奧數(shù)基礎(chǔ)講座二次函數(shù)的最值(含解答)- (2)

1、第四節(jié) 二次函數(shù)最值內(nèi)容講解 二次函數(shù)的最值問題，包括三方面的內(nèi)容： 自變量的取值范圍為任意實(shí)數(shù)時二次函數(shù)最值的求法 二次函數(shù)y=ax2+bx+c=a（x+）2+當(dāng)a0時，拋物線開口向上，此時當(dāng)x-時，y隨x增大而增大；當(dāng)x=-時，y取最小值當(dāng)a0時，拋物線開口向下，此時當(dāng)x-時，y隨x增大而減??；當(dāng)x=-時，y取最大值 2自變量的取值范圍是某一確定范圍時二次函數(shù)最值的求法，要結(jié)合圖象和增減性來綜合考慮 （1）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在該范圍內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值； （2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)不在該范圍內(nèi)，二次函數(shù)的最值在范圍內(nèi)兩端點(diǎn)處取得 3實(shí)際問題中所建立的數(shù)學(xué)模型是二次函數(shù)時，所涉及的二次函數(shù)最

2、值的求法，先建模后求解例題剖析 例1 （2003年武漢選拔賽試題）若x-1=，則x2+y2+z2可取得的最小值為（ ） （A）3 （B） （C） （D）6 分析：設(shè)x-1=t，則x2+y2+z2可用只含t的代數(shù)式表示，通過配方求最小值 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+）2+，所以最小值是 評注：本題體現(xiàn)了如何消元使多元函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉瘮?shù)這一思想，我們要用心體會此外，設(shè)比值為k法是解決等比問題最常用的方法 例2 （1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）設(shè)x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2-x+的最小值是_ 分析：先將原函數(shù)配方，再求最值 解：y=x2-x+=（

3、x-1）2+（x+）-1 =（x-1）2+（）2+1 要求y的最小值，最好有（x-1）2=0且（）2=0，這時得到x=1 于是，當(dāng)x=1時，y=x2-x+取最小值1 評注：函數(shù)y=x2-x+含有，不能直接用求二次函數(shù)的最值方法，求最值的最原始、最有效的方法仍然是配方法 例3 （2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽（浙江賽區(qū)）復(fù)賽試題）函數(shù)y=2x2+4x-1的最小值是_ 分析：對x分類進(jìn)行討論，去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為在約束條件下，求二次函數(shù)最值問題 解：y=2（x+1）2-3= 其圖象如 圖，由圖象可知，當(dāng)x=0時，y最小為-1答案：-1 評注：對于含有絕對值的函數(shù)，首先要化去絕對值，變成基本函數(shù)，再求極

4、值 例4 設(shè)0x3，求函數(shù)y=f（x）=x2-2x-1的最值 分析：首先畫出y=f（x）的圖象，然后將y=f（x）圖象位于x軸上方的部分保持不變，而將位于x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對稱圖形，即得y=f（x）的圖象然后用數(shù)形結(jié)合方法求函數(shù)y=f（x）的最值 解：如圖，先作拋物線y=x2-2x-1，然后將x軸下方的圖象翻轉(zhuǎn)上來，即得y=x2-2x-1的圖象，對稱軸是直線x=，方程x2-2x-1=0的兩根是2由此可知，0與3位于圖象與x軸兩交點(diǎn)之間，且位于對稱軸兩側(cè)，故最大值為： f（）=|（）-2-1|=4， 而最小值為f（0），f（3）中較小者f（0）=1，f（）=6-81，最小值為1 評注：畫

5、絕對值函數(shù)圖象，首先脫去絕對值符號（方法同絕對值的化簡），轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，再在自變量取值范圍內(nèi)畫出符合條件的圖象 例5 設(shè)x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的兩個實(shí)根，當(dāng)m為何值，x12+x22有最小值，并求這個最小值 分析：由韋達(dá)定理知x12+x22是關(guān)于m的二次函數(shù)，是否是在拋物線的頂點(diǎn)處取得最小值，就要看自變量m的取值范圍，從判別式入手解：由=（-4m）2-42（2m2+3m-2）0得m，x1+x2=2m，x1x2=，x12+x22=2（m-）2+=2（-m）2+，m，-m-0， 從而當(dāng)m=時，x+x取得最小值，且最小值為2（-）2+= 評注：定義在某一范圍的條件限制的

6、二次函數(shù)最值問題，有下兩種情形： （1）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在該范圍內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值； （2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)不在該范圍內(nèi)，二次函數(shù)的最值在范圍內(nèi)兩端點(diǎn)處取得 例6 求函數(shù)y=（4-x）+2的最值 分析：此函數(shù)是較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，可通過引入?yún)?shù)來求取函數(shù)最值 解：設(shè)u=2-x，則u0，且y=4+u 于是（u+x）2=4（x2+9），即 3x2-2ux+36-u2=0 xR，上式的判別式 =（2u）2-43（36-u2）0， 即u227，故u3 y=4-x+2的最小值為4+3（當(dāng)x=時取到） 評注：通過換元，把原函數(shù)轉(zhuǎn)變成關(guān)于x的一元二次方程，考慮到一元二次方程有解，由0即可求得u的范圍，

7、從而求得y的最值這是一種常用的方法，應(yīng)掌握 例7 （2002年太原市競賽題）已知二次函數(shù)y=x2-x-2及實(shí)數(shù)a-2，求 （1）函數(shù)在-2xa的最小值；（2）函數(shù)在axa+2的最小值 分析：本題由于字母a的不確定性，因此需要分類討論，并通過數(shù)形結(jié)合的方法來解 解：函數(shù)y=x2-x-2的圖象如圖 （1）當(dāng)-2a時，ymin=yx=a=a2-a-2；當(dāng)a時，ymin= =- （2）當(dāng)-2a且a+2，即-2a-時，ymin=yx=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；當(dāng)aa+2，即-a0， （-a-1）2-4a（3-2a）0，即（9a-1）（a-1）0，由于a是正整數(shù)，故a1， 所以a2

8、，又因?yàn)閎+c=-3a+2-4，且當(dāng)a=2，b=-3，c=-1時，滿足題意，故b+c的最大值為-4 評注：借助二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是所對應(yīng)二次方程的根，通過根的判別式可確定相關(guān)字母（或式）的取值范圍，進(jìn)而可確定其最值是解決這類問題常用方法 例11 （2004年“TRULY信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知a0，且=b-4ac，求b-4ac的最小值 分析：由b2-4ac容易想到一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，且b2-4ac0，故可構(gòu)造拋物線y=ax2+bx+c來解解：令y=ax2+bx+c，由a0，判別式=b2-4ac0，所以這個二次函數(shù)的圖象是一條開口向下的拋物線，且與x軸有兩

9、個不同的交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），因?yàn)閤1x2=0，不妨設(shè)x1x2，則x10x2，對稱軸x=-0，于是 x1=|=c， 所以c=-， 故b2-4ac4，當(dāng)a=-1，b=0，c=1時，等號成立所以b2-4ac的最小值為4。 評注：有的給出的問題不是二次函數(shù)，但經(jīng)過適當(dāng)變形后，可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，我們要領(lǐng)會這種轉(zhuǎn)化思想 例12 （2003年天津市競賽題）已知函數(shù)y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自變量x為正整數(shù)，a也是正整數(shù)，求x何值時，函數(shù)值最小 分析：將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對稱軸為x=（a-2）+，因01，a-2a-1，故函數(shù)的最小值只可能在x取a-2，a

10、-1，時達(dá)到，所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論 解：y=（a+2）（x-）2+1-，其對稱軸為x=（a-2）+ 因?yàn)閍為正整數(shù)，故01，a-2a-1 因此，函數(shù)的最小值只可能在x取a-2，a-1，時達(dá)到 （1）當(dāng)=a-1時，a=1，此時，x=1使函數(shù)取得最小值 （2）當(dāng)a-2 1時，由于x是正整數(shù)，而為小數(shù)，故x=不能達(dá)到最小值 當(dāng)x=a-2時，y=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1， 當(dāng)x=a-1時，y=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1 又y1-y2=4-a （i）當(dāng)4-a0，即1a4且a為整數(shù)時，x取a-1，使y2為最小值； （ii）當(dāng)4-a=0時，即

11、a=4時，有y1=y2，此時x取2或3； （iii）當(dāng)4-a4且為整數(shù)時，x取a-2，使y1為最小值 綜上，x=（其中a為整數(shù)） 評注：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c在給定范圍的最值，關(guān)鍵是看對稱軸方程是否在給定范圍內(nèi)，并與端點(diǎn)一并比較 例13 （1997年湖北省荊州市初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知二次函數(shù)y=（a2-a+1）x2+bx+a的圖象與x軸交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，設(shè)t=x13+x23 （1）試用a把t表示出來； （2）問實(shí)數(shù)a取何值時，t取最小值，最小值是多少？ 分析：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可求出t的表達(dá)式；再通過根的判別式法求出t的最值 解：根據(jù)題意得

12、 b=-（a2-a+1），x1+x2=1 此時，=b2-4（a2-a+1）=（a2-a+1）2-a（a2-a+1） =（a2-a+1）（a2-a+1） =（a-）2+（a-）2+0， a可取任意實(shí)數(shù)值 （1）t=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2） =1-3x1x2=1- （2）將t=變形，得 2（t-1）2a2+（3-2t）a+2（t-1）=0， 顯然，當(dāng)a=0時，t=1當(dāng)t1時，a=（3-2t）2-42（t-1）2（t-1）0，即12t2-20t+70，t 綜上所述，tmin=，僅當(dāng)a=1時取得評注：在求二次函數(shù)的最值時，若二次函數(shù)有字母系數(shù)，則應(yīng)考慮0與二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件 例1

13、4 生產(chǎn)某商品xt需費(fèi)用1000+5x+x2元，出售該商品xt時的價格是每噸a+元，其中a，b是常數(shù)，如果生產(chǎn)出的商品都能賣掉，并且當(dāng)產(chǎn)量是150t時利潤最大，這時的價格是每噸40元，求a，b的值 分析：首先表示出利潤是y的函數(shù)關(guān)系式，然后再求取二次函數(shù)的最值 解：設(shè)賣出xt的利潤是y元，則 y=x（a+）-（1000+5x+x2） =（-）x2+（a-5）x-1000 又由題設(shè)知，當(dāng)x=150時，y最大，因此解得a=45，b=-30 當(dāng)b=-30時，-0， 函數(shù)有最大值a=45，b=-30為所求 評注：這是一個關(guān)于商品的利潤問題，解決此類問題的關(guān)鍵是函數(shù)建模，使之轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題，再利用一元二

14、次函數(shù)在頂點(diǎn)處取最值的方法來求解 例15 （2000年全國數(shù)學(xué)競賽題）一幢33層的大樓里有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意現(xiàn)在有32人在第一層，并且他們分別住在第2層至第33層的每一層問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人滿意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯而直接從梯梯上樓） 分析：設(shè)電梯停在第x層，在第一層有y個人沒有乘電梯而直接上樓，那么首先用x、y表示出不滿意總分的函數(shù)關(guān)系式，再用配方法來求取最值 解：對于每一個乘電梯上、下樓的人，他所住的樓層

15、數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù)，事實(shí)上，設(shè)P層的人乘電梯，而住Q層的人直接上樓，PQ設(shè)電梯停在第x層，在第一層有y個人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為 S=31+2+3+（33-x）+3（1+2+y）+1+2+（x-y-2） = =2x2-（y+102）x+2y2+3y+1684 =2（x-（y-6）2+316316 當(dāng)y=6，x=27時S取最小值為316 評注：通過配方，把S的代數(shù)表達(dá)式用非負(fù)數(shù)與常數(shù)的和或積表示而求最值是常用的方法應(yīng)掌握 例16 在黃州服裝批發(fā)市場，某種品牌的時裝當(dāng)季節(jié)將來臨時，價格呈上升趨勢，設(shè)這種時裝開始時定價為20元，并且每周（7天）漲價2元，從第6周開始保

16、持30元的價格平穩(wěn)銷售；從第12周開始，當(dāng)季度即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售 （1）試建立銷售價y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）若這種時裝每件進(jìn)價Z與周次x次之間的關(guān)系為Z=-0.125（x-8）2+12.1x16，且x為整數(shù)，試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤為多少？ 分析：由于時間不同所建立的函數(shù)解析式就不同，故本題需要分類討論 解：依題意，可建立的函數(shù)關(guān)系式為： y= （2）設(shè)銷售利潤為W，則W=售價-進(jìn)價 故W= 化簡得W= 當(dāng)W=x2+14時，x0，函數(shù)y隨著x增大而增大，1x6 當(dāng)x=6時，W有最大值，最大值=18.5 當(dāng)W=x2

17、-2x+26時，W=（x-8）2+18，當(dāng)x8時，函數(shù)y隨x增大而增大 在x=11時，函數(shù)有最大值為19 當(dāng)W=x2-4x+48時，W=（x-16）2+16，12x16，當(dāng)x16時，函數(shù)y隨x增大而減小， 在x=12時，函數(shù)有最大值為18 綜上所述，當(dāng)x=11時，函數(shù)有最大值為19 評注：本題以分段函數(shù)為背景，與分類討論思想相結(jié)合，解題時要緊扣題設(shè)條件，根據(jù)自變量的不同取值范圍，實(shí)施分類解答，并做到不重不漏，逐層討論求解鞏固練習(xí)一、選擇題1已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1），則ab有（ ） （A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值-2如圖，四個二次函數(shù)

18、的圖象，哪一個函數(shù)在x=2時，有最大值（ ）3正實(shí)數(shù)x、y滿足xy=1，那么的最小值為（ ） （A） （B） （C）1 （D） （E）二、填空題1函數(shù)y=-2x2+x圖象的對稱軸是_，最大值是_2如果二次函數(shù)y=x2-6x+m的最小值是1，那么m的值是_3已知二次函數(shù)y=（x-1）2+（x-3），當(dāng)x=_時，函數(shù)達(dá)到最小值4當(dāng)0x3時，二次函數(shù)y=-x2+4x-2的最大值是_，最小值是_5已知二次函數(shù)y=（x-1）2+1，如果當(dāng)1xa（a1），y的最大值恰好是a，則a=_6建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底與池壁的造價分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低造價為_

19、元7用長為16米的細(xì)繩圍成一個矩形，矩形的長為x，面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，y的最大值為_8如圖，用12米長的木方，做一個有一條橫檔的矩形窗子，為使透進(jìn)的光線最多，選擇窗子的長、寬各為_、_米9設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=2的兩個實(shí)數(shù)根，則（x1-2x2）（x2-2x1）的最大值為_10若拋物線y=x2-（k-1）x-k-1與x軸的交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C，則ABC的面積最小值為_11如圖，B船在A船的西偏北45處，兩船相距10km，若A船向西航行，B船同時向南航行，且B船的速度為A船速度2倍，那么A、B兩船的最近距離為_km12銷售某種商品，如果單價上漲m%，

20、則售出的數(shù)量就將減少，為了使該商品的銷售金額最大，那么m的值應(yīng)該確定為_三、解答題1某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x/元152030y/元252010 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？2某商廈試銷一種成本為50元/件的商品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本，又不高于80元/件，試銷中銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)（如圖） （1）求y與x的關(guān)系式；（2）設(shè)商

21、廈獲得的毛利潤（毛利潤=銷售額-成本）為s（元），則銷售單價定為多少時，該商廈獲利最大？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少件？3某學(xué)校初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時離地面m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3m （1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？（2）此時，若對方隊(duì)員乙在甲面前1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大模高為3.1m，那么他能否獲得成功？4某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家，以統(tǒng)計(jì)銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的單價定為7角時，每天賣出160個在此基礎(chǔ)上，這種面包的單

22、價每提高1角時，該零售店每天就會少賣出20個考慮了所有因素后該零售店每個面包的成本是5角 設(shè)這種面包的單價為x（角），零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤為y（角） （1）用含x的代數(shù)式分別表示出每個面包的利潤與賣出的面包個數(shù)； （2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）當(dāng)面包單價定為多少時，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最大？最大利潤為多少？5用總長為32m的籬笆墻圍成一個扇形的花園 （1）試寫出扇形花園的面積y（m2）與半徑x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍； （2）用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象； （3）當(dāng)扇形花園半徑為多少時，花園面積最大？最大面積是多少？此時這個扇形的圓心角是多少？

23、（精確到0.1度） （4）請回答：如果同樣用32m的籬笆圍成一個面積最大的矩形花園，這個花園的面積是多少？對比上面的結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 6如圖，已知拋物線y=x2+mx+n（n0）與直線y=x交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OB，BCx軸 （1）求拋物線的解析式（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的上方），DE=，過D、E兩點(diǎn)分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，四邊形DEGF的面積為y，求x與y之間的關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并回答x為何值時，y有最大值7某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出；當(dāng)每輛車

24、的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛租車的車每輛每月需維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元 （1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出_輛車（直接填寫答案）； （2）設(shè)每輛車的月租金為x（x3000）元，用含x的代數(shù)式填空：未租出的車輛數(shù)租出的車輛數(shù)所有未租出的車輛每月的維護(hù)費(fèi)租出的車每輛的月收益 （3）當(dāng)每輛車的月租金定為多少時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 8某商品的價格下降x%，則賣出的商品增長mx%（常數(shù)m0） （1）當(dāng)m=1.25時，應(yīng)降價百分之幾，才能使售出總金額最大？ （2）如果適當(dāng)?shù)亟祪r，能求使售出總金額增加m的取值范圍9某公司生產(chǎn)一件

25、產(chǎn)品的成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件，為了獲得更好效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入廣告費(fèi)是x（萬元）時，產(chǎn)量的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y=-，如果把利潤看作銷售額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)， （1）試寫出年利潤S（萬元）與廣告費(fèi)x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算廣告費(fèi)是多少萬元時，公司獲利最大，最大利潤是多少萬元 （2）把（1）中的最大利潤再留出3萬元作廣告費(fèi)用，其余用于投資新項(xiàng)目，現(xiàn)有六個項(xiàng)目供選擇，各項(xiàng)目每股投資金額和預(yù)計(jì)收益如下表所示：項(xiàng) 目ABCDEF每股（萬元）526468收益（萬元）0.550.40.60.50.91如果每個項(xiàng)目只能投資一股，且要求所有投資

26、項(xiàng)目的收益總額不低于16萬元，問有幾種符合要求的投資方案寫出每種投資方案所選項(xiàng)目10某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產(chǎn)品已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支（不含進(jìn)價）總計(jì)120萬元在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系 （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）試寫出該公司銷售這種產(chǎn)品的年獲利z（萬元）關(guān)于銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式（年獲利=年銷售額-年銷售產(chǎn)品總進(jìn)價-年總開支），當(dāng)銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求這個最大值；（3）若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，借助（2）中函數(shù)的圖象，請你幫助該公

27、司確定銷售單價的范圍在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價應(yīng)定為多少元？11某機(jī)械租賃公司有同一型號的機(jī)械設(shè)備40套經(jīng)過一段時間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套機(jī)械設(shè)備的月租金為270元時，恰好全部租出在此基礎(chǔ)上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高10元時，這種設(shè)備就少租出一套，且沒租出的一套設(shè)備每月需支出費(fèi)用（維護(hù)費(fèi)、管理費(fèi)等）20元設(shè)每套設(shè)備的月租金為x（元），租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益（收益=租金收入-支出費(fèi)用）為y（元） （1）用含x的代數(shù)式表示未出租的設(shè)備數(shù)（套）以及所有未出租設(shè)備（套）的支出費(fèi)； （2）求y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式； （3）當(dāng)月租金分別為300元和350元時，租賃公司的月收益分

28、別是多少元？此時應(yīng)該出租多少套機(jī)械設(shè)備？請你簡要說明理由； （4）請把（2）中所求出的二次函數(shù)配方成y=a（x+）2+的形式，并據(jù)此說明：當(dāng)x為何值時，租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益最大？最大月收益是多少？ 12已知：如圖，ABC中，C=90，AC=3厘米，CB=4厘米兩個動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時按順時針方向沿ABC的邊運(yùn)動當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動即停止點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t（秒） （1）當(dāng)時間t為何值時，以P、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2厘米； （2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，陰影部分的形狀隨之變化，設(shè)PQ與ABC

29、圍成陰影部分面積為S（厘米2），求出S與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由 13課題研究：現(xiàn)有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大 初三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大為此，他們對水槽的橫截面進(jìn)行了如下探索： （1）方案：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖a） 若ACB=90，設(shè)AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出

30、x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？ 方案：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖b）若ABC=120，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案中的y的最大值比較大?。?）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程） 14（1997年太原市初中數(shù)學(xué)競賽試題）對于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a0） （1）當(dāng)c1，所以a=361760提示：設(shè)池底的尺寸為xm與m， 則水池的總造價W表示為x的函數(shù)為W=480+320（x+），x0，x+-4=0，當(dāng)m=2（m）時，Wmin=48

31、0+3204=17607y=-x2+8x，16 83、29-提示：原式=-2（x1+x2）2+9x1x2=-2（a-）2-10設(shè)A（x1，0），B（x2，0），AB=，又C（），SABC=k2+2k+5=（k+1）2+44，當(dāng)k=-1時，等號成立，SABC=1112提示：設(shè)經(jīng)過t小時后，A、B船分別航行到A1、B1，設(shè)AA1=x，BB1=2x，A1B1=12設(shè)原來商品單價為a元時，售出的數(shù)量為b，則單價上漲m%時，銷售的總金額W=ab（1+m%）（1-）= -（m-25）2+15625，故當(dāng)W=25時，Wmax=15625三、1（1）y=-x+40 （2）產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得

32、最大銷售利潤為225元2（1）設(shè)y=kx+b，將（60，40），（70，30）代入得： y=-x+100（2）S=（-x+100）（x-50）=-x2+150x-5000a=-1，b=150，c=-5000，當(dāng)x=-=75時，S最大值=625當(dāng)x=75時，y=-75+100=25所以當(dāng)銷售價是75元時，最大利潤是625元，此時銷量為25件3（1）設(shè)解析式為y=a（x-4）2+4，當(dāng)x=7，y=3時，解得a=，y=-（x-4）+4，當(dāng)x=0時，y=能準(zhǔn)確投中； （2）當(dāng)x=1，y=331，能獲得成功4（1）每個面包的利潤為（x-5）角，賣出的面包個數(shù)為（300-20x）或160-（x-7）20）

33、 （2）y=（300-20x）（x-5）=-20x2+400x-1500，即y=-20x2+400x-1500 （3）y=-20x2+400x-1500=-20（x-10）2+500，當(dāng)x=10時，y的最大值為500當(dāng)每個面包單價定為10角時，該零售店每天獲得的利潤最大，最大利潤為500角5（1）扇形半徑為xcm，扇形的弧長為（32-2x）m，由扇形面積公式得y=（32-2x）x，即y=-x2+16x自變量的取值范圍是0x16 （2）將函數(shù)關(guān)系式寫成y=-（x-8）2+64列表x2468101214y28486064604828其圖象如圖所示 （3）由圖象可知，當(dāng)x=8時，有最大值64 即當(dāng)扇

34、形半徑為8m時，花園面積最大，最大面積為64m2設(shè)此時扇形的圓心角約為n，則28=16，解得n114.6因此，扇形的圓心角約為114.6（4）這個矩形花園的面積也是54m2，與最大扇形花園面積相等（或答：周長相等的最大矩形面積與最大扇形的面積相等）6（1）拋物線y=x2+mx+n與y軸交于點(diǎn)C，C（0，n），BCx軸，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為nB、A在y=x上，且OA=OB，B（n，n），A（-n，-n） 解得：n=0（舍去），n=-2；m=1所求解析式為：y=x2+x-2 （2）作DHEG于H，D、E在直線y=x上，EDH=45，DH=EHDE=，DH=EH=1D（x，x），E（x+1，x+1）F的縱坐標(biāo)：x2+x-2，G的縱坐標(biāo)：（x+1）2+（x+1）-2DF=x-（x2+x-2）=2-x2，EG=（x+1）-（x+1）2+（x+1）-2=2-（x+1）2y= 2-x2+2-（x+1）21，y=-x2-x+3，y=-（x+）2+3，x的取值范圍是-2x19（1）S=10y-x=-x2+6x+7，當(dāng)x=3時，獲利最大，最大為16萬元 （2）投資金額=16-3=13萬元，經(jīng)分析，有兩種投資方案符合要求一種是取A、B、E各一股，投入獎金為13萬元，收益為：0.55+0.4