數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)——二次函數(shù)周長(zhǎng)最小問(wèn)題(含答案)

1、二次函數(shù)中周長(zhǎng)最小問(wèn)題拋物線中三角形周長(zhǎng)最小問(wèn)題的求法：.b礪?；?將軍飲馬問(wèn)題(即尋找對(duì)稱點(diǎn)的方法)/如圖，在直線/的同側(cè)有a 8網(wǎng)點(diǎn),在/上求作一點(diǎn)尸，使8f+產(chǎn)出 及/的值最小.二7方法：作/點(diǎn)關(guān)于，的時(shí)稱點(diǎn)，連接/田與，的交點(diǎn)f即為所求.j模型應(yīng)用:如圖,已知拋物線尸-2#+3與a軸交于0), 8(-3.0),與尸軸交于點(diǎn)cs, 3),在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)。，使得 oic的周長(zhǎng)最?。苛Ψㄐ〗Y(jié)：周長(zhǎng)最小問(wèn)題潞徑最小問(wèn)題?；瘹w為.將軍飲馬”數(shù)學(xué)模型，兩條線段之差最大，常利用三角形三邊關(guān)系，此時(shí)三點(diǎn)共線。專題訓(xùn)練1.如圖，已知拋物線 y=ax24x+ c經(jīng)過(guò)點(diǎn)a (0, 6)和b

2、(3, 9).(1)求拋物線的解析式；(2)寫出拋物線的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)p (m, m)與點(diǎn)q均在拋物線上(其中m0),且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求 m的值及點(diǎn)q的坐標(biāo);(4)在滿足(3)的情況下，在拋物線的對(duì)稱軸上尋找一點(diǎn)m,使得4qma的周長(zhǎng)最小.a x 02-4x0+ c= -6解：(1)依題意有2ax324x3+ c= -9c= -6即9a-12+c=-9a= 1 4 分c= -6，拋物線的解析式為：y=x24x6 5分(2)把 y= x2 4x 6 配方，得 y=(x 2)210，對(duì)稱軸方程為 x= 2 7分頂點(diǎn)坐標(biāo)(2, 10) 10分(3)由點(diǎn)p (m, m)

3、在拋物線上4 m= m2- 4m- 6 12 分即 m2-5m-6= 0 ，m1=6 或 m2= 1 (舍去) 13 分 p (6, 6) 點(diǎn)p、q均在拋物線上，且關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱 .q ( 2, 6)15 分(4)連接ap、aq,直線ap與對(duì)稱軸x= 2相交于點(diǎn) m由于p、q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)的交點(diǎn) m能夠使得4qma的周長(zhǎng)最小 17分設(shè)直線ap的解析式為y= kx+ bb= -6則6k + b= 6k=2b= - 6，直線ap的解析式為：y = 2x-6 18分設(shè)點(diǎn)m (2, n)則有 n= 2x2 6=-2 19 分此時(shí)點(diǎn)m (2, -2)能夠使得 qma的周

4、長(zhǎng)最小2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-石xv3與x軸交于點(diǎn)a,與y軸交于點(diǎn)c,拋物線y=ax2233x+ c (aw0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) a、c,與x軸交于另一點(diǎn) b.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn) d的坐標(biāo);(2)(3)若p是拋物線上一點(diǎn)，且 abp為直角三角形，求點(diǎn) p的坐標(biāo);在直線ac上是否存在點(diǎn)q,使得 qbd的周長(zhǎng)最小，若存在，求出q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)直線y=一用x-忑3與x軸交于點(diǎn)a,與a (1, 0), c (0, y)解得.3 a=3c= a/3點(diǎn)a, c都在拋物線上a+c=03c= j3拋物線的解析式為y=x23x g = g(x-1產(chǎn)-迪，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為(1

5、(2)令停x2ac于點(diǎn)q,by jl則q點(diǎn)就是所求的點(diǎn)oa-m)p2 (2,口hdq2 芯=-3k+ b3 k=6聯(lián)立3.32y = - /3 x - v 3-33.3y= x-62解得3x= 一710. 37l，q (-10.37)故在直線ac上x 3 = 0 解得 x1 = 1,x2= 3 b (3, 0)3ab2=( 1 + 3)2=16, ac2=12+( j3)2=4, bc2=32+( ,3 )2=12.ac2+bc2=ab2,abc 是直角三角形. p1 (0, - cd = d e+ ce= de + ce可知 cde的周長(zhǎng)最小d為邊ob的中點(diǎn).在矩形 oacb 中，oa=3,

6、 ob = 4,bc=3, do=do = 2, db=6oe= do bc= - x3= 1 d b 6點(diǎn)e的坐標(biāo)為(1,0)(n)如圖2,作點(diǎn)d關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)d；在cb邊上截取 cg=2,連接ef = 2,則四邊形 gefc為平行四邊形, 又dc、ef的長(zhǎng)為定值，此時(shí)得到的點(diǎn)得 ge = cf. oe/bc,rtad qertadbg, .e、f使四邊形cdef的周長(zhǎng)最小oe d obg d boe= d-o bg= do (bc-cg) = 2x1=1of=oe+ef= - +2=-3.點(diǎn)e的坐標(biāo)為(13，0)10分ea上截取3.如圖，拋物線y=ax2 + bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別

7、為 a ( 4, 0)、b (2, 0),與y軸交于點(diǎn)c,頂點(diǎn)為d. e (1,2)為線段bc的中點(diǎn)，bc的垂直平分線與x軸、y軸分別交于f、g.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)d的坐標(biāo);(2)(3)4a+ 2b+4=0拋物線的函數(shù)解析式為解:在直線ef上求一點(diǎn)h,使4cdh的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng);若點(diǎn)k在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) k運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， efk的面積最大？并求出最大面積.x x x+ 4 ,頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為(1,)224分(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)m.因?yàn)閑f垂直平分bc,即c關(guān)于直線eg的對(duì)稱點(diǎn)為b,連結(jié)bddh +ch= dh+hb = bd= d bm

8、 2+ dm 2 = -v；132得 ce:co=cg:cb, .cg=v2go= 32同理可求得直ef的解析式為y= - x+2y= - x+ 32聯(lián)立3 x=4y=u22解得15 y=i故使 cdh的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) h坐標(biāo)為(323一,4交ef于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)h,使dh + ch最小，即最小為:(3)設(shè) k (t, - 1 t2 1+4) , xfvtvxe.過(guò) k 作 x 軸的垂線交 ef 于 n2貝u kn = ykyn = 1t2 -1+4-(1t+ -) = t2 t+ 222222saefk = skfn + skne=1kn(t+3) + 1kn(1-1) =2kn22=

9、 -t2-3t+5=-(t+3)2+ 29 10 分24當(dāng)t= - 3時(shí)， efk的面積最大，最大面積為竺，此時(shí)k (-3 ,空)242814分4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形abco,其頂點(diǎn)為a (0, 1)、b ( 373, 1)、c (3j3, 0)、o (0, 0).將4.3此矩形7&著過(guò)e (-j3, 1)、f (-丁，0)的直線ef向右下方翻折，b、c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 b、c .(1)求折痕所在直線 ef的解析式；(2) 一拋物線經(jīng)過(guò) b、e、b三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；(3)能否在直線ef上求一點(diǎn)p,使得4pbc周長(zhǎng)最?。咳缒?，求出點(diǎn) p的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.解：(1)由

10、于折痕所在直線 ef過(guò)e (一 43, 1)、f( 4，。)，tan/efo= 33 ,直線ef的傾斜角為60直線 ef 的解析式為：y- = tan60 1 x- ( - 73 )化簡(jiǎn)彳導(dǎo):y= j3x+4.(2)設(shè)矩形沿直線 ef向右下方翻折后，b、c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為b (xi, y1)，c(x?, v2 過(guò)b作baae交ae所在直線于 a點(diǎn)1 be= be= 2v3 , / bef= / bef= 60bea = 60。，ae=v3, ba= 3a 與 a重合,b在 y 軸上，. x1=0, y1=-2,即 b (0, -2)【此時(shí)需說(shuō)明 b (x1, y1)在y軸上】 6分設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c拋物線經(jīng)過(guò) b (-373, 1)、e ( - ；3 , 1)、b (0, 2)27a 3.3b+c=14 t-3a v3b+c=1 斛佝 b= -v3 3c= - 2c= -2，該二次函數(shù)解析式為：y = - -x2 33 x- 2 9分33(3)能，可以在直線 ef上找到p點(diǎn)，連接bc交ef于p點(diǎn)，再連接bp由于bp = bp,此時(shí)點(diǎn) p與c、b在一條直線上，故 bp+pc = bp+pc的和最小由于為b