證明或判斷等差(等比)數(shù)列的常用方法

1、證明或判斷等差（等比）數(shù)列的常用方法湖北省 王衛(wèi)華玉芳翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何 處理這些題目呢？且聽筆者一一道來.一、利用等差（等比）數(shù)列的定義在數(shù)列 an中，若anan-1d （戈danan-1q 2；否則n=1時(shí)a0無意義，等比中一樣有：n2時(shí)，有n-=| = q （常數(shù)an 1#0）； nw n” 時(shí)，有 =1 =q （常數(shù) #0）. an二.運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)2 ,an+an+=2an + u an是等差數(shù)列，anan = an由（an *0） u an是等比數(shù)列，這 是證明數(shù)列an為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法.例3. （2

2、005江蘇卷）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)為sn,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 （5n8）sn+（5n+2）sn =an+b, n=1,2,3,川，其中 a, b為常數(shù).（1）求a與b的值；（2）證明數(shù)列an為等差數(shù)列；（3）略.解：(1)由 a1 =1, a2 =6, a3 =11,得 =1, s2=7, s3 = 18.,，、ab- -28,把 n =1,2分別代入 (5n8)sn卡(5n+2)s =an+b ,得 12a+b _j48解得，a = -20, b=y.由(i)知，5n(sn + -sn) -8sn+-2sn =-20n-8 ,即5nan + -8sn 4一2s = -20

3、n -8 ,又 5(n +1)an% 80聿-2sn +=20(n +1)8 .-得，5(n+1閉* 5nan+8an崔2an+=-20 ,即(5n 3)a0f (5n +2)%*=20.又(5n 十2)小書一(5n +7)an卡=-20 .-得，(5n+2)(% +一2an書+an+) =0 ,，an書 一2% 羋+an + =0 ,an由an電=an電一an+ =|l| = a3 a2 =5 ,又 a? & =5 ,因此，數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列.評(píng)析：此題對(duì)考生要求較高，通過挖掘sn的意義導(dǎo)出遞推關(guān)系式，靈活巧妙地構(gòu)造得到中項(xiàng)性質(zhì)，這種處理大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.例4.(高考題改編

4、)正數(shù)數(shù)列an和bn滿足：對(duì)任意自然數(shù) n, an, bn, an七成等差 數(shù)列，bn，an+，bn4成等比數(shù)列.證明：數(shù)列血為等差數(shù)列.證明：依題意，an 0, bn 0,2bn = an +an*,且 an+ = jbnbn/，, an = jbn_bn(n1 2)., 2bn = & 力 + jba. .由此可得2匹=廊+廊.即歷一匹=瘋一師5)2).:數(shù)列相 為等差數(shù)列.評(píng)析：本題依據(jù)條件得到 an與bn的遞推關(guān)系，通過消元代換構(gòu)造了關(guān)于血的等差數(shù)列，使問題得以解決.三.運(yùn)算數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從n = k時(shí)命題成立到n = k +1時(shí)命

5、題成立”要會(huì)過渡.例5 . (2004 全國(guó)高考題)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為sn ,已知ai =1 , a1= = sn(n =1,2,|).證明：數(shù)列sn是等比數(shù)列.n . nn 2.2 1524 al證明：由 a1 =1,烝書=sn(n =1,2,|),知 a?= =3&,二=2 ,n122ssc =1 ,猜測(cè)w?nb是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.1n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令bn = sn .(1)當(dāng)n=2時(shí)，b2 =2匕，成立.(2)當(dāng) n=3時(shí)，ss =a1 +a2 +a3 =1+3 + 2(1 +3) = 12,b3 = 4 = 2b2,成立.假設(shè)n =k時(shí)命題成立，即bk =2bk

6、.s k 2s那么當(dāng)n=k+1時(shí)，氏書=里 =0 +決由二k一k=2sk=2bk,命題成立. k1 k 1 k 1k 1 k k-sn 綜上知snl是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.x1 =1 ,點(diǎn)例6. (2005浙江卷)設(shè)點(diǎn) an(xn，0) r(xn，2n)和拋物線cn：y=x +anx+bn(nw n ),其中 an = 2 4n , xn 由以下方法得到: 2 n , 2f2(x2,2)在拋物線c1 : y = x +a# +b上，點(diǎn)a1由,0)到p2的距離是 a到g上點(diǎn)的最短距 離，點(diǎn)pn*(xn + 2n)在拋物線cn ： y =x2 +anx+bn上，點(diǎn)an(xn,0)到pn書的

7、距離是an 到cn上點(diǎn)的最短距離.(1)求x2及c1的方程.(2)證明xn是等差數(shù)列.2解：(i)由題意得：a(1,0),g : y =x 7x+d.設(shè)點(diǎn) p(x, y)是 c1 上任意一點(diǎn)，則 | ap |=j(x-1)2 +y2 = j(x-1)2 + (x2 _7x + b)2令 f(x)=(x1)2+(x27x+b)2,則 f(x)=2(x1)+2(x27x+b1)(2x7).2由題息：f (x2) =0，即 2(x21)十2(x2 7x2+b1)(2x27) = 0. 2又 p2(x2,2)在 c1 上，/.2 = x2 7x2 十bi, 2解得：x2 =3,b1 =14.，故 c1

8、 方程為 y=x -7x+14.(ii)設(shè)點(diǎn) p( x, y)是 cn 上任意一點(diǎn)，則 | anp |= j(xxn)2 十(x2 nx +bn)22.22令 g(x)=(xxn) +(x +anx+bn),2則 g (x) =2(xxn)+2(x +anx+bn)(2x + an). 2由題息得 g(xn4)=0,即 2(xn 4一xn)十 2(xn 卅十 2口*口 書 + bn )(2*口中 + 2口)= 0又：2n =xn； axni 也，. _n._._ .一 .一n-1_ n_(xn 卡-xn) +2 (2xn 書 +3n) =0(n 1).即(1+2 口口卅-xn +2 an =

9、0(*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 xn = 2n -1當(dāng)n =1時(shí)，x1 1,等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即 xk =2k1, k 1k則當(dāng)n=k+1時(shí)，由(*)知(1+2 )%書一x2 ay1k又 ak = -2 -4k -2k，二 xk由=k7tk = 2 k + 1 .1 2k 1即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.由知，等式對(duì) nw n成立.二xn是等差數(shù)列.評(píng)析：例5是常規(guī)的猜想證明題， 考查學(xué)生掌握猜想證明題的基本技能、掌握數(shù)列前n項(xiàng)和這個(gè)概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的方法；例 6是個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，通過求二次函數(shù)的最值得到遞推關(guān)系式，再直接猜想然后用歸納法證明，解法顯得簡(jiǎn)潔明了

10、， 如果直接利用遞推關(guān)系式找通項(xiàng)，反而不好作.四.反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手， 即從已知條件出發(fā)， 經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去 考慮.如：例7.（2000年全國(guó)高考（理）設(shè)20 4是公比不相等的兩等比數(shù)列，g = an +4 .證明數(shù)列g(shù)不是等比數(shù)列.證明：設(shè)an bn的公比分別為p, q, p#q, cn=an+bn,為證cn不是等比數(shù) 列只需證 c2 #cil_q .事實(shí)上， c2 =（4 p +biq）2 =a； p2 +b；q2 + 2a1blpq0匕3 =（abi）（a3 b3）= b）（aip

11、2 6q2）=a；p2 - b2q2 ah（p2 q2）；p*q, p2+q2 a2 pq ,又 a，bi不為零，二 c2 # gla ,故cn不是等比數(shù)列.評(píng)析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運(yùn)算能力， 對(duì)邏輯思維能力有較高要求.要證cn不是等比數(shù)列，只要由特殊項(xiàng)（如c2#g|_c3）就可否定.一般地講，否定性的命題常用反證法證明，其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性.五.看通項(xiàng)與前n項(xiàng)和法若數(shù)列通項(xiàng) 為能表示成%=an+b （a, b為常數(shù)）的形式，則數(shù)列an是等差數(shù)列； 若通項(xiàng)an能表示成an =cqn（c, q均為不為0的常數(shù)，n n +）的形式，則

12、數(shù)列an）是等比 數(shù)列. 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn能表示成sn=an2+bn （a, b為常數(shù)）的形式，則數(shù)列 an等差數(shù)列；若sn能表示成sn=aqn-a（a, q均為不等于0的常數(shù)且qwl）的形式， 則數(shù)列an是公比不為1的等比數(shù)列.這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時(shí)間.例8. （2001年全國(guó)題）若sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，sn = n2,則仁/是（）.a.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列b .等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列c.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列d .既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列解析：用到上述方法，一下子就知道答案為b,大大節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了命中率.六.熟記一些常規(guī)結(jié)論，有助于解題若數(shù)列

13、an是公比為q的等比數(shù)列，則(1)數(shù)列an 九an(入為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；(2)若是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列aj_bn是公比為qq的等比數(shù)列；11(3)數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列;anq(4) an是公比為q的等比數(shù)列；(5)在數(shù)列an中，每隔k(k wn*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk + ；(6)an +anq an an由 a2n a2n, ai +a2 +a3, a，+a5 +a& a7 +a8 +ah一等都是等比數(shù)列；(7)若m, n, p(m, n, pw n*)成等差數(shù)列時(shí)，am, an, ap成等比數(shù)列；(8) sn, s

14、2n -sn, &n s2n 均不為零時(shí)，則&n -$3n - s2n 成等比數(shù)列；(9)若log ban是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列.若數(shù)列an是公差為d等差數(shù)列，則(1) kan+b成等差數(shù)列，公差為 kd (其中k#0, k, b是實(shí)常數(shù))；(2) s)k skn, (kw n, k為常數(shù))，仍成等差數(shù)列，其公差為 k2d ；(3) 若an bn都是等差數(shù)列，公差分別為 db d2 ,則烝bn是等差數(shù)列，公差為d1 土d2 ;(4)當(dāng)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列 lg an是公差為lgq的等差數(shù)列；(5) m, n, p(m, n, pw n。成等差數(shù)列時(shí)，am, an, ap成等差數(shù)列.例9. (96年全國(guó)高考題)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為30,前2n項(xiàng)和為100則它的前3n項(xiàng)和為()a. 130b. 170c. 210d. 260解：由上面的性質(zhì)得：s2n - sn, &n - s2n成等比數(shù)歹u ,故 2(5加sn)=sn+(s3ns2n),二 2(100