使用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題

1、使用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題 (河北省懷來縣沙城中學(xué) 河北 懷來075400) 摘要：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來解決。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)。 關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；不等式；單調(diào)性；最值 中圖分類號(hào)：g633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：b文章編號(hào)：1672-1578（2012）05-0136-01 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（?。┲怠⑶蠛瘮?shù)的值域等等。而在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時(shí)往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)；因此，很多時(shí)侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為

2、工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題。下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問題時(shí)的作用。 1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 1.1 利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式。我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式： 1.1.1 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。瑏碜C明不等式成立。 例：x0時(shí),求證；x x

3、22-ln(1+x)0 證明：設(shè)f(x)= xx22-ln(1+x) (x0), 則f 、(x)=x21+xx0,f (x) 所以x0時(shí),f(x) 1.1.2 把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。 例：已知：a,br,bae, 求證:abb a, (e為自然對(duì)數(shù)的底) 證：要證abba只需證lnablnba 即證：blnaalnb0 設(shè)f(x)=xlnaalnx (xae)；則f 、(x)=lnaax ,ae,xa lna1, ax0,因而f(x)在（e, +）上遞增 ba,f(b)f(a)；故blnaalnbalnaalna=0；即blnaalnb

4、 所以abba成立。 (注意，此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnxxlnb (e 則f(x)=bx-lnb ，f(x)0時(shí)xblnb 故f(x)在區(qū)間（e, b）上的遞減,但要證明 eblnb則需另費(fèi)周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構(gòu)造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時(shí)，如何選擇自變量來構(gòu)造函數(shù)是比較重要的。） 1.2 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)的最值, 因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最小）值時(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函

5、數(shù)求最值問題。例、求證：nn*,n3時(shí)，2n 2n+1 證明：要證原式，即需證：2n2n10,n3時(shí)成立 設(shè)f(x)=2x2x1(x3),則f、 (x)=2xln22(x3), x3,f、 (x)23ln320 f(x)在3，+ ）上是增函數(shù)，f(x)的最小值為f(3)=23231=10 所以，nn*,n3時(shí)，f(n)f(3)0, 即n3時(shí),2n2n10成立， 例、g(x)=(xar-1)2+(bx-1)2 的定義域是a=a,b )，其中a,br+,a x1k2,(k+1)2 , x2(k+1)2,(k+2)2) 求證: g(x1)+g(x2)4k(k+1)（kn*） 證明：由題知g (x)=

6、2xa2-2a+2bx2-2b2x3 g (x)=2xa2-2a+2bx2-2b2x3=0時(shí)x4ax3a2b2+a2bx=0 即(x4a2b2)ax(x2ab)=0,化簡(jiǎn)得(x2ab)(x2ax+ab)=0 所以x2ax+ab =0或x2ab=0，0 故g 、(x)0時(shí)x abb), g、 (x) 因而g(x)在 abb) 上遞增，在a,ab) 上遞減 所以x=ab）是ga(x)的極小值點(diǎn)， 又ga(x)在區(qū)間a,b) 只有一個(gè)極值g(ab)=2(ba) 是g(x)的最小值。 所以， g(x1)的最小值為g(k+1)2k2)=2(k+1)2k2-1)2=2(k+1k-1)2=2k2 g(x2)的最小值為2(k+2k+1-1)2=(2k+1-1)2 又2k2+2(k+1)22k2.2(k+1)2=4k(k+1) x1k2,(k+1)2 , x2(k+1)2,(k+2)2 時(shí)g(x1)+g(x2) 4k(k+1)（kn*）成立 總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來解