勾股定理應用(含解答)精編版.doc

1、勾股定理點擊一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為 c，那么 a2 b2 = c 2 即直角三角形兩直角的平方和等于斜邊的平方因此，在運用勾股定理計算三角形的邊長時，要注意如下三點：（ 1）注意勾股定理的使用條件： 只對直角三角形適用， 而不適用于銳角三角形和鈍角三角形；（ 2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯；（ 3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長即c2 = a 2b2， a2= c 2 b2，b2= c 2 a2點擊二：學會用拼圖法驗證勾股定理拼圖法驗證勾股定理的基本思想是：借助于圖形的面積來驗證， 依據是對圖形經過割

2、補、拼接后面積不變的原理如，利用四個如圖1 所示的直角三角形三角形，拼出如圖2 所示的三個圖形請讀者證明bca（1）（ 2）（ 3）（圖 1）如上圖示，在圖（ 1）中，利用圖 1 邊長為 a，b，c 的四個直角三角形拼成的一個以c 為邊長的正方形，則圖2（ 1）中的小正方形的邊長為（ba），面積為（ ba）2，四個直角三1角形的面積為 4ab = 2ab 1由圖（ 1）可知，大正方形的面積 = 四個直角三角形的面積小正方形的的面積，即 c2 = （ba）2 2ab，則 a2 b2 = c 2 問題得證請同學們自己證明圖（ 2）、（ 3）點擊三：在數軸上表示無理數將在數軸上表示無理數的問題轉化為

3、化長為無理數的線段長問題第一步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等于所畫線段（斜邊）長的平方，注意一般其中一條線段的長是整數；第二步：以數軸原點為直角三角形斜邊的頂點，構造直角三角形；第三步：以數軸原點圓心，以斜邊長為半徑畫弧，即可在數軸上找到表示該無理數的點點擊四：直角三角形邊與面積的關系及應用直角三角形有許多屬性，除邊與邊、邊與角、角與角的關系外，邊與面積也有內的聯(lián)系. 設 a 、 b 為直角三角形的兩條直角邊， c 為斜邊，S為面積，于是有：( a b) 2a22abb2 ， a2b2c2 ， 2ab41ab4S ，1 (a b)22所以 (a b)2c24S .即Sc2 .4也就

4、是說，直角三角形的面積等于兩直角邊和的平方與斜邊平方差的四分之一. 利用該公式來計算直角三角形的有關面積、周長、斜邊上的高等問題，顯得十分簡便.點擊五：熟練掌握勾股定理的各種表達形式如圖 2，在 RtABC 中 ,C900 , A、 B、 C的對邊分別為 a、b、c,則 c2=a2+b2, a 2 =c2-b 2 , b2=c2-a 2,點擊六：勾股定理的應用（1）已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；（2）已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關系；（3）用于推導線段平方關系的問題等（4）用勾股定理，在數軸上作出表示2 、3 、5 的點，即作出長為n 的線段2類型之一：勾股定理例 1：如果直角三角形

5、的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和 5cm，那么這個直角三角形的面積是cm2解析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一條直角邊的長，則求得另一直角邊的長即可根據勾股定理公式的變形，可求得解：由勾股定理，得B13252=144，所以另一條直角邊的長為12所以這個直角三角形的面積是12212 5 = 30 （cm）A圖 3例 2： 如圖 3(1), 一只螞蟻沿棱長為 a 的正方體表面從頂點 A 爬到頂點 B, 則它走過的最短路程為 ( )A3aB (12)aC3aD5a解析 : 本題顯然與例 2 屬同種類型 , 思路相同但正方體的各棱長相等 , 因此只有一種展開圖B解: 將正方體側

6、面展開得 , 如圖 3由圖知 AC=2a,BC=aAC圖 3根據勾股定理得 AB( 2a) 2a25a25a.故選 D類型之二：在數軸上表示無理數例 3：在數軸上作出表示10的點解析：根據在數軸上表示無理數的方法，需先把10 視為直角三角形斜邊的長，再確定出兩直角邊的長度后即可在數軸上作出解：以 10 為斜邊的直角三角形的兩直角邊可以是3 和 1，所以需在數軸上找出兩段分別長為 3 和 1 的線段，如圖所示，然后即可確定斜邊長， 再用圓規(guī)在數軸上作出長為10 的線段即可3下面的問題是關于數學大會會標設計與勾股定理知識的綜合運用例 5：閱讀材料，第七屆國際數學教育大會的會徽它的主題圖案是由一連串

7、如圖所示的直角三角形演化而成的設其中的第一個直角三角形 OA1A2 是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3 =A3A4=A8A9=1，請你先把圖中其它 8 條線段的長計算出來，填在下面的表格中，然后再計算這8 條線段的長的乘積OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解：2；3；2；5；6；7；22；3；這 8條線段的長的乘積是 7270例 6：2002 年 8 月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）如果大正方形的面積是 13，小正方形的面積是 1，直角三角形的較短直角邊為 a，較

8、長直角邊為 b，那么 ab 2 的值為（）（A）13（B）19（C）25（D）169解析：由勾股定理，結合題意得a2+b2=13.2由題意，得(b-a)=1.22由，得a+b -2ab =1 .把代入，得13-2ab=1 2ab=12. (a+b) 2 = a 2+b2+2ab =13+12=25.因此，選 C.說明：2002 年 8 月 20 日28 日，我國在首都北京成功舉辦了第 24 屆國際數學家大會 . 這是在發(fā)展中國家舉行的第一次國際數學家大會，也是多年來在我國舉行的最重要的一次國際會議 . 它標志著我國數學已度過了六百多年的低谷，進入了數學大國的行列，并向著新世紀成為數學強國邁開了

9、步伐 . 這次大會的會標如下圖所示：它取材于我國三國時期（公元3 世紀）趙爽所著的勾股圓方圖注.類型之四：勾股定理的應用（一）求邊長4例 1： 已知：如圖，在 ABC中， ACB90o， AB5cm，BC3cm，CDAB于 D，求CD的長 .（二）求面積例 2：（ 1）觀察圖形思考并回答問題（圖中每個小方格代表一個單位面積）觀察圖 1 1.正方形 A 中含有 _個小方格，即 A 的面積是 _個單位面積；正方形 B 中含有 _個小方格，即 B 的面積是 _個單位面積；正方形 C 中含有 _個小方格，即 C的面積是 _個單位面積 .在圖 12 中，正方形 A，B，C 中各含有多少個小方格？它們的面

10、積各是多少？你能發(fā)現(xiàn)圖 11 中三個正方形A， B， C 的面積之間有什么關系嗎？圖12 中的呢？（ 2）做一做：5觀察圖 13、圖 1 4，并填寫下表：三個正方形 A，B，C 的面積之間有什么關系？（ 3）議一議：你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？分別以 5 厘米、 12 厘米為直角邊作出一個直角三角形，并測量斜邊的長度，中的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？解析：注意到圖中每個小方格代表一個單位面積，通過觀察圖形不能得到答案：99991818；A中含 4 個， B 中含 4 個， C中含 8 個，面積分別為4，4，8；A與 B 的面積之和等于C，

11、圖 12 中也是 A 與 B 的面積之和等于C.（ 2）答案：6答案：.（ 3）答案：設直角三角形三邊長分別為 a， b， c（如圖）；，.成立 .（三）作線段例3作長為、的線段解析：作法： 1作直角邊長為 1（單位長）的等腰直角三角形ACB（如圖）；2以斜邊 AB為一直角邊，作另一直角邊長為1 的直角三角形 ABB1；3順次這樣作下去，最后作到直角三角形AB2 B3，這時斜邊 AB、AB1、AB2 、AB3 的長度就是、證明：根據勾股定理，在RtACB中，AB0，AB= 其他同理可證點評 由勾股定理，直角邊長為 1 的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊長為、1 的直角三角形的斜邊長就是類似

12、地也可作出 ；將上圖無限地向兩個方向畫下去就可得到“勾股樹”，請你試試看（四）證明平方關系例 ： 已知：如圖，在 ABC 中， EC 90，AD 是 BC 邊上的中線， DEAB 于4E ，求證： AC 2AE 2BE 2.EB7DAC解析：根據勾股定理，在Rt ACD 中， AC 2AD 2CD 2，在 Rt ADE 中， AD 2AE2DE 2 ，在 Rt BDE 中，DE 2BD 2BE2， AC2AE 2DE 2CD 2AE 2BD 2BE 2CD2.又 BDCD， AC2AE 2BE2 .點評證明線段的平方差或和，常常要考慮到運用勾股定理；若無直角三角形，則可通過作垂線的方法，構成直

13、角三角形，以便為運用勾股定理創(chuàng)造必要的條件.（五）實際應用例 5：臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 處有一臺風中心，其中心最大風力為 12 級，每遠離臺風中心 20 千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以 15 千米 / 時的速度沿北偏東 30o 方向往 C 移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受臺風影響 .（1）該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由.（ 2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續(xù)時間有多少？（ 3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？解析（1）由點 A 作 ADBC于 D，則 AD就為城市 A 距臺風中心的最短距離在 RtABD中， B=30o， AB220，8AD=1 AB=110.2由題意知，當 A 點距臺風（ 12 4） 20160（千米）時，將會受到臺風影響故該城市會受到這次臺風的