高中數(shù)學選修1-1雙曲線匯編

1、 1. 1. 橢圓的定義橢圓的定義 和和 等于常數(shù)等于常數(shù) 2a ( 2a|F1F2|0) 的點的軌跡的點的軌跡. 平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的 1 F 2 F 0, c 0, cX Y O yxM, 2. 引入問題：引入問題： 差差 等于常數(shù)等于常數(shù) 的點的軌跡是什么呢？的點的軌跡是什么呢？ 平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的 復習復習 雙曲線圖象雙曲線圖象 拉鏈畫雙曲線拉鏈畫雙曲線 |MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距. （1）2a0 ； 雙曲線

2、定義雙曲線定義 思考：思考： （1）若）若2a=2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ （2）若）若2a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ 說明說明 （3）若）若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a ( (1) )兩條射線兩條射線 ( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡 F2F1 M x O y 求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟： 雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程 1. 1. 建系建系. . 以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段 F1F2的中點為原點建立直角坐標系的中點為原點建立直角坐標系 2.2.設(shè)點設(shè)點 設(shè)設(shè)M（x ,

3、y）,則則F1(-c,0),F2(c,0) 3.3.列式列式 |MF1| - |MF2|=2a 4.4.化簡化簡 aycxycx2)()( 2222 即 aycxycx2)()( 2222 2 22 2 22 )(2)(ycxaycx 222 )(ycxaacx )()( 22222222 acayaxac 222 bac )0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 此即為此即為 焦點在焦點在x 軸上的軸上的 雙曲線雙曲線 的標準的標準 方程方程 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y F2F1 M x O y O M F2 F1 x y )00(ba

4、， 若建系時若建系時,焦點在焦點在y軸上呢軸上呢? 看看 前的系數(shù)，哪一個為正，前的系數(shù)，哪一個為正， 則在哪一個軸上則在哪一個軸上 22 , yx 定定 義義 方方 程程 焦焦 點點 a.b.c的關(guān)的關(guān) 系系 F（c，0）F（c，0） a0，b0，但，但a不一不一 定大于定大于b，c2=a2+b2 ab0，a2=b2+c2 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓 雙曲線雙曲線 F（0，c）F（0，c） 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab a

5、b 變式變式2答案答案 1.a=4,b=3,焦點在焦點在x軸上軸上; 2.焦點為焦點為(0,-6),(0,6),過點過點(2,5) 3.a=4,過點過點(1, ) 4 10 3 例例2 2: :如果方程如果方程 表示雙表示雙 曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. . 22 1 21 xy mm 解解: : 22 1 21 xy mm 思考：思考： 21mm 得得或或(2)(1)0m m由由 2m 使使A、B兩點在兩點在x軸上，并軸上，并 且點且點O與線段與線段AB的中點重合的中點重合 解解: : 由聲速及在由聲速及在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,

6、可知可知A A地與爆炸點地與爆炸點 的距離比的距離比B B地與爆炸點的距離遠地與爆炸點的距離遠680680m. .因為因為|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸點爆炸點 的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點的雙曲線在靠近為焦點的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例3 3. . 已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆地聽到炮彈爆 炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點的軌跡方程求炮彈爆炸點的軌跡方程. . 如圖所示，建立直角坐標系如圖所示，建立直角坐標系xO Oy,

7、, 設(shè)爆炸點設(shè)爆炸點P的坐標為的坐標為( (x, ,y) )， 則則340 2680PAPB 即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 1(0) 11560044400 xy x 2222 2800,400,cc x y o P BA 因此炮彈爆炸點的軌跡方程為因此炮彈爆炸點的軌跡方程為 44400bca 2 22 22 2 答答: :再增設(shè)一個觀測點再增設(shè)一個觀測點C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處 測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方 程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的程，解這兩個

8、方程組成的方程組，就能確定爆炸點的 準確位置準確位置. .這是雙曲線的一個重要應用這是雙曲線的一個重要應用. . P BA C x y o 幾何畫板演示第幾何畫板演示第2 2題的軌跡題的軌跡練習第練習第1 1題詳細答案題詳細答案 本課小結(jié)本課小結(jié) 2.2.課本課本62P習題習題 2.32.3 A A 組第組第 5 5 題題 如圖如圖, ,圓圓O的半徑為定長的半徑為定長r, ,A是是 圓圓 O 外一定點外一定點, ,P 是圓上任意一點是圓上任意一點, , 線段線段 AP 的垂直平分線的垂直平分線 l 和直線和直線 OP 相交于點相交于點 Q Q,當點當點 P 在圓在圓 O 上運動時上運動時, 點

9、點 Q Q 的軌跡是什么的軌跡是什么? ?為什么為什么? ? 3 sinsinsin, 5 BCA 解解: 在在ABC中中, ,| |BC|=10|=10， 33 106 10 55 ACABBC 由由正正弦弦定定理理得得 故頂點故頂點A的軌跡是的軌跡是以以B、C為焦點的雙曲線的左支為焦點的雙曲線的左支 又因又因c=5，a=3，則，則b=4 1 (3) 916 xy x 2 22 2 則頂點則頂點A的軌跡方程為的軌跡方程為 雙曲線的幾何性質(zhì) 2、對稱性、對稱性 雙曲線雙曲線 的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì) 1、范圍、范圍 22 22 22 11, xy xa ab xaxa 得 或 關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y

10、軸和原點都是對稱的軸和原點都是對稱的.。 x軸、軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心， 心心.雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心中心. x y o(-a,0)(a,0) (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) Ry 00 00 yy bb xyxy bab 22 22 xx xy aa 由-0得 或 ab a 表示的平面區(qū)域內(nèi) b yx a b yx a ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 3、頂點、頂點 （1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點頂點

11、x y o 1 B 2 B 1 A 2 A )0 ,()0 ,( 21 aAaA、頂點是 如圖，線段如圖，線段 叫做雙曲線叫做雙曲線 的實軸，它的長為的實軸，它的長為2a,a叫做叫做 實半軸長；線段實半軸長；線段 叫做雙叫做雙 曲線的虛軸，它的長為曲線的虛軸，它的長為2b,b 叫做雙曲線的虛半軸長叫做雙曲線的虛半軸長 2 A 1 A 2 B 1 B （2） 1 A 2 A 1 B 2 B x y o x a b y x a b y a 4、漸近線、漸近線 M N P 22 22 1 b yx a xy ab (1)兩條直線叫做 雙曲線的漸近線 (2)實軸和虛軸等長的雙曲實軸和虛軸等長的雙曲 線

12、叫做等軸雙曲線線叫做等軸雙曲線. 22 b xxa a b PM= a 22 ya 2 x 2 22 a xxa b = a 5、離心率、離心率 e反映了雙曲線開口大小反映了雙曲線開口大小 e越大越大 雙曲線開口越大雙曲線開口越大 e越小越小 雙曲線開口越小雙曲線開口越小 c e a 1 A 2 A 1 B 2 B x y o b yx a b yx a (1) c a 焦距與實軸長的比叫做 雙曲線的離心率,記作e. （3）離心率范圍：）離心率范圍：e1 a b tan b a 2 1 b a x y o 22 22 1(0,0) yx ab ab 雙曲線的幾何性質(zhì) -a a b -b （1）范圍: ,ya ya xR （2）對稱性:關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點都對稱軸、原點都對稱 （3）頂點: