【高中】數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、數(shù)學(xué)知識點總結(jié)引言1.課程內(nèi)容：必修課程由5個模塊組成：必修1：集合、函數(shù)概念與根本初等函數(shù)指、對、冪函數(shù)必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。必修4：根本初等函數(shù)三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換。必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)根底知識和根本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好根底的同時，進一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、開展過程和實際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。 此外，根底內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。

2、選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊組成。選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。選修12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴大與復(fù)數(shù)、框圖系列2：由3個模塊組成。選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴大與復(fù)數(shù)選修23：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。系列3：由6個專題組成。選修31：數(shù)學(xué)史選講。選修32：信息平安與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對稱與群。選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三等分角與數(shù)域擴大。系列4：由10個專題組成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數(shù)

3、列與差分。選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數(shù)論初步。選修47：優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步。選修48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修49：風(fēng)險與決策。選修410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。2重難點及考點：重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點：集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公

4、式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用平面向量：有關(guān)概念與初等運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及其應(yīng)用不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項式定理及其應(yīng)用概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念

5、與運算高中數(shù)學(xué) 必修1知識點 第一章 集合與函數(shù)概念1.1集合【1.1.1】集合的含義與表示 1集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.2常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.3集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.4集合的表示法 自然語言法：用文字表達的形式來描繪集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.描繪法：|具有的性質(zhì)，其中為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.5集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1

6、.1.2】集合間的根本關(guān)系6子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)假設(shè)且，那么(4)假設(shè)且，那么或真子集AB或BA，且B中至少有一元素不屬于A1A為非空子集(2)假設(shè)且，那么集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA7集合有個元素，那么它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的根本運算8交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且123 并集或123 補集1 2 【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法1含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型

7、不等式來求解2一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根其中無實根的解集或的解集1.2函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念1函數(shù)的概念設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，假設(shè)按照某種對應(yīng)法那么，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)包括集合，以及到的對應(yīng)法那么叫做集合到的一個函數(shù)，記作函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法那么只有定義域一樣，且對應(yīng)法那么也一樣的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)2區(qū)間的概念及表示法設(shè)是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做注意：對

8、于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須，前者可以不成立，為空集；而后者必須成立3求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原那么：是整式時，定義域是全體實數(shù)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一實在數(shù)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1中，零負指數(shù)冪的底數(shù)不能為零假設(shè)是由有限個根本初等函數(shù)的四那么運算而合成的函數(shù)時，那么其定義域一般是各根本初等函數(shù)的定義域的交集對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：假設(shè)的定義域為，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題詳細情況需對字母參

9、數(shù)進展分類討論由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義4求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法根本上是一樣的事實上，假設(shè)在函數(shù)的值域中存在一個最小大數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小大值因此求函數(shù)的最值與值域，其本質(zhì)是一樣的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：假設(shè)函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，那么在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用根本

10、不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過變量代換到達化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【1.2.2】函數(shù)的表示法5函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系6映射的概念設(shè)、是兩個集合，假設(shè)按照某種對應(yīng)法那么，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一

11、的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)包括集合，以及到的對應(yīng)法那么叫做集合到的映射，記作給定一個集合到集合的映射，且假設(shè)元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函數(shù)的根本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大小值1函數(shù)的單調(diào)性定義及斷定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象斷定方法函數(shù)的單調(diào)性假設(shè)對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1 x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)1利用定義2利用函數(shù)的單調(diào)性3利用函數(shù)圖象在某個區(qū)間圖 象上升為增4利用復(fù)合函數(shù)假設(shè)對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么

12、就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)1利用定義2利用函數(shù)的單調(diào)性3利用函數(shù)圖象在某個區(qū)間圖象下降為減4利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)對于復(fù)合函數(shù)，令，假設(shè)為增，為增，那么為增；假設(shè)為減，為減，那么為增；假設(shè)為增，為減，那么為減；假設(shè)為減，為增，那么為減yxo2打“函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)3最大小值定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，假設(shè)存在實數(shù)滿足：1對于任意的，都有； 2存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，假設(shè)存在實數(shù)滿足：1對于任意的

13、，都有；2存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作【1.3.2】奇偶性4函數(shù)的奇偶性定義及斷定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象斷定方法函數(shù)的奇偶性假設(shè)對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)1利用定義要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱2利用圖象圖象關(guān)于原點對稱假設(shè)對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)1利用定義要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱2利用圖象圖象關(guān)于y軸對稱假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，那么奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性一樣，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)或奇函數(shù)的和

14、或差仍是偶函數(shù)或奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)或奇函數(shù)的積或商是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積或商是奇函數(shù)補充知識函數(shù)的圖象1作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域； 化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性； 畫出函數(shù)的圖象利用根本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種根本初等函數(shù)的圖象平移變換伸縮變換 對稱變換 2識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系3用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形的

15、直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第二章 根本初等函數(shù)()2.1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念假設(shè)，且，那么叫做的次方根當(dāng)是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時， 2分數(shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)3分數(shù)指數(shù)冪

16、的運算性質(zhì) 【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)4指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低2.2對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算（1） 對數(shù)的定義 假設(shè)，那么叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：2幾個重要的對數(shù)恒等式，3常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即其中4對數(shù)的運算性質(zhì) 假設(shè)，那么加法： 減法：數(shù)乘： 換底公式：【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)5對數(shù)函

17、數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當(dāng)時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子假設(shè)對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成7反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域8反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域

18、、定義域假設(shè)在原函數(shù)的圖象上，那么在反函數(shù)的圖象上一般地，函數(shù)要有反函數(shù)那么它必須為單調(diào)函數(shù)2.3冪函數(shù)1冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)2冪函數(shù)的圖象3冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點 單調(diào)性：假設(shè)，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)假設(shè)，那么冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪

19、函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)其中互質(zhì)，和，假設(shè)為奇數(shù)為奇數(shù)時，那么是奇函數(shù)，假設(shè)為奇數(shù)為偶數(shù)時，那么是偶函數(shù)，假設(shè)為偶數(shù)為奇數(shù)時，那么是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時，假設(shè)，其圖象在直線下方，假設(shè)，其圖象在直線上方，當(dāng)時，假設(shè)，其圖象在直線上方，假設(shè)，其圖象在直線下方補充知識二次函數(shù)1二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：頂點式：兩根式：2求二次函數(shù)解析式的方法三個點坐標(biāo)時，宜用一般式拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大小值有關(guān)時，常使用頂點式假設(shè)拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)時，選用兩根式求更方便3二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標(biāo)是當(dāng)時，拋物

20、線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，二次函數(shù)當(dāng)時，圖象與軸有兩個交點4一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完好，且解決的方法側(cè)重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理韋達定理的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布 設(shè)一元二次方程的兩實根為，且令，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向： 對稱軸位置： 判別式： 端點函數(shù)值符號 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且僅有一個根x1或x2滿足k1x1

21、或x2k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此結(jié)論可直接由推出 5二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令當(dāng)時開口向上假設(shè)，那么 假設(shè)，那么 假設(shè)，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)假設(shè)，那么 ，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()當(dāng)時(開口向下)假設(shè)，那么 假設(shè)，那么 假設(shè)，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=p

22、qf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)假設(shè)，那么 ，那么xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0 L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)CBA2公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 = 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的根據(jù)。3公理3：假設(shè)兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。PL符號表示為：P =L，且PL公理3作用：斷定兩個平面是否相交的根據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個

23、公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=acabcb強調(diào)：公理4本質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的根據(jù)。3 等角定理：空間中假設(shè)兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a與b所成的角的大小只由a、b的互相位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互

24、相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：1直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點2直線與平面相交 有且只有一個公共點3直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的斷定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的斷定1、直線與平面平行的斷定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，那么線面平行。符號表示：a b = aab2.2

25、.2 平面與平面平行的斷定1、兩個平面平行的斷定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：1用定義；2斷定定理；3垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行那么線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：假設(shè)兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直

26、線與直線平行2.3直線、平面垂直的斷定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的斷定1、定義假設(shè)直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。 L p 2、斷定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線這一條件不可無視；b)定理表達了“直線與平面垂直與“直線與直線垂直互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的斷定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角

27、-l-或-AB-3、兩個平面互相垂直的斷定定理：一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識構(gòu)造框圖平面公理1、公理2、公理3、公理4空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系第三章 直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l

28、與x軸平行或重合時, 規(guī)定= 0.2、 傾斜角的取值范圍： 0180. 當(dāng)直線l與x軸垂直時, = 90.3、直線的斜率:一條直線的傾斜角(90)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tan當(dāng)直線l與x軸平行或重合時, =0, k = tan0=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時, = 90, k 不存在.由此可知, 一條直線l的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4、 直線的斜率公式:給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用兩點的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率

29、而且不重合，假設(shè)它們平行，那么它們的斜率相等；反之，假設(shè)它們的斜率相等，那么它們平行，即注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立即假設(shè)k1=k2, 那么一定有L1L22、兩條直線都有斜率，假設(shè)它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，假設(shè)它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點斜式方程1、 直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點，且斜率為 2、直線的斜截式方程：直線的斜率為，且與軸的交點為 3.2.2 直線的兩點式方程1、直線的兩點式方程：兩點其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方程：直線與軸的交點為A，

30、與軸的交點為B，其中3.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程A，B不同時為02、各種直線方程之間的互化。3.3直線的交點坐標(biāo)與間隔 公式3.3.1兩直線的交點坐標(biāo)1、給出例題：兩直線交點坐標(biāo)L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程組 得 x=-2，y=2所以L1與L2的交點坐標(biāo)為M-2，23.3.2 兩點間間隔 兩點間的間隔 公式3.3.3 點到直線的間隔 公式1點到直線間隔 公式：點到直線的間隔 為：2、兩平行線間的間隔 公式：兩條平行線直線和的一般式方程為：，那么與的間隔 為第四章 圓與方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為

31、A(a,b),半徑為r的圓的方程2、點與圓的關(guān)系的判斷方法：1，點在圓外 2=，點在圓上3，點在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程： 2、圓的一般方程的特點： (1)x2和y2的系數(shù)一樣，不等于0沒有xy這樣的二次項 (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程那么指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系1、用點到直線的間隔 來判斷直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的間隔 為，那么判別直線與圓的位置關(guān)系的根

32、據(jù)有以下幾點：1當(dāng)時，直線與圓相離；2當(dāng)時，直線與圓相切；3當(dāng)時，直線與圓相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的連心線長為，那么判別圓與圓的位置關(guān)系的根據(jù)有以下幾點：1當(dāng)時，圓與圓相離；2當(dāng)時，圓與圓外切；3當(dāng)時，圓與圓相交；4當(dāng)時，圓與圓內(nèi)切；5當(dāng)時，圓與圓內(nèi)含；4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯成幾何結(jié)論4.3.1空間直角坐標(biāo)系

33、1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組，、分別是P、Q、R在、軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組，對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點3、空間中任意點M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M，叫做點M的橫坐標(biāo)，叫做點M的縱坐標(biāo)，叫做點M的豎坐標(biāo)。4.3.2空間兩點間的間隔 公式1、空間中任意一點到點之間的間隔 公式高中數(shù)學(xué) 必修3知識點第一章 算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且可以在有限步之內(nèi)完成.2. 算法的特點:(1)有限性：一個算法的步驟序列是

34、有限的，必須在有限操作之后停頓，不能是無限的.(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為假設(shè)干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進展下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.(5)普遍性：很多詳細的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.1.1.2 程序框圖1、程序框圖根本概念：一程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱

35、流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。二構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和完畢，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是或“Y；不成立時標(biāo)明“否或“N。學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)那么，畫程序框圖的規(guī)那么如下：1、

36、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是與“否兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描繪的語言要非常簡練清楚。三、算法的三種根本邏輯構(gòu)造：順序構(gòu)造、條件構(gòu)造、循環(huán)構(gòu)造。1、順序構(gòu)造：順序構(gòu)造是最簡單的算法構(gòu)造，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進展的，它是由假設(shè)干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種根本算法構(gòu)造。順序構(gòu)造在程序框圖中的表達就是用流程線將程序框自上

37、而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)AB行B框所指定的操作。2、條件構(gòu)造：條件構(gòu)造是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法構(gòu)造。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷構(gòu)造可以有多個判斷框。3、循環(huán)構(gòu)造：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)構(gòu)造，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)構(gòu)造中一定包含條件構(gòu)造。循環(huán)構(gòu)造又稱重復(fù)構(gòu)造，循環(huán)構(gòu)造可細分

38、為兩類：1、一類是當(dāng)型循環(huán)構(gòu)造，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，假設(shè)仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，分開循環(huán)構(gòu)造。2、另一類是直到型循環(huán)構(gòu)造，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，假設(shè)P仍然不成立，那么繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，分開循環(huán)構(gòu)造。A成立不成立P不成立P成立A 當(dāng)型循環(huán)構(gòu)造 直到型循環(huán)構(gòu)造注意：1循環(huán)構(gòu)造要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件構(gòu)造來判斷。因此，循環(huán)構(gòu)造中一定包含條件構(gòu)造，但不允許“死循環(huán)。2在循

39、環(huán)構(gòu)造中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。1.2.1 輸入、輸出語句和賦值語句1、輸入語句圖形計算器格式INPUT“提示內(nèi)容；變量INPUT “提示內(nèi)容，變量1輸入語句的一般格式2輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；3“提示內(nèi)容提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；4輸入語句要求輸入的值只能是詳細的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；5提示內(nèi)容與變量之間用分號“；隔開，假設(shè)輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，隔開。2、輸出語句PRINT“提示內(nèi)容；表達式圖形計算器格式

40、Disp “提示內(nèi)容，變量1輸出語句的一般格式2輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；3“提示內(nèi)容提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；4輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。變量表達式圖形計算器格式表達式變量3、賦值語句1賦值語句的一般格式2賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；3賦值語句中的“稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；4賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；5對于一個變量可以屢次賦值。注意：賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表

41、達式。如：2=X是錯誤的。賦值號左右不能對換。如“A=B“B=A的含義運行結(jié)果是不同的。不能利用賦值語句進展代數(shù)式的演算。如化簡、因式分解、解方程等賦值號“=與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。122條件語句1、條件語句的一般格式有兩種：1IFTHENELSE語句；2IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應(yīng)的程序框圖為圖2。否是滿足條件？語句1語句2IF 條件 THEN語句1ELSE語句2END IF 圖1 圖2分析：在IFTHENELSE語句中，“條件表示判斷的條件，“語句1表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；END IF表示條件語句的完畢。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進展判斷，假設(shè)條件符合，那么執(zhí)行THEN后面的語句1；假設(shè)條件不符合，那么執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句滿足條件？語句是否圖4IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應(yīng)的程序框圖為圖4。IF 條件 THEN語句END IF圖3 注意：“條件表示判斷的條件；“語句表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，完畢程序；END IF表示條件語句的完畢。計