伊辛模型及其提出的背景

1、淮陰師范學院畢業(yè)論文（設(shè)計）摘 要：本文首先介紹了什么是伊辛模型及其提出的背景，接著介紹了布喇格威廉斯近似方法，它是一種典型的平均場理論。雖然其存在缺陷，但可以說明伊辛模型相變的主要特征。然后又簡單介紹了用來討論臨界點性質(zhì)的臨界指數(shù)，最后通過對伊辛模型求嚴格解，得出了一維伊辛模型的局限性。關(guān)鍵詞：伊辛模型 平均場 配分函數(shù) 相變abstract: this article first introduced any is the background which the ising model and proposed, then it introduced the bragg - willia

2、ms approximate method, it is one kind of typical average field theory. although its existence flaw, may explain the ising model changes main characteristic. then it simple introduced the critical exponent , which used for to discuss the critical point nature, finally we got the result of the ising m

3、odels limitations from the ising models strict solution.keywords: ising model ； average field ； partition function ； phase transformation.目 錄0引言41伊辛模型411 鐵磁體的伊辛模型 412 其它模型的對照 52布喇格威廉斯近似62 布喇格威廉斯假設(shè)62 配分函數(shù)72 相變7臨界指數(shù) 9 臨界點的性質(zhì) 10伊辛模型的嚴格解 10 一維伊辛模型的局限性 11結(jié)束語 13 參考文獻 14致謝 150 引言從20世紀30年代中葉開始,“從單一的配分函數(shù)表達式能

4、否同時描述各項和相的轉(zhuǎn)變”這一問題成為爭論對象之一。該問題的解決方法之一是建立包含系統(tǒng)最本質(zhì)特征的簡化模型，嚴格地導出其在相變點的宏觀特性。物理學家經(jīng)過半個多世紀以來對統(tǒng)計模型的大量研究，已形成統(tǒng)計物理學的一個專門研究領(lǐng)域，其中一個最簡單的模型伊辛模型。然而，經(jīng)過研究和討論，該模型并非十分完美，仍存在一定的局限性。1 伊辛模型 伊辛在1925年提出一個描述鐵磁體的簡單模型。模型雖然簡單，但是用它討論鐵磁體的相變十分方便。同時，只需對相應(yīng)的記號稍加改變，這一模型還可以描述二元合金模型、晶體內(nèi)吸附氣體分子的格氣模型等以有序無序相變?yōu)樘卣鞯南到y(tǒng)。11 鐵磁體的伊辛模型 鐵磁體視為個格點組成的維晶格（

5、=1，2，3），每個格點上均有一自旋粒子。粒子的自旋計為（=1，2，,），它只取+1或-1兩值，或速俗稱自旋向上與自旋向下兩個取向。格點上自旋的取值構(gòu)成分布，每個分布描述鐵磁體的一個構(gòu)形。只考慮最近鄰自旋的相互作用，起作用能的取值原則是：當兩個相鄰自旋相互平行（沿相同取向）時取-，反平行（平行但取向相反）時為+；0對應(yīng)鐵磁性，0為反鐵磁性。同時，自旋與外磁場還有相互作用。將自旋磁矩計為b，在外磁場為b，分布為si時系統(tǒng)的能量則可寫為 =- （11）式中求和符號的表示：求和時和中只取一項，而且只取最近鄰項，這種規(guī)則有時寫為.下標i表示給出的是伊辛模型的能量。如果每格點的最近鄰格點數(shù)為，求和項的總

6、數(shù)則為/2。假設(shè)：自旋向上總粒子數(shù)；：自旋向下總粒子數(shù)；：（+）型近鄰（即相鄰兩自旋均向上）總對數(shù)；：（-）型近鄰（即相鄰兩自旋均向下）總對數(shù)；：（+-）（包括-+）型近鄰（即相鄰兩自旋反向）總對數(shù)。根據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系以及（11）式可得到以、為變量表達式 （12）配分函數(shù)則為()= （1-3）（1-3）式給出了伊辛模型的配分函數(shù)。但是，要利用這個配分函數(shù)來研究相變還需進一步給出n+和 n+的值。這歸根到底是一個求解伊辛模型的問題。12 其它模型的對照二元合金和晶格氣體可用類似于伊辛模型的方法來描述。事實上，只要將上面伊辛模型中的，等的意義加以調(diào)整，既可描述二元合金和格氣。121 二元合金二元合金的

7、相變是研究最早的有序無序相變。當溫度升至（某個臨界溫度）時，每種原子占“對”位置的幾率將為1/2（“錯”的幾率同時增大到1/2）。那就是說，從開始，包括溫度繼續(xù)上升而超過這個臨界溫度，兩種原子將“無序”的混合。我們說在點發(fā)生了從有序到無序的轉(zhuǎn)變，或曰相變。通常又將這一相變點稱為居里點。考慮某合金含有兩種原子和，我們可將它們類比于自旋向上和向下兩種情形。假定原子共占據(jù)個格點，每格點近鄰數(shù)為，近鄰型（即原子與原子相鄰）的對數(shù)為，型對數(shù)為，型對數(shù)為；再以，表示各種近鄰的相互作用能。這樣，合金系的總能量可寫成（略去原子動能） （1-4）總能量則只是與的函數(shù) （1-5）以上描述的模型與伊辛模型十分相似。

8、事實上，只需將伊辛模型的+、-換為a、b，它就可描述二元合金。122 格氣有些晶體的內(nèi)部或表面可以吸附氣體分子，因為被吸附的氣體分子占據(jù)晶體的格座，所以將形成的體系稱為格氣。以代表原子，以代表空格點，記格座數(shù)為，原子數(shù)為，空格點數(shù)為，每格點近鄰數(shù)為，近鄰均為原子（型）的近鄰對的總對數(shù)為，近鄰的對數(shù)為，近鄰是的對數(shù)為。因為只有近鄰原子之間才有相互作用，所以與對總能量沒有貢獻。略去原子動能，體系總能量可寫為 （1-6）以為各原子吸附能相同，它們對總能量只貢獻一個常數(shù)，所以這里沒有記入。 用上述能量表達式立即可以寫出配分函數(shù)為= （1-7）式中求和符號中表示對所有被吸附原子的分布方式求和。在計算中還

9、要注意到，原子因為其定域性是可以分辨的。 巨配分函數(shù)為 = （1-8）上述兩種模型與伊辛模型在統(tǒng)計力學的角度是一樣的，其區(qū)別在于格點狀態(tài)的記號不同，互作用能大小各異。以下我們將集中討論對伊辛模型的求解，并以之為代表研究這類體系的相變問題。2布喇格威廉斯近似運用平均場方法可以簡單地得出伊辛模型的相變結(jié)果。布喇格(bragg)威廉斯(williams)近似方法就是一種典型的平均場理論。這種近似雖然很粗糙，但可以說明相變的主要特征。 布喇格威廉斯假設(shè)布喇格和威廉斯提出一個假設(shè)，近似地取 （2-1）這一假設(shè)的基本思路是：自旋對的總數(shù)為1/2，單粒子取正自旋的幾率應(yīng)是，兩粒子同時取正的幾率便應(yīng)為，用它代

10、表（+）粒子對在總對數(shù)中所占的比例，便可得上述關(guān)系。顯然，這是一個平均的考慮。再定義長程序參數(shù)，它由下式給出 （1+）,或 = （1-）. (-11) （2-2）不難由下式看出的物理意義： = 若以元胞體積作為體積單位，即，磁化強度則為 （2-3）于是，求磁化強度的問題歸結(jié)為求的平均值的問題。下面將用配分函數(shù)計算這一平值。2 2配分函數(shù)采用布喇格威廉斯假設(shè)，根據(jù)l的定義，(5.1.3)可寫為= - + - = （2-4）配分函數(shù)則為= = （2-5） 對于宏觀體系，有，所以求和中可以只保留最大的一項。我們將這一項記為，并用最大項代替配分函數(shù)則有 (+) + = (+) - - （2-6）對上式

11、給出的求極值就可以確定配分函數(shù)中的最大項。相應(yīng)的序參數(shù)極值應(yīng)滿足如下方程= 0由此得 = +，所以 = （2-7）這個公式給出了序參量的平均值，名為布喇格威廉斯公式。23相變以0,即鐵磁性物質(zhì)為例,考慮情形的相變.這時布喇格威廉斯公式成為 = = （2-8）式中引入的溫度滿足條件 = （2-9） 1 1 0 圖2-1 圖解法定綜上，方程的解歸納為 = （2-10）由上述解可以看出：時，=0，物體系無磁化；時，在取0時有相同的極小值。這時不加外場仍有磁化，古故稱自發(fā)磁化。這說明，鐵磁系只有在時才出現(xiàn)鐵磁性，溫度是發(fā)生鐵磁相變的臨界溫度。對一般須用數(shù)值求解，在極限情況下可以得到近似的解析結(jié)果： （

12、2-11） 1 0 1 圖2-2 隨溫度之變化 圖2-2給出作為溫度的函數(shù)曲線，這里我們看到，在相變點，描述相變特征的量和/n都是連續(xù)變化的，這是連續(xù)相變的共同特征。 嚴格解 3/2 0 1 圖2-3比熱隨溫度的曲線由（2-11）的結(jié)果作出比熱隨溫度變化之曲線如圖2-3。由圖可見，在，比熱發(fā)生了突變。這反映作為相變點的特征。為比較，圖中同時繪出嚴格解的定性曲線。布喇格威廉斯近似是一種十分簡單的近似方法。它成功地獲得了相變的結(jié)果，但有嚴重缺欠。例如，由這一理論得到的：“相變與空間維數(shù)無關(guān)”的結(jié)論是不正確的。嚴格求解可以證明，證明，一維伊辛模型沒有相變。3臨界指數(shù)上節(jié)用布喇格威廉斯的平均場近似方法

13、得到了伊辛模型臨界點附近的序參量l學函數(shù)，給出了相變的一些特征。在臨界點t=附近，物體系性質(zhì)比較特殊，很突出的一個特點是漲落非常大。與次相關(guān)的一些物理現(xiàn)象，例如臨界乳光現(xiàn)象，早已為實驗發(fā)現(xiàn)。因此，研究臨界點附近重要物理量對外參數(shù)變化的響應(yīng)特征是十分重要的。這些特性常用臨界指數(shù)來描寫。現(xiàn)在，我們用上節(jié)的方法討論伊辛臨界點附近的性質(zhì)，并進一步給出臨界指數(shù)的概念。 臨界點的性質(zhì)臨界磁化強度 （3-1） 臨界比熱 = （3-2）這里 = = 0313臨界磁化率現(xiàn)在考慮磁場的影響。在=0出磁化率由下式給出 = （3-3）由（2-7）及的定義可得 + = tan （3-4）將右端展開為 + = + + +

14、 （3-5）對b求導數(shù)并注意的定義可得 = （1 - + + + ） （3-6）伊辛模型的嚴格解布喇格威廉斯近似雖然簡單而且給出了相變，但是過于粗糙，至少在兩個方面有兩個不足：首先，它給出的相變與維數(shù)無關(guān)。這一點在定性上就是不正確。本節(jié)將證明，一維伊辛模型沒有相變。其次，它給出的臨界指數(shù)與實驗值偏離較大。對一些熱力學量的計算結(jié)果在定性上也有偏差。例如，它雖然給出了比熱作為溫度的函數(shù)在臨界點不連續(xù)，但具體特征不對，沒有給出比熱。后來，貝特（bethe）派爾斯改進了他們的近似，得到了好得出的結(jié)果。他們得出的臨界溫度低于布喇格威廉斯結(jié)果，更接近精確解的值，同時給出了接近型的比熱。但是，種方法仍然是比

15、較粗略的。對于伊辛模型的嚴格求解，物理學家進行了長期的努力，但至今還只解決了一維和二維的問題。對高維數(shù)（包括三維）的體系仍然只能獲得近似結(jié)果。 一維伊辛模型的局限性我們用周期邊界條件來研究一維伊辛。假定n個自旋組成一維鏈，其第n個自旋與第一個相接，形成環(huán)形鏈，如圖4-1所示。在熱力學極限下，邊界條件的選擇不會影響計算結(jié)果，因此用上述特邊界條件得到的結(jié)果具有普遍性。用開始的描述方法，構(gòu)型組態(tài)相應(yīng)的能量為 = b （4-1）其周期性邊界條件為= （4-2）配分函數(shù)則可寫為= （4-3） i=1 i=n i=2 i=n-1 i=3 i=n-2 圖4-1 一維周期鏈利用周期性邊界條件則有= （4-4） 處理得 （4-5）將的兩個本征值寫為，由本征值方程不難解出 （4-6）配分函數(shù)則可寫成 其對數(shù) （4-7） 磁化強度則為 （4-8） 顯然，時，無論溫度如何，磁化強度總是零，即 （4-9）這就是說，沒有出現(xiàn)順磁鐵磁相變。 這里得到的嚴格解證明：一維伊辛模型沒有相變，而平均場理論給出的結(jié)論是相變與維數(shù)無關(guān)，顯然是不正確的。結(jié)束語通過對伊辛模型的研究，一方面體會到該模型的簡單和解決相關(guān)問題時的方便；另一方面則發(fā)現(xiàn)其存在的局限性。參考文獻：