高中數(shù)學(xué)案例：算法中“直到型”循環(huán)結(jié)構(gòu)的探究式教學(xué)

1、算法中“直到型”循環(huán)結(jié)構(gòu)的探究式教學(xué)探究式教學(xué)是高中課堂活動(dòng)的重要教學(xué)方式之一，它是以探究為基本特征的教學(xué)活動(dòng)形式，數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)包含生生之間和師生之間的互動(dòng)和交流，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性、學(xué)習(xí)的積極性和參與意識(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題的能力。算法是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法結(jié)構(gòu)中的一個(gè)難點(diǎn)及重點(diǎn)。面對復(fù)雜的流程圖，學(xué)生的分析會(huì)出現(xiàn)混亂，學(xué)生能根據(jù)流程圖“執(zhí)行”循環(huán)結(jié)構(gòu)，但不能設(shè)計(jì)循環(huán)結(jié)構(gòu)和用一個(gè)恰當(dāng)?shù)呐袛鄺l件終止循環(huán)。在學(xué)習(xí)過程中僅有11%地學(xué)生能夠添加正確的條件來判斷循環(huán)的起始，僅有2%的學(xué)生能夠完成自然語言描述的循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法中的兩個(gè)流程圖。在教學(xué)中，我試

2、圖通過錯(cuò)例分析引導(dǎo)學(xué)生對解題活動(dòng)給予回顧、反思、評價(jià)，促進(jìn)學(xué)生的元認(rèn)識(shí)水平的發(fā)展和提高。我作了如下安排1背景資料問題：設(shè)計(jì)一個(gè)算法求1+的和這是一節(jié)習(xí)題課，主要目的是鞏固循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的設(shè)計(jì)，及在設(shè)計(jì)循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)要注意三要素：計(jì)數(shù)變量，循環(huán)體，控制條件。課前我已把這道題目當(dāng)成作業(yè)叫同學(xué)們做好，這樣的目的也為了讓學(xué)生們有更多的思考空間。通過作業(yè)，我把學(xué)生的多種解答和類型作了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)，并將不同的幾種典型的錯(cuò)誤解法及和我預(yù)想會(huì)出錯(cuò)的流程圖印發(fā)給每位學(xué)生，為引文方便現(xiàn)摘錄如下：圖1 圖2 圖3開 始開 始開 始ynnyi31輸出s結(jié)束s=s+i輸出si1/31i=1/(i+1)結(jié)束s=s+i=i+

3、1s=1i=1s=1i=1輸出si=1s=0i=i+1s=s+ii31結(jié)束yn圖4 圖5 圖6開 始開 始開 始ys=s+ii=1/i+1i輸出si=1結(jié)束s=0輸出si=i+1s=s+ii=1s=1結(jié)束yni=i+1s=s+yni=1s=1i31輸出s結(jié)束n2研究和探索課上要求每一位同學(xué)認(rèn)真閱讀印發(fā)的講義并結(jié)合自己原來的想法或解答，思考以下問題我的設(shè)計(jì)是不是最好的？最直觀？（因?yàn)樗惴ㄔO(shè)計(jì)的思路決定框圖設(shè)計(jì)的繁簡）我的設(shè)計(jì)合不合題目的要求，程序能不能執(zhí)行下去，不能執(zhí)行下去的原因在哪里？（明確上課聽課的目標(biāo)）上述的設(shè)計(jì)能解決問題嗎？是當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)嗎？若不合要求你能作一下修改讓它成為滿足

4、題意，成為可執(zhí)行的程序框圖？（方法的掌握比解一兩道題目更重要）你認(rèn)為設(shè)計(jì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖時(shí)，注意點(diǎn)是什么？（總結(jié)反思才有提高）。8分鐘后生1：材料中1、2、3是直到型的，4、5、6是當(dāng)型的。直到是先執(zhí)行后判斷，直到滿足條件循環(huán)停止，而當(dāng)型是先判斷后執(zhí)行，當(dāng)條件滿足時(shí)進(jìn)行循環(huán)。對本題來說，兩種設(shè)計(jì)方案都可以。師：那么材料中設(shè)計(jì)的流程圖的可行性怎么樣呢？生2：我的設(shè)計(jì)是圖2，開始不是很確定，一看其他情況，我知道我的設(shè)計(jì)是對的。師：哦，你是用什么方法檢驗(yàn)的呢？生2：我把自己想成是計(jì)算機(jī)，依照計(jì)算機(jī)的處理過程沿流程線逐步執(zhí)行指令，根據(jù)指令記下循環(huán)運(yùn)行的過程和變量值特別是前幾次和最后幾次，發(fā)現(xiàn)圖1的運(yùn)

5、算結(jié)果求23431的和，不是題目的要求師（微笑）：方法很好，咱們的人腦確實(shí)比電腦好用，靈活機(jī)動(dòng)。（學(xué)生笑）那么你能不能把圖2的檢驗(yàn)過程跟同學(xué)們敘述一遍？生2（響亮的回答）：ok，由ii1，得i2。由s=s+1/i，得s=1+,因?yàn)閕30才對。你看，當(dāng)i30的時(shí)候不滿足i31要繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，這時(shí)i=32那么設(shè)計(jì)出來的程序就變成加到了。師：不錯(cuò)，這個(gè)程序確實(shí)要把判斷條件改一下才能變成可執(zhí)行的方案，生2同學(xué)把咱們設(shè)計(jì)流程圖的注意點(diǎn)都點(diǎn)出來了，感謝他。（要促進(jìn)學(xué)生的自我反省，引發(fā)必要“沖突”可借助適當(dāng)?shù)淖穯?，展示學(xué)生的思維，從而在展示過程中發(fā)現(xiàn)問題）（生2信心十足的坐下）師：還有沒有有沒有其他的判斷條

6、件？生2：嗯還可以用i31師：根據(jù)生2的思路，誰能在圖1的設(shè)計(jì)上作一下修改讓他變成可以操作的流程圖呢？生3：簡單。把圖1的條件全換成圖2的就可以了。師：對的，這是可以的，那么有沒有其他的修改方法呢？生4：把s=s+i這個(gè)要改成s=s+1/i然后把它跟i=i+1的順序調(diào)一下，你看行不行？師：同學(xué)們，你能根據(jù)生2的方法檢驗(yàn)行不行呢？（同學(xué)積極驗(yàn)證）：可以的生5：那判斷條件呢，我有些不太肯定。生3：我來解決好了。當(dāng)i=31,s=s+1/i,即1，i=i+1即i=32,3231 滿足條件退出循環(huán)。所以輸出的s1師：很好。咱們在控制循環(huán)的判斷條件上處理得蠻仔細(xì)的。那么圖3呢？這個(gè)設(shè)計(jì)可不可以呢？（陷入沉

7、思）師：咱們可以用同樣的方法檢驗(yàn)。生6：我的設(shè)計(jì)是5的情形，我是這么想的，加數(shù)是分式，特點(diǎn)是分母都增加了1，我把加數(shù)當(dāng)成計(jì)數(shù)變量，所以我設(shè)計(jì)i1/（i1）。在設(shè)計(jì)時(shí)沒有驗(yàn)算，只是憑上課聽了的例子做的?，F(xiàn)在驗(yàn)算一下好像不能操作。生7：是不能執(zhí)行的。當(dāng)i=1時(shí),滿足題意。執(zhí)行到i=，進(jìn)入循環(huán)后就不行了i=1/(+1),把加數(shù)當(dāng)成計(jì)數(shù)變量行不通，只能夠把加數(shù)的分母當(dāng)計(jì)數(shù)變量。生8：這個(gè)判斷條件也不行，加數(shù)是越來越小，i1/31,馬上就退出來了師：問題的結(jié)癥找出來了，修改也就容易了。（引導(dǎo)學(xué)生對各種設(shè)計(jì)方法的思維過程進(jìn)行再認(rèn)識(shí)并在分析比較中提煉出更好更簡更典型的設(shè)計(jì)方法，從而改進(jìn)和優(yōu)化已有的的思維過程

8、，檢查自己的得失，促進(jìn)思維能力和水平的提高，加深對算法的理解和循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的通法認(rèn)識(shí)，在這樣的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)過程中，使學(xué)生能與他們已有的的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)，并由他們本身感悟出帶有普遍性的規(guī)律，建立自己的知識(shí)體系。）師：直到型可以與當(dāng)型互換，那么當(dāng)型的結(jié)構(gòu)你能按剛才的分析方法判斷圖5，6，7的正誤嗎？全體答：可以師：哪位同學(xué)來回答4的思考題？學(xué)生：循環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要找好3個(gè)部分：變量的初始值，循環(huán)體和判斷條件。一般累加初始值記為s0，在初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)的處理及循環(huán)條件的設(shè)計(jì)上，可模仿計(jì)算機(jī)的處理過程沿流程線逐步執(zhí)行指令，根據(jù)指令記下循環(huán)運(yùn)行的過程和變量值特別是前幾次和最后幾次師（贊許的目光，微笑）：

9、總結(jié)的很好，本題是循環(huán)結(jié)構(gòu)的典型例子。設(shè)計(jì)時(shí)要知道這個(gè)結(jié)構(gòu)是當(dāng)型還是直到型，每一步都要知道自己為什么這么設(shè)計(jì)，問問自己能不能執(zhí)行？控制條件是不是把所有的情況都包括了 ？那么對于循環(huán)結(jié)構(gòu)相信大家是有能力掌握的。（學(xué)生只有參與教學(xué)實(shí)踐，參與問題的探究,才能建立起自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，也才能有所發(fā)展，有所創(chuàng)新）3收獲與反思這節(jié)習(xí)題課因?yàn)閷W(xué)生做過了，老師批閱了，知道學(xué)生的正確與錯(cuò)誤的情況，因此，一般的處理方式是教師分析，學(xué)生聽的注入式教學(xué)。本節(jié)課在培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面作了一點(diǎn)探索：一方面教師營造較為寬松的氛圍，使學(xué)生敢說、愿說、想說。有錯(cuò)的同學(xué)敢于曝露自己的

10、錯(cuò)誤，弱點(diǎn)，有不同見解的同學(xué)敢于發(fā)表自己的意見，使每位同學(xué)都積極地構(gòu)建自己的知識(shí)。教師在講課前要做好充分的準(zhǔn)備，批改每道題的錯(cuò)誤原因，發(fā)現(xiàn)有代表性錯(cuò)誤的加以統(tǒng)計(jì)，收納不同的錯(cuò)誤原因。特別是追查每道錯(cuò)題的錯(cuò)誤根源。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并且發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的根源是教師作為學(xué)習(xí)的促進(jìn)者的工作。通過引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并剖析自己的錯(cuò)誤根源通過自身的情感體驗(yàn)，逐步堅(jiān)定學(xué)好數(shù)學(xué)的決心。另一方面，循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法中的重點(diǎn)內(nèi)容，是考試中的必考內(nèi)容之一，思維能力要求很高，對于學(xué)生的不同設(shè)計(jì)方案，不管正確還是錯(cuò)誤都要給予鼓勵(lì)，特別是錯(cuò)誤的不但要幫助他們找到錯(cuò)誤的結(jié)癥在哪里，還要鼓勵(lì)他們繼續(xù)探索，樹立信心。波利亞說：“教學(xué)生解題是意志教育。當(dāng)

11、學(xué)生求解那些對他們來之不易的題目時(shí)，他學(xué)會(huì)了敗而不餒，學(xué)會(huì)了贊賞微小的進(jìn)步，學(xué)會(huì)了等待主要念頭出現(xiàn)后全力以赴。沒有嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學(xué)教育再最重要得地方失敗了?！闭窃谶@種不斷的探索過程中學(xué)生主動(dòng)探究的精神得到了很好的發(fā)展。第三，現(xiàn)行的班級授課中如何讓不同層次的學(xué)生都有最大的收獲，本節(jié)課能滿足學(xué)生的需要，寬松的課堂氛圍學(xué)生的思路才能更加寬闊，而且在這種愉快的氣氛中學(xué)生漫漫體會(huì)到成功的喜悅，也使學(xué)生不滿足一時(shí)的成功總是在尋求最佳、最簡、最好的方法過程中向自己的能力挑戰(zhàn)。布魯納認(rèn)為，與其讓學(xué)生把同學(xué)之間的競爭作為主要?jiǎng)訖C(jī)，還不如讓學(xué)生向自己的能力挑戰(zhàn)。這樣使學(xué)生有一種求的才能的內(nèi)驅(qū)力，更好的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第四，建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)并非學(xué)生對于教師所授予知識(shí)的被動(dòng)接受，而是依據(jù)其已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)所作的主動(dòng)建構(gòu)。而這種主動(dòng)建構(gòu)必需對問題有深入的認(rèn)識(shí)，在課堂教學(xué)中能反映學(xué)生認(rèn)識(shí)水平必然有一個(gè)在同學(xué)之間、師生之間互相進(jìn)行表達(dá)、交流、比較、批評、反思的過程。總之，教學(xué)過程是師生共同建構(gòu)學(xué)習(xí)主體的過程，是學(xué)生通過創(chuàng)造性地解決問題，獲得知識(shí)和發(fā)展能力的過程，這就需要我們在平時(shí)在教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)目的和任務(wù)及學(xué)生實(shí)際情況和可接受水平，創(chuàng)設(shè)良好的探究情境，