高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)事件的概率教師用書理

1、第四節(jié)隨機(jī)事件的概率2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。2016，全國卷，18,12分(隨機(jī)事件的概率)2015，北京卷，17,13分(用頻率估計(jì)概率)2015，陜西卷，19,12分(用頻率估計(jì)概率)2014，福建卷，20,12分(用頻率估計(jì)概率)1.多以選擇題或填空題的形式直接考查互斥事件的概率及運(yùn)算，而隨機(jī)事件的有關(guān)概念和頻率很少直接考查；2.互斥事件、對立事件發(fā)生的概率問題有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中，多為應(yīng)用問題。微知識小題練自|主|排|查1事件(1)在條件s下，一定會(huì)

2、發(fā)生的事件，叫做相對于條件s的必然事件。(2)在條件s下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對于條件s的不可能事件。(3)在條件s下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件s的隨機(jī)事件。2概率和頻率(1)在相同的條件s下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件a是否發(fā)生，稱n次實(shí)驗(yàn)中事件a發(fā)生的次數(shù)na為事件a發(fā)生的頻數(shù)，稱事件a發(fā)生的比例fn(a)為事件a發(fā)生的頻率。(2)對于給定的隨機(jī)事件a，由于事件a發(fā)生的頻率fn(a)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率p(a)，因此可以用頻率fn(a)來估計(jì)概率p(a)。3事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系如果事件a發(fā)生，則事件b一定發(fā)生，這時(shí)稱事件b包含事件a(或稱事件a

3、包含于事件b)ba(或ab)相等關(guān)系若ba，且ab，那么稱事件a與事件b相等ab并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件a發(fā)生或事件b發(fā)生，則稱此事件為事件a與事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件a發(fā)生且事件b發(fā)生，則稱此事件為事件a與事件b的交事件(或積事件)ab(或ab)互斥事件若ab為不可能事件，那么稱事件a與事件b互斥ab對立事件若ab為不可能事件，ab為必然事件，那么稱事件a與事件b互為對立事件ab且abu4概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0p1。(2)必然事件的概率p(e)1。(3)不可能事件的概率p(f)0。(4)概率的加法公式

4、：如果事件a與事件b互斥，則p(ab)p(a)p(b)。(5)對立事件的概率：若事件a與事件b互為對立事件，則ab為必然事件，p(ab)1，p(a)1p(b)。微點(diǎn)提醒1頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談。頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，概率卻是一個(gè)常數(shù)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，頻率向概率靠近。2隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是兩個(gè)不同的概念，沒有必然的聯(lián)系。在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件；條件每實(shí)現(xiàn)一次，叫做一次試驗(yàn)，如果試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)前無法確定，叫做隨機(jī)試驗(yàn)。3對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件。小|題|快|練一 、走

5、進(jìn)教材1(必修3p121練習(xí)t4)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()a至多有一次中靶 b兩次都中靶c只有一次中靶 d兩次都不中靶【解析】射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶；兩次中靶；兩次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶。故選d。【答案】d2(必修3p123a組t2改編)給出下列三個(gè)命題，其中正確的命題有_個(gè)。有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率?！窘馕觥垮e(cuò)，不一定是10件次品；錯(cuò)，是頻率而非概率；錯(cuò)，頻率不等于概率，這是

6、兩個(gè)不同的概念。【答案】0二、雙基查驗(yàn)1在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件a發(fā)生的頻率為。當(dāng)n很大時(shí)，p(a)與的關(guān)系是()ap(a)bp(a)cp(a) dp(a)【解析】事件a發(fā)生的概率近似等于該頻率的穩(wěn)定值。故選a?！敬鸢浮縜2從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對立的事件是()a至少有一個(gè)紅球與都是紅球b至少有一個(gè)紅球與都是白球c至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球d恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球【解析】a中的兩個(gè)事件不互斥，b中兩事件互斥且對立，c中的兩個(gè)事件不互斥，d中的兩個(gè)互斥而不對立。故選d?！敬鸢浮縟3擲一枚均勻的硬幣兩次，事件m：一次正面朝上，一次反面朝上；事件n：至少

7、一次正面朝上。則下列結(jié)果正確的是()ap(m)p(n)bp(m)p(n)cp(m)p(n)dp(m)p(n)【解析】由條件知事件m包含：(正、反)、(反、正)。事件n包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)。故p(m)，p(n)。故選d?！敬鸢浮縟4從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在160,175的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為_?！窘馕觥坑蓪α⑹录母怕士汕笤撏瑢W(xué)的身高超過175 cm的概率為10.20.50.3。【答案】0.35先后拋擲一枚硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是_。【答案】微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 隨機(jī)事

8、件的關(guān)系【典例1】(1)從1,2,3，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)。上述事件中，是對立事件的是()abc d(2)設(shè)條件甲：“事件a與事件b是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足p(a)p(b)1”，則甲是乙的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【解析】(1)中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”，而從17中任取兩個(gè)數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個(gè)事件：“兩個(gè)都是奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個(gè)都是偶數(shù)”，故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“

9、兩個(gè)都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件。故選c。(2)若事件a與事件b是對立事件，則ab為必然事件，再由概率的加法公式得p(a)p(b)1。設(shè)擲一枚硬幣3次，事件a：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件b：“3次出現(xiàn)正面”，則p(a)，p(b)，滿足p(a)p(b)1，但a，b不是對立事件。故選a?！敬鸢浮?1)c(2)a反思?xì)w納利用集合方法判斷互斥事件與對立事件1由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥。2事件a的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件a所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集?！咀兪接?xùn)練】在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)

10、卡”的概率是，那么概率是的事件是()a至多有一張移動(dòng)卡b恰有一張移動(dòng)卡c都不是移動(dòng)卡 d至少有一張移動(dòng)卡【解析】至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對立事件，故選a?！敬鸢浮縜考點(diǎn)二 隨機(jī)事件的概率【典例2】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記a為事件：“一續(xù)

11、保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求p(a)的估計(jì)值；(2)記b為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”。求p(b)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值?！窘馕觥?1)事件a發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2。由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為0.55，故p(a)的估計(jì)值為0.55。(2)事件b發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4。由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為0.3，故p(b)的估計(jì)值為0.3。(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200

12、名續(xù)保人的平均保費(fèi)為085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a。因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a?！敬鸢浮?1)0.55(2)0.3(3)1.192 5a反思?xì)w納1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值。2隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率?！咀兪接?xùn)練】隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月

13、份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任選一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率。【解析】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為。(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)。這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個(gè)，其

14、中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為。以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為。【答案】(1)(2)考點(diǎn)三 互斥事件與對立事件的概率【典例3】某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示。一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%。(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率。(將頻率視為概率)【解析】(1

15、)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20。該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為1.9(分鐘)。(2)記a為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，a1，a2分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘”，將頻率視為概率得p(a1)，p(a2)。p(a)1p(a1)p(a2)1。故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為?！敬鸢浮?1)x15，y20,1.9分鐘(2)反思?xì)w納求復(fù)

16、雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由p(a)1p()求解。當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法?！咀兪接?xùn)練】國家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在射擊世錦賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中710環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)命中不足8環(huán)的概率?！窘馕觥坑浭录吧鋼粢淮危衚環(huán)”為ak(kn，k10)，則事件ak彼此互斥。(1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10

17、環(huán)”為事件a，那么當(dāng)a9，a10之一發(fā)生時(shí)，事件a發(fā)生，由互斥事件的加法公式得p(a)p(a9)p(a10)0.280.320.60。(2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為b，則表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”。又ba8a9a10，由互斥事件概率的加法公式得p(b)p(a8)p(a9)p(a10)0.180.280.320.78。故p()1p(b)10.780.22。因此，射擊一次，命中不足8環(huán)的概率為0.22?！敬鸢浮?1)0.60(2)0.22微考場新提升1(2017太原模擬)某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個(gè)球，記下編號后放回

18、，乙再從袋中摸出一個(gè)球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是()a.b.c.d.解析記a、b分別為甲、乙摸出球的編號，由題意得，所有的基本事件共有36個(gè)，滿足ab的基本事件共有30個(gè)，所求概率為。故選c。答案c2(2016蘭州診斷)從數(shù)字1,2,3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為()a. b. c. d.解析從數(shù)字1,2,3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)有12、13、21、23、31、32，共6個(gè)，其中大于30的有31、32，共2個(gè)，故所求概率為。故選b。答案b3(2016云南模擬)從2,0,1,5這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個(gè)不同數(shù)的中位