量子力學(xué)第四版-卷一-(曾謹(jǐn)言-著)習(xí)題答案

1、第一章量子力學(xué)的誕生1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在諧振子勢 V(x)2x2中運(yùn)動，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。提示：利用：. p dx nh, n 1,2,.2mE V(x)解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為其中a由下式?jīng)Q定：E V(x)xa由此得a ,2E/m 2(2)x a即為粒子運(yùn)動的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。有量子化條件；p dx 2 2m(Ea ,2x2) dx2ma,a2 x2dxa2ma2 nh/曰 2 nh(3)得a2m代入(2),解出En n1,2,3,(4)積分公式:22 ,a u du.u carcsin ca1.2設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為a,b,c的箱內(nèi)運(yùn)動，試用量子化條件

2、求粒子能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運(yùn)動。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向?yàn)閤, y, z軸方向，把粒子沿 x, y,z軸三個方向的運(yùn)動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有: Px dxnxhnx1,2,3,Px 2a nxh(2a： 一來一回為一個周期)Px nxh/2a ,同理可得,Py nyh/2b,Pz nzh/2c,nx, ny,nz 1,2,3,粒子能量12Enxnynz (Px2m2 222py Pz)2m2 nx -2 a2 ny b22 nzcnx,ny, nz1,2,3,1.

3、3設(shè)一個平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為I,求能量的可能取值。2提示：利用0Pd nh, n1,2,p是平面轉(zhuǎn)子的角動量。轉(zhuǎn)子的能量E p2/2I o解：平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角（角位移）記為它的角動量p I（廣義動量）是運(yùn)動慣量。按量子化條件p dxmh,m 1,2,3,因而平面轉(zhuǎn)子的能量Em1.4有一帶電荷e質(zhì)量2p2/2I1,2,3,2 2 m2 2/2I ,m的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動，垂直于平面方向磁場是B,求粒子能量允許值.（解）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動位，洛倫茲與向心力平衡條件是：，設(shè)圓半徑是r ,線速度是v，用高斯制單2Bev mv又利用量子化條件，令電荷角動量q轉(zhuǎn)角2pdq mrvdmrvnh

4、(2)即 mrv nh,1由（1）（2）求得電何動能=-mv2Be n2mc再求運(yùn)動電荷在磁場中的磁勢能，按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場中的勢能磁矩*場強(qiáng) 電流*線圈面積*場強(qiáng).2 .ev* r * B ”是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率，vv 、，一，代入前式得2 r運(yùn)動電荷的磁勢能=BeJn (符號是正的)2mc點(diǎn)電荷的總能量=動能+磁勢能=E= Be n ( n 1,2,3)2mc1.5 , 1.6未找到答案1.7 (1)試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律nM 1 n2sin 20認(rèn)為p mv則 pdl 0這將導(dǎo)得下述折Ev仍就成立，E是粒子能量，從一種 c(2)光的波動論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出

5、下述非難：如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動遵守最小作用量原理pdl射定律n1sin 3 n3sin 1這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子： 媒質(zhì)到另一種媒質(zhì) E仍不變，仍有 pdl 0,你怎樣解決矛盾?(解)甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點(diǎn)A到定點(diǎn)B的In1AQ B設(shè)A , B到界面距離是a,b(都是常量)有In1asec 1 n2 bsec 2又AB沿界面白投影c也是常數(shù)，因而1,2存在約束條件:atg 1 btg 2 c (2)求(1)的變分，而將1, 2看作能獨(dú)立變化的，有以下極值條件I n1asec 1tg1d1 n2bsec 2tg2d20 再求(2)的變分

6、asec2 1d 1 bsec22d2c 0與（4）消去d 1和d 2得n1s訪1 n2Sin 2乙法見同一圖，取x為變分參數(shù)，取0為原點(diǎn),則有：In1 a2 x2n2 b2 (c x2)求此式變分，令之為零，有： Inix xn2(c x) x 0.b2 (c x)2這個式子從圖中幾何關(guān)系得知，就是（5）.（2）按前述論點(diǎn)光若看作微粒則粒子速度v應(yīng)等于光波的群速度vG光程原理作vGdl0,依前題相速22vp J,而vGJ cn, n是折射率,n是波前陣面更引起的，而波陣面速度則是相速度vp，這樣最小作用vgvp量原理仍可以化成最小光程原理ndl 0前一非難是將光子的傳播速度v看作相速度Vp的

7、誤解.1.8 對高速運(yùn)動的粒子（靜質(zhì)量m）的能量和動量由下式給出2mcv21 c22(2)mv22 V2c試根據(jù)哈密頓量及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式 速.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光（解）根據(jù)（3）式來組成哈氏正則方程式組qiH ，本題中qi v, pip,因而pi 22 42 2c pv 一 m c c p 2 422p. m c c p(4)從前式解出p （用V表示）即得到（2）.又若將（2）代入（3），就可得到 式.其次求粒子速度 v和它的物質(zhì)波的群速度vG間的關(guān)系.運(yùn)用德氏的假設(shè)：p k于（3）式右方，又用于式左方，遍除h:k2(k)按照波包理論，

8、波包群速度 vG是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù):m2c4vGk 12k2c2k2 4m c22c P3 422m c c p最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而VG v 又按一般的波動理論，波的相速度VG是由下式規(guī)定Vp（是頻率）利用（5）式得知VP2 4m c 22 2 c c k(6)故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當(dāng)超過光速。最后找出vG和Vp的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運(yùn)用德氏波假設(shè):Vp2 c (7)vG補(bǔ)充:1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動,x 0, x a V(x)Q 0 x a試用de Broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有a n - (n 1,2

9、,3,)2a/n又據(jù)de Broglie關(guān)系p h/而能量E p2/2m 2/2m 2.2 22 22h nn2m 4a2 2ma2n 1,2,3,(1)(2)(3)12 21試用量子化條件，求諧振子的能量諧振子勢能V(x) 2m 2x2(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化條件式：白pdq nh在量子化條件中，令p mx為振子動量,q x為振子坐標(biāo)，設(shè)總能量EP22m2m(E2 2m x代入公式信：,2m(E )dx nh量子化條件的積分指一個周期內(nèi)的位移，可看作振幅OA的四倍，要決定振幅a,注意在A或B點(diǎn)動能為-12 2.0, E m a ,(1)改寫為：22 m

10、-、a2 x2 dx nh a積分得：m a2 nh一1遍乘得2 h乙法也是利用量子化條件，大積分變量用時(shí)間t而不用位移X,按題意振動角頻率為，直接寫出位移X,用t的項(xiàng)表不：q x a sin t求微分：dq dx a cos tdt (4)求積分：p mx ma cos t (5)將(4)(5)代量子化條件： ,22T 2p pdq ma 0 cos tdt nhT是振動周期,T=，求出積分，得2h n nm a nh E n n2n 1,2,3 正整數(shù)#2用量子化條件，求限制在箱內(nèi)運(yùn)動的粒子的能量，箱的長寬高分別為a,b,c.（解）三維問題，有三個獨(dú)立量子化條件，可設(shè)想粒子有三個分運(yùn)動，每

11、一分運(yùn)動是自由運(yùn)動 .設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞，則每碰一次時(shí)，與此壁正交方向的分動量變號（如pxpx）,其余分動量不變，設(shè)想粒子從某一分運(yùn)動完成一個周期，此周期中動量與位移同時(shí)變號，量子化條件：apxd qx nxh 2 Px 0 dx 2a Pxbpydqy nyh 2 Ry 0 dy 2bpycpzdqz nzh 2pz0dz 2cpzpx，py，pz都是常數(shù)，總動量平方p v；rplp1pT總能量是：E 呆 J；2m 2m2PyP2)LX (火 2m 2a ,2b2 nzh 2)噂”)28m a(莊)2c但 nx, ny, nz1,2,3正整數(shù).3平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為，求能量允許值.（解）解釋題意：平面轉(zhuǎn)子是個轉(zhuǎn)動體，它的位置