第十一章組合變形(講稿)

1、第十一章 組 合 變 形同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮一、教學(xué)目標(biāo)1、掌握組合變形的概念。2、掌握斜彎曲、彎扭、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）等組合變形形式的概念和區(qū)分、危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的確定、應(yīng)力計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算、變形計(jì)算、中性軸的確定等。3、正確區(qū)分斜彎曲和平面彎曲。4、了解截面核心的概念、常見截面的截面核心計(jì)算。二、教學(xué)內(nèi)容1、講解組合變形的概念及組合變形的一般計(jì)算方法：疊加法。2、舉例介紹斜彎曲和平面彎曲的區(qū)別。3、講解斜彎曲的應(yīng)力計(jì)算、中性軸位置的確定、危險(xiǎn)點(diǎn)的確立、強(qiáng)度計(jì)算、變形計(jì)算。4、講解彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形內(nèi)力計(jì)算，確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)，強(qiáng)度計(jì)算。5、講解拉伸(壓縮)和彎曲組合

2、變形的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)分析、強(qiáng)度計(jì)算。6、講解偏心拉伸(壓縮)組合變形的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)分析、應(yīng)力計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算。7、簡單介紹截面核心的概念和計(jì)算。三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：斜彎曲、彎扭、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）等組合變形形式的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。難點(diǎn)：1、解決組合變形問題最關(guān)鍵的一步是將組合變形分解為兩種或兩種以上的基本變形：斜彎曲分解為兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的平面彎曲；彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形分解為平面彎曲和扭轉(zhuǎn)；拉伸（壓縮）和彎曲組合變形分解為軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲（因剪力較小通常忽略不計(jì)）；偏心拉伸（壓縮）組合變形單向偏心拉伸（壓縮）時(shí)，分解為軸向拉伸（壓縮）和一個(gè)平面彎曲，雙向偏心拉伸（壓縮）時(shí)

3、，分解為軸向拉伸（壓縮）和兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的平面彎曲。2、組合變形的強(qiáng)度計(jì)算，可歸納為兩類：危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)：斜彎曲、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)只需求出危險(xiǎn)點(diǎn)的最大正應(yīng)力并與材料的許用正應(yīng)力比較即可；危險(xiǎn)點(diǎn)為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：彎扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，必須考慮強(qiáng)度理論。四、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。五、計(jì)劃學(xué)時(shí) 5學(xué)時(shí)六、講課提綱(一)斜彎曲引言：*何謂平面彎曲？梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的這種彎曲稱為平面彎曲（或者說：梁的撓曲線是形心主慣性平面內(nèi)的一條平面曲線）*平面彎曲與斜彎曲的比較(a) (b)

4、 (c)項(xiàng)目平面彎曲斜彎曲受力特點(diǎn)平面與過y軸(形心主慣性軸)的縱平面重合平面過形心(這里也是彎心)但不與過y軸的縱平面重合。中性軸特點(diǎn)中性軸與平面垂直中性軸與平面不垂直變形特點(diǎn)撓曲平面與中性軸垂直，且在平面內(nèi)。撓曲平面與中性軸垂直，但偏離平面內(nèi)。*斜彎曲的定義圖11-1梁的彎曲平面不與外力作用平面相重合的這種彎曲稱為斜彎曲（或者說，梁的撓曲線不在外力作用平面內(nèi)，通常把這種彎曲稱為斜彎曲）。1、外力分析通過截面的形心o，（兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)，該點(diǎn)既是形心，又是彎心），垂直桿軸x，但并不作用在形心主軸平面內(nèi)，而與形心主軸有一個(gè)夾角。為了利用基本變形的應(yīng)力計(jì)算公式，必須將此外力向兩個(gè)形心主慣性平面分解

5、，即2、內(nèi)力分析將力分解后，任意截面（-x面）上的內(nèi)力（不考慮）：3、應(yīng)力分析任意截面（-x面）上任意點(diǎn)（c點(diǎn)）的正應(yīng)力（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力） 正應(yīng)力正、負(fù)號(hào)根據(jù)彎矩矢量引起的變形情況確定4、中性軸位置中性軸方程上述式尚不能計(jì)算的值，因?yàn)橹行暂S的位置尚未確定中性軸上的應(yīng)力=0， 式可以寫成 中性軸是一條通過截面形心的直線要使式滿足，必須y,z同時(shí)=0，可見中性軸是一條通過形心的直線。中性軸位置的確定過形心可作無數(shù)垂直線，那么中性軸位置如何確定？令中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為、。（見圖2），中性軸與軸的夾角為，根據(jù)式寫成下式： 圖11-2從式可以討論以下幾點(diǎn)；即中性軸取決于：載荷作用的位置，即

6、隨變化由任意截面（-x面）上的彎矩矢量可見（見圖3）則式為圖11-3（-x截面）截面的形狀和尺寸若 （過形心的軸都是主軸），則，中性軸與平面垂直，即為平面彎曲。若 ，則，中性軸不與平面垂直，即為斜彎曲。5、任意截面（-x面）上的最大正應(yīng)力（見圖1）（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）6、危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算（見圖1）正應(yīng)力： 應(yīng)力狀態(tài)圖11-4強(qiáng)度條件： 或 副題：斜彎曲梁的變形計(jì)算仍以矩形截面的懸臂梁為例：圖11-5(a) (b)1、解題思路及計(jì)算公式將力分解為兩個(gè)在形心主慣性平面的分力和后（見圖11-5，b），分別計(jì)算梁在平面彎曲下自由端處的撓度和：xoy平面內(nèi)的撓度xoz平面內(nèi)的撓度2、總撓度及

7、其方位自由端b點(diǎn)的總撓度是上述兩個(gè)撓度的幾何和，即總撓度值計(jì)算：總撓度方位計(jì)算，即總撓度與y軸的夾角的計(jì)算。將z軸方向的撓度除以y軸方向的撓度，即可得： (a)確定總撓度方位： 代入式，即 (b)比較(a)、(b)兩式，可見：中性軸與z軸的夾角=總撓度與y軸的夾角。即：斜彎曲時(shí)，總撓度發(fā)生垂直于中性軸的平面內(nèi)。在前面已經(jīng)分析過，在一般情況下，梁的兩個(gè)形心主慣性矩并不相等，即則，說明斜彎曲梁的變形（撓曲平面）不發(fā)生在外力作用平面內(nèi)。如果，則，即為平面彎曲，例如正方形、圓形等截面。3、剛度條件 例題11-1 跨度為=3m的矩形截面木桁條，受均布荷載q=800n/m作用，木桁條的容許應(yīng)力=12mpa

8、.容許撓度=，材料的彈性模量e=,試選擇木桁條的截面尺寸，并作剛度校核。圖11-6解：先將q分解為求設(shè)截面的高寬比為。則根據(jù)強(qiáng)度條件解得 取b=60mm，h=90mm校核剛度梁跨中的總撓度剛度條件不滿足，必須增大截面尺寸，然后再校核剛度。若b=80mm，h=120mm滿足剛度條件，截面尺寸應(yīng)取b=80mm，h=120mm例題11-2 簡支梁由的等邊角鋼制成，其截面幾何性質(zhì)為，（對(duì)于c點(diǎn)），試?yán)L最大彎矩截面上的正應(yīng)力分布圖。圖 11-7解：中性軸位置：(二)拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形結(jié)構(gòu)受力情況如圖所示：圖11-8梁ab上除作用橫向力外，還有軸向拉（壓）力，則桿件將發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲的組合

9、變形。1、內(nèi)力分析圖11-92、應(yīng)力分析：桿件內(nèi)有軸力fn、彎矩m產(chǎn)生正應(yīng)力圖11-103、強(qiáng)度條件4、縱橫彎曲的概念圖11-11何謂縱橫彎曲？、共同作用，在作用下產(chǎn)生的上引起的梁的附加彎矩，這個(gè)附加彎矩又反過來增大梁的撓度，這時(shí)的桿件變形已不是荷載的線性函數(shù)。像這類變形通常稱為縱橫彎曲。分兩種情況討論：ei較大，與截面尺寸比較顯得很小，可不考慮附加彎矩的影響，用疊加法計(jì)算橫截面上的應(yīng)力。ei較小,較大，附加彎矩的影響不可能不考慮，內(nèi)力與荷載不是線性函數(shù)關(guān)系。(三)偏心壓縮1、偏心壓縮的概念軸向壓縮 單向偏心壓縮 雙向偏心壓縮圖11-122、外力的簡化與分解圖11-133、內(nèi)力 偏心壓縮=軸向

10、壓縮+彎曲（fq=0）4、應(yīng)力計(jì)算單向偏心壓縮時(shí)的應(yīng)力計(jì)算圖11-14結(jié)論：距荷載fp較近的邊緣總是壓應(yīng)力。雙向偏心壓縮時(shí)的應(yīng)力計(jì)算圖11-15任意點(diǎn)（e）處的應(yīng)力計(jì)算 , 上式可寫成任意點(diǎn)（e）處的應(yīng)力計(jì)算式5、中性軸中性軸方程由 得中性軸方程（直線方程）式中：，代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)。，代表偏心力fp 的作用點(diǎn)位置（坐標(biāo)）。注意；形心不能滿足中性軸方程，即中性軸不通過形心。由此可見，中性軸的特征之一：中性軸是一條不通過形心的直線。中性軸位置的確定方法是通過計(jì)算中性軸在坐標(biāo)軸上的截距，來確定；根據(jù)中性軸方程：當(dāng)圖11-16由此得到中性軸截距計(jì)算式 注意：截距與偏心距恒相反。根據(jù)此計(jì)算式可見

11、，中性軸的特征之二：中性軸與偏心壓力fp的作用點(diǎn)(ey , ez )分別居于截面形心（坐標(biāo)原點(diǎn)）的兩側(cè)。中性軸的特征之三：中性軸的位置隨偏心壓力fp的作用點(diǎn)位置(ey , ez )的改變而變化當(dāng)ey =0,即fp作用在z軸上時(shí)，則=,中性軸與y軸平行（見圖11-17(a)）圖11-17(a)當(dāng)ez =0,即fp 在作用在y軸上時(shí)，則=則中性軸與z軸平行（見圖11-17(b)） 圖11-17(b)偏心矩越小，則中性軸截距越大，即中性軸距形心越遠(yuǎn)（見圖11-18）。圖11-18顯然，當(dāng)中性軸與截面的周界相切或截到截面以外時(shí)，整個(gè)截面上只有壓應(yīng)力而不出現(xiàn)拉應(yīng)力。一條中性軸（，）對(duì)應(yīng)一個(gè)偏心壓力的作用

12、點(diǎn)。因此，若已知（，）,則偏心壓力作用點(diǎn)坐標(biāo)就可以確定：偏心壓力作用點(diǎn)位置計(jì)算式圖11-19中性軸的特征之四:當(dāng)中性軸繞一定點(diǎn)k （yo,zo）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，偏心壓力的作用點(diǎn)在一條直線上移動(dòng)。（這一特征很重要，是繪制截面核心的主要根據(jù)?。┮?yàn)椋寒?dāng)yo,zo為定值時(shí)，該方程就是和的直線方程，即為偏心壓力作用點(diǎn)坐標(biāo)的直線方程圖11-20應(yīng)用中性軸的這一性質(zhì)即可繪制截面形心。5、截面核心問題的提出對(duì)于磚、石、混凝土等一類建筑材料，其抗壓能力較強(qiáng)，而抗拉能力很差。當(dāng)這類構(gòu)件承受偏心壓力時(shí)，為避免截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力，該偏心壓力的作用位置必須受到限制。截面核心的概念當(dāng)偏心壓力作用在截面的某個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，中性軸才將在

13、截面之外或與截面周邊相切，截面上只是產(chǎn)生壓應(yīng)力，通常把偏心壓力在截面上的這個(gè)作用范圍稱為截面核心。由截面核心的定義可知：偏心壓力作用在截面核心內(nèi)時(shí)，中性軸不與截面相割。-截面內(nèi)不出現(xiàn)拉應(yīng)力。圖11-21偏心壓力作用在截面核心外時(shí)，中性軸與截面相割。-截面內(nèi)分為受拉和受壓兩個(gè)區(qū)域。 圖11-22偏心壓力作用在截面核心的周界上，中性軸與截面的周邊相切。-截面內(nèi)不出現(xiàn)拉應(yīng)力。圖11-23當(dāng)偏心壓力的作用點(diǎn)在截面核心的周界上移動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的中性軸也隨之改變，但總是與截面的周邊相切。利用中性軸與截面周邊相切的這種特定位置反過來求偏心壓力作用點(diǎn)的位置，從而確定截面核心的周界。截面核心的繪制繪制截面核心的步驟

14、a.首先應(yīng)該選擇截面的形心主軸oy,oz為坐標(biāo)軸；b.選擇一組中性軸與截面的周邊相切，并分別求出每一根中性軸在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截矩;c.將分別代入偏心壓力作用點(diǎn)位置計(jì)算式，求出與之對(duì)應(yīng)的偏心壓力作用點(diǎn)坐標(biāo)；d.連接這一組偏心壓力作用點(diǎn)就得到在截面形心附近的一個(gè)閉合區(qū)域截面核心。繪制截面核心的注意要點(diǎn):a.中性軸與偏心壓力作用點(diǎn)分別居與截面形心的兩側(cè)；b.中性軸與y軸平行，偏心壓力作用點(diǎn)在z軸上中性軸與z軸平行，偏心壓力作用點(diǎn)在y軸上c.中性軸繞一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，偏心壓力作用點(diǎn)在一條直線上夠動(dòng)。圖11-24e.截面的周邊有一部分或全部為曲線，則截面核心的周界亦有一部分或全部為曲線。f.如截面的周邊有“凹

15、入”部分，則中性軸應(yīng)滑過周邊的“凹入”部分，即中性軸不能與截面相割。圖11-25幾種常見截面的截面核心(四)彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形圖示受力構(gòu)件的應(yīng)力和強(qiáng)度如何計(jì)算？圖11-26bc桿問題簡單，容易解決。1、受力特點(diǎn)圖11-27經(jīng)簡化：2、內(nèi)力分析作ab桿的內(nèi)力圖任一截面m-m上的內(nèi)力圖11-283、應(yīng)力狀態(tài)任一橫截面上的應(yīng)力情況：圖13-29危險(xiǎn)截面上應(yīng)力情況圖11-304、強(qiáng)度條件對(duì)于彎扭聯(lián)合作用下的機(jī)軸，一般用塑性材料制成，通常用第三、四強(qiáng)度理論，即 ,又圓截面的抗扭截面系是抗彎截面系數(shù)的二倍，wn=2w 運(yùn)用上述兩個(gè)公式時(shí)請(qǐng)注意:對(duì)于、式，只是用與彎扭組合變形圓軸，其它截面只能用、。若桿件受拉伸+彎曲+扭轉(zhuǎn)，只能用、式實(shí)際問題中，圓截面桿往往在互相垂直的兩個(gè)平面內(nèi)同時(shí)存在彎矩,。則 ，代入、式即可例題11-3 一鋼制圓軸上裝有兩膠帶輪a、b,兩輪的直徑,兩輪自重，膠帶的張力大小和方向如圖所示。設(shè)圓軸材料的=80mpa.試按第三強(qiáng)度理論求軸所需要的直徑d=？圖11-31解：1、作軸的計(jì)算簡圖（受力圖）2、扭矩圖3、彎矩圖（水平平面內(nèi)）（xoz平面）（垂直平面內(nèi)）（xoy平面內(nèi)）圖11-324、計(jì)算b、c截面處的合成彎矩； 5、確定，6、確定d=?按第三強(qiáng)度理論：代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)：