高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點(最全版)（精華版）

1、高中數(shù)學(xué)選修 4-5 知識點1不等式的基本性質(zhì)1. 實數(shù)大小的比較(1) 數(shù)軸上的點與實數(shù)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系(2) 設(shè) a、b 是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別是a、b.當(dāng)點 a 在點b 的左邊時， ab(3) 兩個實數(shù)的大小與這兩個實數(shù)差的符號的關(guān)系(不等式的意義 ) ab? a b0ab? a b 0ab? ab， b? bb， bc? ac；(3) 可加性： ab， c r? acb c； (4)加法法則： ab， cd? a cbd；(5) 可乘性： ab， c0? acbc；ab， c0? acb0，cd0? acbd；(7) 乘方法則： ab0，nn 且 n2? anbn；

2、ab.(8) 開方法則： ab0，nn 且 n2? n n（9） ）倒數(shù)法則，即 ab0? 1 11. 重要不等式a0，那么 ab時，等號成立2ab (ab ab)，當(dāng)且僅當(dāng) ab 2(2) 定理 2 的應(yīng)用：對兩個正實數(shù) x，y，如果它們的和 s 是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy 時，它們的積 p 取得最大值，24最大值為 s .如果它們的積 p 是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy 時，它們的和 s 取得最小值， 最小值為 2 p.3. 基本不等式 abab2 的幾何解釋如圖，ab 是 o 的直徑，c 是ab 上任意一點，de 是過 c 點垂直 ab 的弦若abaca，bcb，則 abab，o 的半徑 r 2，r

3、t acdrt dcb，2，當(dāng)且僅當(dāng)cd2acbcab，cd ab，cdr?ab abc 點與 o 點重合時， cdrab ，即 abab22.4. 幾個常用的重要不等式(1) 如果 ar，那么 a20，當(dāng)且僅當(dāng) a 0 時取等號；（ a b） 2(2) 如果 a， b0，那么 ab4，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時等號成立1(3) 如果 a0，那么 a a 2，當(dāng)且僅當(dāng) a1 時等號成立ab(4) 如果 ab0，那么 ba2，當(dāng)且僅當(dāng) a b 時等號成立3三個正數(shù)的算術(shù) -幾何平均不等式3331如果 a、b、cr ，那么 a b c 3abc，當(dāng)且僅當(dāng) a b c 時，等號成立2(定理 3)如果 a、b

4、、cr ，那么abc3 3 abc(a b c33abc)，當(dāng)且僅當(dāng) a b c 時，等號成立即三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均3. 如果 a1，a2， anr，那么a1 a2 annna1a2an，當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an 時，等號成立即對于 n 個正數(shù) a1，a2， an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均二 絕對值不等式1. 絕對值三角不等式1. 絕對值及其幾何意義a（ a0）(1) 絕對值定義： |a|a（a0）(2) 絕對值幾何意義：實數(shù) a 的絕對值 |a|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 a 的點 a 到原點o 的距離 |oa|.(3) 數(shù)軸上兩點間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上任意兩點a，b 分別

5、對應(yīng)實數(shù) x1，x2，則|ab| |x1x2|2. 絕對值三角不等式(1) 定理 1：如果 a，b 是實數(shù)，則 |a b| |a| |b|，當(dāng)且僅當(dāng) ab0 時，等號成立推論 1： 如果 a， b 是實數(shù)，那么 |a|b|ab|a|b|.推論 2： 如果 a， b 是實數(shù)，那么 |a|b|ab|a|b|.(2) 定理 2： 如果 a，b，c 是實數(shù)，那么 |ac|a b|bc|，當(dāng)且僅當(dāng) (a b)(bc)0 時，等號成立2絕對值不等式的解法1. |x|a 型不等式的解法設(shè) a0，則(1)|x |a? axa? xa； (4)|x|a? x a 或 xa2. |axb|c(c0)與|ax b|

6、c(c0)型不等式的解法(1)|axb| c? c axbc；(2)|axb| c? axb c 或 ax b c 3|xa|x b|c 與|x a| |x b| c 型不等式的解法(1) 利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋(2) 以絕對值的零點為分界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點分段法” 求解，體現(xiàn)分類討論的思想確定各個絕對值號內(nèi)多項式的正、負(fù)號，進(jìn)而去掉絕對值號(3) 通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象 (有時需要考察函數(shù)的增減性 )是關(guān)鍵注： 絕對值的幾何意義(1

7、) |x|的幾何意義是數(shù)軸上點x 與原點 o 的距離；(2) |x a|x b|的幾何意義是數(shù)軸上點 x 到點 a 和點 b 的距離之和； (3)|x a|x b|的幾何意義是數(shù)軸上點 x 到點 a 和點 b 的距離之差 2絕對值不等式的幾何意義(1) |x|a(a0)的幾何意義是以點 a 和 a 為端點的線段， |x| a 的解集是 a，a(2) |x|a(a0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點a 和 a 為端點的線段后剩下的兩條射線， |x|a 的解集是 (， a)(a， )3. 解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解例題：例如：分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再

8、求解。例 1： 解不等式 x1x25 。分析: 由 x10 ， x20 ，得 x1 和 x2 。 2 和1把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即 x2 ， 2x1， x1，按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。解: 當(dāng) x-2 時，得x2( x1)( x2)5，解得：3x2當(dāng)-2 x 1 時，得2x1,，解得：2x1( x1)( x2)5當(dāng)x1時，得x1,( x1)(x2)5.， 解得： 1x2綜上，原不等式的解集為x3x2 。例 2：解不等式 |2x 4|3x9|2 時，原不等式可化為x2，（2x4）（ 3x 9） 2.當(dāng) 3x2 時，原不等式可化為3 x2，（ 2x 4）（ 3x9）1， 6解

9、得 5x2.當(dāng) x 3 時，原不等式可化為x3，（ 2x 4）（ 3x9）1， 解得 x 12.5綜上所述，原不等式的解集為x|x 6 第二講證明不等式的基本方法一 比較法比較法主要有 1.作差比較法2.作商比較法1作差比較法 (簡稱比差法 )(1) 作差比較法的證明依據(jù)是： ab? ab0；ab? a b0；ab? ab0 時，b1? ab；b1? ab；b1? ab 時，一定要注意 b0 這個前提條件 若 b0，a aabb，b1? a b，b1? a a2；n2n（ n 1）(nn*)； 1 2；當(dāng) ab0，m0 時，nb b m，an n1am等nn n 1a mb第三講柯西不等式與排

10、序不等式1. 二維形式的柯西不等式若 a， b， c， d 都是實數(shù)，則 (a2b2)(c2 d2)(ac bd)2，當(dāng)且僅當(dāng) adbc時，等號成立2. 柯西不等式的向量形式設(shè) ，是兩個向量， 則|，當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量， 或存在實數(shù) k，使 k時，等號成立3. 二維形式的三角不等式設(shè) x1 ，y1，x2，y2 r，那么 x2y2 x2y2（x1 x2）2（ y1 y2）2.注意：11221. 二維柯西不等式的三種形式及其關(guān)系定理 1 是柯西不等式的代數(shù)形式， 定理 2 是柯西不等式的向量形式， 定理 3是柯西不等式的三角形式根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角

11、不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo)表示2. 理解并記憶三種形式取 “”的條件(1) 代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)adbc 時取等號(2) 向量形式中當(dāng)存在實數(shù) k，k或 0 時取等號(3) 三角形式中當(dāng) p1，p2， o 三點共線且 p1， p2 在原點 o 兩旁時取等號3. 掌握二維柯西不等式的常用變式(1)a2 b2 c2d2 |ac bd|.(2)a2 b2c2d2|ac| |bd|.(3)a2 b2 c2d2 acbd. (4)(ab)(cd) (ac bd)2.4. 基本不等式與二維柯西不等式的對比(1) 基本不等式是兩個正數(shù)之間形成的不等關(guān)系二維柯西不等式是四個實數(shù)之間形成的不等關(guān)系

12、，從這個意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式(2) 基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當(dāng)和(或積)為定值時，可求積 (或和)的最值，同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能， 利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效二 一般形式的柯西不等式1. 三維形式的柯西不等式123123設(shè) a1，a2， a3， b1， b2， b3 是實數(shù)，則 (a2a2a2)(b2b2 b2)(a1b1a2 b2 a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng) bi 0(i 1， 2，3)或存在一個數(shù) k，使得 ai kbi (i 1， 2， 3)時，等號成立2. 一般形式的柯西不等式設(shè) a1，

13、 a2， a3， an，b1， b2， b3， bn 是實數(shù)，則 (a2 a2 a2)(b212n1222 b2 bn) (a1b1 a2b2 anbn) ，當(dāng)且僅當(dāng) bi 0(i1，2， n)或存在一個數(shù) k，使得 ai kbi(i 1， 2， n)時，等號成立 注意：1. 對柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣， 其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié)，左邊是平方和的積， 右邊是積的和的平方運(yùn)用時的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式2. 關(guān)于柯西不等式的證明：對于函數(shù) f(x)(a1 xb1)2(a2x b2)2 (an x

14、 bn)2，顯然 f(x)0 時xr 恒成立，n即 f(x)(a21a2 a2)x2 2(a1b1 a2b2 anbn )x(b21 b2 2bn)0 對 x r 恒成立，1 12 222222224(ab ab anbn) 4(a1a2 an)(b1 b2 bn) 0，a an) (b除以 4 得(a21 2221221 12 2n n 2b bn) (abab ab).3. 一般形式柯西不等式成立的條件：由柯西不等式的證明過程可知0? f (x)min 0? a1xb1a2x b2 a1 anxbn0? b1b2 bn 0，或b14. 柯西不等式的幾種常見變形：a2anb.b2n22222

15、2(1)設(shè) a1a2 anb1b2 bn 1，則 1a1b1a2b2 anbn1；a12n222(2)設(shè) air( i1，2， 3， n)，則a ana1 a2 ann；22a1a2(3)設(shè) air，bi0(i1，2，3，n)，則 2（ a1a2 an） 2an；b1b2a1a2bnb1 b2 bnan（a1a2 an） 2(4)設(shè) aibi0(i 1，2，3， n)，則b1 b2 bna1b1 a2b2 anbn.三 排序不等式1. 亂序和、反序和、順序和設(shè) a1 a2 an，b1b2 bn 為兩組實數(shù)，c1，c2，cn 為 b1，b2， bn 的任一排列，稱 a1c1a2c2 a3c3 a

16、n cn 為亂序和， a1bn a2 bn 1a3bn2 anb1 為反序和， a1b1 a2b2a3b3 an bn 為順序和2. 排序不等式 (又稱排序原理 )設(shè) a1 a2 an，b1b2 bn 為兩組實數(shù)，c1，c2，cn 是 b1，b2， bn 的任一排列，那么a1bn a2bn 1 anb1a1c1a2c2 ancn a1b1a2b2 anbn，當(dāng)且僅當(dāng) a1a2 an 或 b1b2 bn 時，反序和等于順序和 3排序原理的簡記反序和亂序和順序和第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一 數(shù)學(xué)歸納法1. 數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0 的所有正整數(shù) n 都成立時

17、，可以用以下兩個步驟：(1) 證明當(dāng) nn0 時命題成立(2) 假設(shè)當(dāng) n k(k n且 kn0)時命題成立，證明當(dāng) nk1 時命題也成立 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0 的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法2. 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍適用于證明一個與無限多個正整數(shù)有關(guān)的命題3. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基 )驗證當(dāng) nn0(n0 為命題成立的起始自然數(shù) )時命題成立；(2)(歸納遞推 )假設(shè)當(dāng) nk(kn，且 kn0 )時命題成立，推導(dǎo)nk1 時命題也成立(3) 結(jié)論：由 (1)(2)可知，命題對一切 nn0 的自然數(shù)都成立注意：用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于兩

18、個步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”，因此必須注意以下三點：(1) 驗證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0，這個 n0 就是我們要證明的命題對象的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定就是“1”，因此“找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法要注意的第一個問題(2) 遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推， 所以從 “k”到“ k 1”的過程，必須把歸納假設(shè)“ nk”時命題成立作為條件來導(dǎo)出“ nk1”時命題成立， 在推導(dǎo)過程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次，沒有用上歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法(3) 正確尋求遞推關(guān)系數(shù)學(xué)歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的，那么如

19、何尋找遞推關(guān)系呢？在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的；探求數(shù)列的通項公式時，要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察 n 處在哪個位置；在書寫f(k 1)時，一定要把包含f(k) 的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項除此之外，多了哪些項，少了哪些項 都要分析清楚二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟證明：當(dāng) n 取第一個值 n0 時結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng) nk(kn，且 kn0)時結(jié)論成立，證明當(dāng) nk 1 時結(jié)論也成立由可知命題對從 n0 開始的所有正整數(shù) n 都成立(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點在第二步( 同時也是難點所在 )，即假設(shè)f(k)g(k)成立，證明 f (k1)g(k1)成立 2貝努利不等式(1) 定義：如果 x 是實數(shù)，且 x 1，x 0， n 為大于 1 的自然數(shù)，那么有 (1x)n1nx(2) 作用：在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項式的乘方(1 x)n 縮小為簡單的 1 nx 的形式，這在數(shù)值估計和放縮法證明不等式中有重要應(yīng)用例如：1x1當(dāng) x 是實數(shù)， 且 x1，x 0 時，由貝努利不等式不難