計算機(jī)科學(xué)計算答案

1、1、上（下）三角矩陣的乘積、逆仍為上（下）三角矩陣2、ab與ba跡相同tr(ab)=tr(ba)，如果a或者b可逆，則ab與ba特征值相同1)、2）、，兩邊取行列式并令其為令，即得到證明。3、有上條性質(zhì)可知：不存在滿足ab-ba=i條件的方陣a、b因?yàn)椋簍r(ab-ba)=tr(ab)-tr(ba)=0tr(i)=n4、a和b都嚴(yán)格對角占優(yōu)，但是ab未必嚴(yán)格對角占優(yōu)（例：b=-a或者b=a）5、a和b可逆時1） 1cond(a)，因?yàn)閕=aa-1iaa-1i兩邊消去i即得2） 由1）得到：a1/a-1，a-11/a3） 與2）對比有(a)a，a-11/(a)4） 如果a1時收斂，則必發(fā)散，而a

2、1時發(fā)散，則未必收斂6、 cond(ab)cond(a)cond(b)，利用范數(shù)相容性立即可得由此引出的不等式：a-1-b-1a-1b-1a-b因?yàn)閍-1- b-1=b-1- a-1=b-1(i- ba-1)=b-1(a- b)a-1b-1a- ba-1對應(yīng)地有a-baba-1- b-17、 a非奇異，b奇異，則對于算子范數(shù)有1/cond(a) a-b/a因?yàn)閎奇異，則存在y0，使得by=0，從而有x=y/y0，x=1，并且bx=0，a-1bx=0，x-a-1bx=x，a-1(a-b)x=x，1=x=a-1(a-b)xa-1(a-b)x=a-1(a-b)a-1a-b，兩邊除a即可得證。由6）-

3、7）組合，還可以得到更多的不等式。8、正規(guī)陣同時又是三角陣，則它一定是對角陣9、酉陣同時又是三角陣，則它一定是對角陣，并且對角元的模為110、對稱矩陣的奇異值是特征值的絕對值n階實(shí)對稱矩陣如果有n個互異的奇異值，則它有n個互異的特征值11、相似變換、酉變換、正交變換不改變方陣的跡和行列式因?yàn)樯鲜鲎儞Q不改變特征值，從而不改變特征值的和和乘積，從而也不改變跡與行列式。12、酉變換、正交變換不改變向量的2-范數(shù)，從而不改變兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離。13、酉陣特征值的模為1，正交陣特征值的絕對值為114、x和e-x在任何區(qū)間a,b上線性無關(guān)設(shè)cx+de-x=0，因?yàn)閑-x永遠(yuǎn)不為零，如果c0，那么有x/

4、e-x=-d/c，顯然x/e-x在任何區(qū)間都不會是一個常數(shù)，從而必須c=0，這樣一來d只有為零，因此只有當(dāng)c=d=0等式才成立，線性無關(guān)。15、如果a1則(i-a)-11/(1-a)因?yàn)?a)a1，收斂到s=,兩邊乘(i-a)不影響收斂性，（i-a）s=(i-a)=i-lim(ak)=i，所以=(i-a)-1，(i-a)-1=1/（1-a），同理可證(i+a)-11/(1-a)16、如果(i+a)奇異，則對一切范數(shù)a117、acn*n,對任意范數(shù)有，首先存在某種范數(shù) 所以，取 得到 ，對不等式同時取極限即得到 再根據(jù)范數(shù)的等價性 對不等式同時取極限即得到對任意范數(shù)的結(jié)果 18、a非奇異，對算子

5、范數(shù)有 因?yàn)?9、20、21、22、x,y為向量，則有平行四邊形關(guān)系23、acn*n，并且為hermite正定陣，則為范數(shù)正性和齊次性好證明，只證三角不等式所以24、 , ,25、26、a為hermite陣，則27、a為hermite陣，28、acn*n，則的充要條件為a=i 因?yàn)樗詀=i同理如果，并且b可逆，則b=i29、證明：1）a為實(shí)斜對稱陣，則ea為正交陣 （a=-at） 2）a為hermite陣，則eia為酉陣 (ah=a)證明：1） 2） 30、acn*n，a21，證明ln(i+a)2a2/(1-a2)因?yàn)椋?收斂半徑r=1, (a)a21，所以ln(i+a)收斂，31、32、x

6、n+1=(xn)的迭代收斂條件，1）映內(nèi)性xna,b，(xn) a,b 2）壓縮性l1停機(jī)判據(jù)，收斂速度33、newton迭代法，單根為二階收斂 34、newton迭代法，重根變線性收斂，如果知道重數(shù)m， 仍二階收斂35、newton迭代法中， 下山因子，則無法下山，要另選初始點(diǎn)36、弦割法 的收斂階為1.61837、分半法的收斂速度為（b-a）/2n-138、aitken 加速公式39、jacobi、gauss-seidel和超松弛(sor)法的分量形式和矩陣形式（j） (g-s) ，(sor) 40、迭代法 中， 時收斂， 更收斂41、矩陣a嚴(yán)格對角占優(yōu)，jacobi法和 gauss-se

7、idel法收斂42、 時可以得到超松弛法中，時也是如此43、legendre正交多項(xiàng)式，非標(biāo)準(zhǔn)正交 前幾項(xiàng) 遞推公式gauss-legendre 機(jī)械求積公式 有1階代數(shù)精度，有3階代數(shù)精度有5階代數(shù)精度一般地它的一般求積系數(shù)和零點(diǎn)復(fù)雜，但是權(quán)函數(shù)為1，在積分中不出現(xiàn)，44、chebyshev正交多項(xiàng)式，零點(diǎn)為遞推公式前幾項(xiàng)：非標(biāo)準(zhǔn)正交 gauss-chebyshev機(jī)械求積公式 有1階代數(shù)精度 有3階代數(shù)精度有5階代數(shù)精度一般地 因此它的求積系數(shù)和零點(diǎn)簡單，缺點(diǎn)是權(quán)函數(shù)不整齊，45、利用兩點(diǎn)chebyshev求積公式和利用legendre機(jī)械求積公式 兩者都3次代數(shù)精度，對精確46、利用三點(diǎn)

8、legendre機(jī)械求積公式47、如果 ，如何選擇a,b使之有更高的代數(shù)精度？令f(x)=1、x，于是，因此該公式最多有1次代數(shù)精度47、如果 ，如何選擇a,b,c使之有更高的代數(shù)精度？令f(x)=1、x，x2,，方程聯(lián)立解出因此該公式最多有2次代數(shù)精度，不夠理想。48、49、householder鏡像變換 有h變換特征值為1，奇異值為1，因?yàn)?0、利用h變換可將任意向量x，變?yōu)榈乳L度的向量y，為鏡面h的標(biāo)準(zhǔn)法向量51、利用復(fù)化梯形公式和simpson公式求，如果誤差小于0.01區(qū)間應(yīng)該分幾份？至少要分5份，計算6個函數(shù)值只利用原區(qū)間即可，計算3個函數(shù)值。以上公式在估算面積近似值時，要理解為有

9、向面積的代數(shù)和，并不代表實(shí)際面積誤差，特別當(dāng)或等零或者很小時，不能簡單套用。52、復(fù)內(nèi)積一般實(shí)內(nèi)積 53、函數(shù)內(nèi)積 54、正定矩陣： 如果a正定，55、gauss消去法：乘除次數(shù)，加減次數(shù)加減乘除總次數(shù) 存儲量 ，gauss選主元增加比較次數(shù)，gauss選主元消去法計算量為56、cholesky分解法：a（對稱）a=ldlt，（a又還正定），a=llt，如果指定a各對角元符號（例如都大于零），則a=llt唯一。乘除次數(shù)，加減次數(shù)加減乘除再加開方總次數(shù) 存儲量 ，數(shù)值穩(wěn)定不用選主元57、追趕法矩陣滿足：，意味著1）對角占優(yōu)，2）不可再降階。則解存在且唯一存儲量4n，加減乘除總次數(shù) 8n-758、解：59、