pP例求 LeaT)u(t-r) or00t a

8、 求 S)。a t 3a解：因?yàn)長 = ,所以厶?1)“(一)=不丄，(Pa) p -ap- a0,c.2c,0,解：/可用單位階梯函數(shù)表示為f(t)=cu+ “(-)-2口心-3),于是= + 不矽 _ 2 嚴(yán)P = (1 + 0矽2嚴(yán)P)P PPP,由拉氏變換定義來驗(yàn)證：= -(1-嚴(yán)+ 2 嚴(yán)-2宀)= (1 + 嚴(yán)-2 宀)性質(zhì)(微分性質(zhì))假設(shè)Lf(t) = Fp,并設(shè)/在0, +s)上連續(xù)，/)為分段 連續(xù)，那么/) = ()一/(0)證明：由拉氏變換定義及分部積分法，得f+-p,=0o因此,微分性質(zhì)說明：一個函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)P,再減去函數(shù)的初始值。

9、應(yīng)用上述結(jié)果，對二階導(dǎo)數(shù)可以推得同理，可得以此類推，可得厶廠(r) = /rF(“)/r-y(o)+p-y(o)+ -/g)(o)()由此可見，/各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換可以由P的乘方與象函數(shù)凡的代數(shù)式表示 出來特別是當(dāng)初值/(0)=廠(0)=廠(0) = /2(0) = 0時，有更簡單的結(jié)果Lf(nt) = pnF(p (n = l,2,)()利用這個性質(zhì)，可將/的微分方程轉(zhuǎn)化為F(p)的代數(shù)方程。例利用微分性質(zhì)求Lsincot和厶cos曲。解:令 fit) = sin cot,貝 IJ / =sin 0/(0) = 0, f (0) = coj (0) = -cd2 sin ,由()式，得L-2

10、 sin cot = /*(/) = p2Lf(t)-pf(O)-廣(0)即-eUsin cot = p2Lsin cot-co移項(xiàng)化簡得利用上述結(jié)果，COS6X =丄(sin期),及()式 可得COCO p.P +6T性質(zhì)(積分性質(zhì))假設(shè)Lf(t) = F(p) (0),且設(shè)/連續(xù)，那么L f(x)dx = JoP0證明：令(p(t) = f(x)dt,顯見卩(0) = 0,且因(pt) = f(t),由微分性質(zhì)，得 L0a)=庖0(f) - 0(0)而 L t即竽3/心彳-必妙。因此，當(dāng) =0時，得到_個廣義積分的值這個結(jié)果用原來的廣義積分的計(jì)算方法是得不到的?，F(xiàn)將拉氏變換的八個性質(zhì)和在實(shí)

11、際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如表拉氏變換的性質(zhì)序號設(shè) u/)=f(p)123Lf(t-a)u(t-a) = eapFp) (a0)4Lfnt) = pnF(p-pn-xf(Q) + pn-2f(O) + + /n-n(0)56Llf(at)=丄 F(上)Ua(i78表常用函數(shù)的拉斯變換表序號1123456789101112131415161718192021習(xí)題1.求以下函數(shù)的拉氏變換(1) /(2) /f皿(4) m)= sin(M + 0)是常數(shù))2求以下題中函數(shù)的拉氏變換(1) 3嚴(yán)(2) 5sin2/-3cos/f-L 0r4sin/, 0r 4(4)=人tK00r 2/(小

12、1,2r4/0,4p3 +6/?2 +96.F(p) =p2 + P(“ IF第三節(jié) 拉氏變換在電學(xué)屮的應(yīng)用一、求解常微分方程例求微分方程心)+ 2.x(r) = 0滿足初值條件x(0) = 3的解。解：第一步對方程兩邊取拉氏變換，并設(shè)LA(r) = X(/7):Ux(/) + 2x(/) = U0ILy(r)+2Lx(0 = 09pX(p) 一 x(0) + 2X (p) = 0o將初始條件A(0) = 3代入上式，得這樣，原來的微分方程經(jīng)過拉氏變換后，就得到了一個象函數(shù)的代數(shù)方程。第二步解出 X(p) : X(p) = -P + 2第三步求象函數(shù)的拉氏逆變換：x(o = r,x(/7) =

13、 r1- = 3-2zp + 2這樣就得到了微分方程的解F) = 3宀。例有一個二階動態(tài)電路滿足微分方程y-3才+2，= 2曠,并且其初值條件 y(0) = 2, y,(0) = -l,求其解解：對所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換設(shè)Ly(t) = Y(p) = Y,那么得 將初值條件y(0) = 2, y,(O) = -l,代入得到丫的代數(shù)方程 即 解出Y.得將上式分解為局部分式再取拉氏逆變換，就得到滿足所給初值條件的方程的特解為用拉氏變換還可以解常系數(shù)線性微分方程組。二、電學(xué)應(yīng)用舉例例求圖示電路的輸入運(yùn)算阻抗Zin(S) 解：由串并聯(lián)關(guān)系得例求圖(a)所示電路中的血)、心)。(a)解：先畫出運(yùn)算電路如圖(b)所示。由運(yùn)算電路得 其中那么其中 那么習(xí)題1求解一輸入響應(yīng)電路的微分方程。2求圖(a)所示電路中的回路電流八和阮自測題1求各函