2-31.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案

1、精品資源1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、有關(guān)系數(shù)和的問題【例1】設(shè)(2 一羽x) 100=a0+aix+a2x2+aioox100,求下歹u各式的值：(1) ao；(2) a+a2+a100;(3) a 1+a3+a5+ +a99；(4) ( ao+a2+a10o) 2- ( a1+a3+a99)2.解：(1)由(2 j3x) 100展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 c* 2100,即a0=2100，或令x=0，則展開式可化為 a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+32+-+a100= (2 1y3)100,a 1+a2+-+a100= (2一寸；3 ) 100-2 1

2、00.(3)令x=-1,可得a0-a 1+a2-a 3+a100= (2+j3) 也. 與x=1所得到的聯(lián)立相減可得，(2 - )100 -(2,3)100a1+a3+a99=2a0+a2+a 100) - ( a+a3+a99)(4)原式=(a0+a2+a100) + (a1+a3+a99) =(a0+a1+a2+-+a100)( a0-a 1+a2-a 3+.,+a98-a 99+既00)=(2- j3) 100 (2+73) 100=1.溫馨提示本題采用了賦值法求各項(xiàng)系數(shù)之和.一般地，若f (x) =a0+a1x+a2x2+ - +anxn,則f (x)展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為f (1),奇

3、數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+-= ,+ f(-1)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)2之和為a1+a3+a5+.(1)f(f2、系數(shù)最大項(xiàng)問題【例2】已知在(ji - 1 vx) n的展開式中，只有第 6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.2(1)求 n;(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)解析：(1)因?yàn)檎归_式中只有第 6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以 n是偶數(shù)，第6項(xiàng)即為中間 項(xiàng)，n+1=6，得 n=10.2(2)展開式的通項(xiàng)是tr+1 = c1r0 (-1 ) r 2-r30k,系數(shù)的絕對值是c1r0 2 -r,若它最大則r o、c r 書 o -(r 平)c10 *2 之 c10 *2c；0 2 工 c；0-1

4、2”加10 -r11 - r1 2,8-11.,2r n, 1. r=3,系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第4 項(xiàng),即ci30-392，2, x =- 15x2.系數(shù)最大的項(xiàng)應(yīng)在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)之內(nèi)，即%c0n2-2- 45 n4為 c10 =1 , c10 2. c104-4 105 62 =,c108r取偶數(shù)0, 22-6=理 c80 .324,-n26, 8時(shí)，各項(xiàng)系數(shù)分別45256，系數(shù)最大的項(xiàng)是第 5項(xiàng)，即105133x溫馨提示注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”在概念上的區(qū)別，否則會得出“系數(shù)最大的項(xiàng)為t4,而系數(shù)最小的項(xiàng)為t1和t7”的錯(cuò)誤結(jié)論.一系列數(shù)的大小比較問題，其數(shù)學(xué)模型就是數(shù)列中各項(xiàng)的大小比

5、較問題，而數(shù)列an的各項(xiàng)大小排隊(duì)方法無外乎單調(diào)t法、作差法、作商法等.本題用了作商與1比較的方法.三、二項(xiàng)式定理性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】試證明下列組合恒等式:(1)m m m mmm 一 m m 1cm + cm 由 cm 七 c c2m = c2m + ;(2)若 an為等差數(shù)列，d 為公差，求證：a1c：+a2c： +an+1cnn= (2a1+nd) 2n-1.思路分析：(1)將cm寫成cm1；后，連續(xù)使用組合數(shù)性質(zhì)：cn+c：=c；可得結(jié)果.(2)本質(zhì)上是一個(gè)求和問題，用“逆序求和”思想可得結(jié)果解：(1)cm+cm+cme=cm與上cm. +cm. + cmcm + cm 1 cm 七c

6、2m= pm+ pmm =0m +cm 2+cm 2c2mc2m 1 .(2)令 s=ac0+a2c：+才+15.則 s=a.+1cn+ancn + -+a1cn.歡迎下載. . c k n _kcn = cn，將以上兩式相加，得2s=c0 (ai+an+i) +c： (a2+an) + +c： (an+i+a。.又.a n)是等差數(shù)列, . a i+an+i=a2+an=a3+a n-i=-=an+i+ai.-2s= (ai+an+i) ( c： + c：+c；),.-2s= ( 2ai+nd)2 n,s= ( 2ai+nd) 2 n.溫馨提示(i)不要誤寫為cm； (2)不要誤寫為(2ai

7、+nd) 2n,像c：改寫成c：后出現(xiàn)的連鎖反應(yīng)一樣.各個(gè)擊破類題演練i設(shè)(2x-i ) 5=ao+aix+a2x2+a5，求:(1)(2)(3)(4)解析:ao+ai+a2+a3+a4；|a o|+|a i|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|;ai+a3+a5；(ao+a2+a4)2- (ai+a3+a5)2.設(shè) f (x) = (2x-i ) 5工ao+aix+a2x2+a5x5，貝u f (i) =ao+ai+a2+a5=i,f (-i ) =ao-a i+a2-a 3+a4-a 5= (-3 ) =-243.(1) . a 5=25=32, 0 o+ai+a2+a3+a4

8、=f(2) |ao|+|a i|+|a(3) . f (i) -f244(i) -32=-3i.2|+ +|a 5|=-a o+ai-a 2+a3-a 4+a5=-f (-i ) =243.(-i ) =2 (ai+a+as),a i+a3+a5=i22.2(4) ( ao+a2+a4)2- (ai+a3+a5)2=(ao+ai+a2+a3+a4+a5) ( ao-a i+a2-a 3+a4-a 5) =f (i) xf (-i) =-243.變式提升i求(i+2x+x2) io (i-x) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和.解：(i+2x+x2) io (i-x) 5= (i+x) 2o (i-x)

9、5_/c ci c222o 2o=(c2o + c2o x+c2ox + c2o x)c； + c； (-x) i+-+ c55 (-x) 5=a)+ax+a2x +a3x +a25x ,對于x取任意給定的數(shù)，等式左右兩邊的值總相等，令o=ao+ai+ae+a3+a 25,.展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0.類題演練2x=i,則(1+2x) n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù) 最大的項(xiàng).解析：根據(jù)已知條件可求出 n,再根據(jù)n的奇偶性，確定出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).t6=c； (2x) 5,t7=c6 (2x) 6,依題意有 c；25=c； un n=8.(1+2x)

10、8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為t5七.2 2x) 4=1 120x4.設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有；c8 0 至c；，2r,，c8 0殳c；*,2r. .r=5,或 r=6 (r c 0,1,2,8).系數(shù)最大的項(xiàng)為 t6=1 792x 5,t 7=1 792x變式提升2求(2+x) 10展開式系數(shù)最大的項(xiàng).解析：設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，_ r 1 r 1c82_c8 *2 ,c82至c；4 2r即產(chǎn)10-)!10!r!(10-r)!10! c10* 2- 210_r _10!11 -r 2(r -1)!(11 -r)!10!4 2(r 1)!(9-r)!,11一 3 1j0 -r r+1.

11、 r=3時(shí)，t4=c5 2 7 x3為所求的系數(shù)最大的項(xiàng).類題演練3設(shè)(a+b) 20的展開式的第4r項(xiàng)的系數(shù)與第r+2項(xiàng)的系數(shù)相等，求r的值.解析：設(shè)(a+b) 20的展開式的第4r項(xiàng)系數(shù)為c：0,，第r+2項(xiàng)系數(shù)為c2；書,依題意得c40】=c40 1,4r -1=r+1,或 4r-1+r+1=20.解得r= 2 (舍去),r=4.3r=4即為所求.變式提升3_ 1_ 2_ 3_ n(1)求 cn+2cn +2cn+ncn 的值;求 c：+2c； + 2c； + 2n，c：的值.解析：(1)設(shè)原式為 s,則 s=0c：+lc：+2c；+3c；+ + (n-1) c/+nc；.將上式倒序?qū)懗霾⒖紤]到 c： =c：-，得s=nc0n+ (n-1 ) + (n-2) c2+1c；,+0cn兩式相加并考慮到n+0= ( n-1 ) +1=(c0n+cn+c： + c： +c：) =n -