菲涅耳公式推導

1、第二章 波動光學的基本概念(二) Lecture 8 1. 1.菲涅耳公式菲涅耳公式 2.2.光強、能流的反射率和透射率光強、能流的反射率和透射率 3.Stocks3.Stocks倒逆關系倒逆關系 1. 1. 菲涅耳公式菲涅耳公式 當光通過不同的介質界面時當光通過不同的介質界面時, , 入射光分為反射光和折入射光分為反射光和折 射光兩部分射光兩部分, , 折射定律和反射定律決定了它們的方向折射定律和反射定律決定了它們的方向, , 而這兩部分光的強度和振動的取向而這兩部分光的強度和振動的取向, , 則需要用電磁理論則需要用電磁理論 來討論來討論. . 光是電磁波，在兩種介質的分界面，要滿足電磁光

2、是電磁波，在兩種介質的分界面，要滿足電磁 場邊界條件（假設兩介質為電介質）：場邊界條件（假設兩介質為電介質）： 電矢量切向分量連續(xù)電矢量切向分量連續(xù) 磁矢量切向分量連續(xù)磁矢量切向分量連續(xù) t2t 1 EE t2t 1 HH x y z o 1P 1S 1P 1S 2P 2S 光在介質界面上反射和折射時光在介質界面上反射和折射時, , 其其平行于入平行于入 射面的分量射面的分量( (又稱平行分量又稱平行分量, ,用用p p表示表示, ,或簡稱或簡稱p p分分 量量) )，與，與垂直于入射面的分量垂直于入射面的分量( (又稱垂直分量又稱垂直分量, ,用用 s s 表示表示, ,或簡稱或簡稱s s分

3、量分量) ) 的行為不同的行為不同. . 1 S 1 P 1 S 1 n 2 n z x O 1 P 2 P 2 S 1 i 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 將振動矢量分解為垂直和平行與入射面的將振動矢量分解為垂直和平行與入射面的S分量和分量和P 分量。分量。P 、S和和k構成右手正交系，局部坐標系，也稱構成右手正交系，局部坐標系，也稱 “隨線坐標系隨線坐標系”。 k1 k2 k1 規(guī)定規(guī)定s分量沿分量沿y方向為正。圖方向為正。圖 示為各個分量的正方向。示為各個分量的正方向。 討論電場的討論電場的p p分量分量: : 再根據(jù)再根據(jù) ,SE H 先確定入射面內先確定入射面內E E1p 1

4、p方向 方向, , 隨后由隨后由“隨線坐標隨線坐標”定定 12 ,. p EE p 確定確定 112 ,. sss HHH x y z o 1p E1s H 1p E 1s H 2p E2s H 由邊界條件由邊界條件, , 各切向分量之間關系可表示為各切向分量之間關系可表示為 111122 coscoscos , ppp EiEiEi 112 . sss HHH (1) (2) 根據(jù)根據(jù) 0 0 , r sp r HE 且透明介質有且透明介質有 . 1 r 因此上面因此上面(2)(2)式可變?yōu)槭娇勺優(yōu)?010102 112 000 , rrr ppp EEE 1 H s 1 E p 1 H s

5、 1 n 2 n z x O 1 E p 2 E p 2 H s 1 i 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 即即 111122 , rprprp EEE 111122 . ppp n En En E(3) 聯(lián)立聯(lián)立(1),(3) ,(1),(3) ,并利用并利用 ,sinsin 2211 inin 得得 p p 分量分量 1 12 112 () , () p p E tg ii r Etg ii p 2 21 11212 2sincos . sin()cos() p p E ii t Eiiii p 振幅反射比振幅反射比: : 振幅透射比振幅透射比: : 111122 coscoscos

6、 ,HiHiHi ppp 112 .EEE sss 解得解得 s s 分量的振幅反射比分量的振幅反射比: : 振幅透射比振幅透射比: : 同理有：同理有： 1 n 2 n 1p H . . 2 H p 1 H p 1 E s 1 E s 2 E s z x 1 i 1 i 2 i 討論討論S S分量：分量： 112 112 sin() , sin() s s s Eii r Eii 221 112 2sincos . sin() s s s Eii t Eii O 2.2.光強、能流的反射率和透射率光強、能流的反射率和透射率 光強反射率和透射率光強反射率和透射率 , 2 1 2 1 2 2 1

7、 2 1 2 110 2 110 1 1 p p p p p p p p r E E Ecn Ecn I I R , 2 2 1 2 1 1 1 p p p p p p r E E I I R . 2 2 1 2 1 1 1 s s s s s s r E E I I R . 2 1 2 00cnE I . 2 1 2 2 11 2 22 1 2 s s s s s s t n n En En I I T . 2 1 2 2 11 2 22 1 2 p p p p p p t n n En En I I T 能流能流W=IS，這里，這里S為光為光 束的橫截面積。由反射定律和束的橫截面積。由反射

8、定律和 折射定律可知，反射光束與入折射定律可知，反射光束與入 射光束的橫截面積相等，而折射光束的橫截面積相等，而折 射光束與入射光束橫截面積之射光束與入射光束橫截面積之 比是：比是： S 1 S 1 S 1 w 2 w 1 w 1 1 1 s s 1 2 1 2 1 2 icos icos icoss icoss s s 2 S S 能流反射率和透射率能流反射率和透射率 112 1 111 , pp pp pp wI s r wsI 2 111 111 , ss ss ss wIs r wsI . cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 s s s s s s t n n

9、i i I I s s w w , cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 p p p p p p t n n i i I I s s w w 211 ,WWW 分別為入射光，反射光和折射光能流 . 112112 , pppsss WWWWWW 根據(jù)能量守恒，入射光，反射光和 折射光能流滿足： 2222 2222 1111 coscos 1,1 coscos ppss inin rtrt inin （3 3）Stocks倒逆關系倒逆關系 0ArtAtr 1, rrtt rr A Ar At Ar At Att Atr Arr Atr ArrAttA 12 12 21 12 12 12 21 1212 sin() sin() 2sincos sin() tan() tan() 2sincos sin()cos() s s p p ii r ii ii t ii ii r ii ii t iiii 1. Es 和和 Ep 是