最新：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中疾病傳播和免疫文檔資料

1、. 模型的傳播規(guī)則： 初始時(shí)初始時(shí)隨機(jī)選擇網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)或若干節(jié)點(diǎn)為染病節(jié)點(diǎn)（i），其余為健康節(jié)點(diǎn)（s） 在每一個(gè)時(shí)間步在每一個(gè)時(shí)間步t： 如果一個(gè)健康節(jié)點(diǎn)具有染病鄰居，則它依某個(gè)事先設(shè)定的概率變成染病節(jié)點(diǎn)，這一概率叫做染病概率（）；同時(shí)每一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)都依某個(gè)事先設(shè)定的痊愈概率（）變成健康節(jié)點(diǎn)。 在每個(gè)時(shí)間步，這些演化規(guī)則在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中被并行地執(zhí)行并行地執(zhí)行。染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感染更多的人，因此，定義染病概率和痊愈概率的比值為有效傳播率有效傳播率 并用這個(gè)參數(shù)綜合地衡量疾病自身特征。l復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論l復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略與技術(shù)主要內(nèi)容:1. 疾病傳播的基本知識(shí)2. s

2、is和sir傳播模型3. 均勻網(wǎng)絡(luò)中的sis模型, ws模型為例進(jìn)行解析4.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的sis模型, ba模型為例進(jìn)行解析i. 傳染病：數(shù)理學(xué)家在研究傳播行為時(shí)，往往并不區(qū)別研究對(duì)象，他們把可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播開(kāi)來(lái)的東西叫做傳染病。ii. 在傳播過(guò)程中，個(gè)體處于三個(gè)基本狀態(tài)：(1) s(susceptible)易感狀態(tài)：不會(huì)傳染他人，可能被傳染（也就是健康狀態(tài)）(2) i(infected) 感染狀態(tài)：已患病，具有傳染性(3) r(removed) 免疫狀態(tài)：被治愈，具有免疫能力，不具有傳染能力，不會(huì)再次被感染（移除狀態(tài)）. 傳染病模型傳染病模型 科學(xué)家通過(guò)用基本狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換來(lái)建立不同的傳

3、播模型： sis模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈但無(wú)免疫力（還可以再被感染）（感冒等） sir模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力（不會(huì)被感染，也不會(huì)感染其它節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于已經(jīng)從傳播網(wǎng)絡(luò)中被清除了）（天花等） si模型：易染個(gè)體被感染后，不能被治愈（艾滋病等） sirs模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，還會(huì)再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？） 感染密度（感染水平或者波及范圍）(t) (t)：傳播過(guò)程中,感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。：傳播到穩(wěn)態(tài)時(shí)（ ）感染密度的值,稱為穩(wěn)態(tài)感染密度。 有效傳播率(=/) 非常?。ê苄?，很大），傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，所有節(jié)點(diǎn)都會(huì)變成健康節(jié)點(diǎn)

4、，這種情況下就認(rèn)為疾病沒(méi)有在網(wǎng)絡(luò)上傳播開(kāi)來(lái)，并記該疾病的穩(wěn)態(tài)感染密度 =0。 反之，當(dāng)足夠大時(shí)，疾病將一直在網(wǎng)絡(luò)中存在而不會(huì)完全消失，只是染病節(jié)點(diǎn)的數(shù)目有時(shí)多有時(shí)少，這時(shí)穩(wěn)態(tài)感染水平（波及范圍） 0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零零向正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)變化的那個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有效傳播率有效傳播率稱作傳播閾值（臨界值） c。它是衡量網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為最重要的參量之一。t sis模型傳播方程設(shè)s,i分別表示群體中s,i個(gè)體所占的比例，則sis傳播的微分方程組為： sir模型傳播方程 設(shè)s,i,r分別表示群體中s,i,r個(gè)體所占的比例，則疾病傳播的動(dòng)力微分方程組為：注注: (1) 傳播網(wǎng)絡(luò)是完全圖，但實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，只有接觸才

5、能被感染 (2) 并不是對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都一致，而是服從分布 ， newman對(duì)其進(jìn)行了研究。 , iisdtdsiisdtdi, iisdtds, iisdtdiidtdr, jipp,. 均勻網(wǎng)絡(luò)： . 解析模型三個(gè)假設(shè)： 均勻混合假設(shè)：感染強(qiáng)度和感染個(gè)體密度 成比例。即： 和為常數(shù)（均勻混合）。不失一般性，可假設(shè)=1，因?yàn)檫@只影響疾病傳播的時(shí)間尺度； 均勻性假設(shè)：均勻網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度都等于網(wǎng)絡(luò)的平均度； 規(guī)模不變假設(shè)：假設(shè)病毒的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于個(gè)體的生命周期，即不考慮個(gè)體的出生和自然死亡 , t運(yùn)用平均場(chǎng)的方法可得：被感染個(gè)體密度(t)的變化率 被感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)健康 單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生

6、的新感染節(jié)點(diǎn)的平均速度，它與有效傳播率、節(jié)點(diǎn)的平均度k，健康節(jié)點(diǎn)相連概率1-(t)成比例，（其他的高階校正項(xiàng)忽略了）。 ttkttt1當(dāng)傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，變化率為0，所以令上式右端為0； 即：-+1-=0 （1-+）=0； （- ）=0；當(dāng) 時(shí)，- 必大于0，所以=0；當(dāng) 時(shí)，= ；所以， 即為臨界傳播值，記 = 。c1k1k1k 1k1k1k1k 01ttkttt結(jié)論：在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)有限的正的傳播臨界值c。如果有效傳播率 c，則病毒可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播開(kāi)來(lái)，并最終穩(wěn)定于 ,此時(shí)稱網(wǎng)絡(luò)處于激活相態(tài)；如果有效傳播率0時(shí)，有結(jié)論： ba無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在sis模型下的 只要有效傳播率0，病毒就能傳播開(kāi)來(lái)

7、，并將達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定感染水平 ，這反映了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性0;0;c1/1/1/1/1/2111lnmmmmmeeeee（1-）0ba網(wǎng)絡(luò)中，疾病傳播的時(shí)間演化 n=106，從下至上從0.05到0.0651. sis模型在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個(gè)傳播臨界值 。當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過(guò)程中逐漸衰減，最終被滅；當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過(guò)程中傳播開(kāi)來(lái)，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）： 2. sis模型在sf網(wǎng)絡(luò)中，傳播臨界值：只要有效傳播率0，病毒就能傳播開(kāi)來(lái)，并將達(dá)到一穩(wěn)定感染水平 值： ，這反映了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性。ccc10ck20ckk exp( 1/)m 有限規(guī)模無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨

8、界值 關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值 廣義復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播臨界值（度分布是冪律分布和指數(shù)分布的混合體） l復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論l復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略與技術(shù)主要內(nèi)容1. 隨機(jī)免疫與集中接種2.目標(biāo)免疫與優(yōu)先免疫3. 熟人免疫與環(huán)狀接種隨機(jī)免疫與集中接種：將所有可能感染的種群集中起來(lái)，按照某種概率隨機(jī)選擇種群中的個(gè)體進(jìn)行接種。 （度大節(jié)點(diǎn)和度小節(jié)點(diǎn)是平等對(duì)待）1992年，anderson和may人類傳染病， oxford university press sis傳播方式說(shuō)明隨機(jī)免疫引入免疫參數(shù)g：初始網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)數(shù)占節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例在平均場(chǎng)理論下可以通系數(shù)（1-g）來(lái)影響有效傳播率，即用（1-g）來(lái)替換代入前

9、面的變換率方程中 （均勻網(wǎng)絡(luò)，（均勻網(wǎng)絡(luò)，ws） （sf網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)，ba） tkgttt11 tkgtttkkk11均勻網(wǎng)絡(luò)（以ws為例）令上式為0，得：(1(t)= - (t)+ (t)1- (t);)tg(1)()0;(1)cgg 0;(1);(1)cggccgg1ccgg1 即：我們需要的免役臨界值 顯然 ，才有意義。 情況下，如果不加免疫，疾病將傳播開(kāi)來(lái)，并穩(wěn)定于某一值(0)；如果加免疫后，只要免疫值 滿足：疾病將不能傳播開(kāi)來(lái)，即達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，0。ccgccgcgcgg. sf網(wǎng)絡(luò)（以ba為例） sf網(wǎng)絡(luò)的免疫臨界值可由公式 給出，即：2ckk2(1)ckgk2111ckgk 2kws模

10、型上隨機(jī)免疫的效果 表示加入免疫后的穩(wěn)態(tài)感染密度，表示不加免疫的穩(wěn)態(tài)感染密度（p=1,k=3;=0.25;） ccgg1/ 20.250.160.360.25ck模 擬 值 為 0.385解 析 值 為g0結(jié)論： 在均勻網(wǎng)絡(luò)中：只要 ，就可保證疾病不在網(wǎng)絡(luò)中傳播開(kāi)來(lái)；sf網(wǎng)絡(luò)中：免疫臨界值約為，即任給定一值，都需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的所有個(gè)體進(jìn)行免疫才能使疾病不傳播開(kāi)來(lái)。說(shuō)明隨機(jī)免疫只對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)有效（有較小的),而對(duì)sf網(wǎng)絡(luò)效果很差（ =1）。原因： 這是由于sf網(wǎng)絡(luò)是異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度呈兩極分化，采用隨機(jī)免疫，哪些最容易傳播病毒的節(jié)點(diǎn)（度大的節(jié)點(diǎn)）不一定獲得免疫。所以，如果對(duì)sf網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫的策略，

11、需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中幾乎所有的節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。 因此對(duì)sf網(wǎng)絡(luò)這樣的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，普遍認(rèn)為：隨機(jī)免疫策略對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是無(wú)效的！cgcgccg目標(biāo)免疫：選取少量度最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。（而一旦這些節(jié)點(diǎn)被免疫后，就意味著他們所連的邊可以從網(wǎng)絡(luò)中去除，使得病毒傳播的可能途徑大大減少。）假設(shè)對(duì)度kkt的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，即有： 引入定義（免疫平均度，免疫二階矩）：p(g)：任給一條邊，該邊指向一個(gè)免疫節(jié)點(diǎn)的概率。且有： （免疫節(jié)點(diǎn)的平均度） （平均度） ( )tk kgp k( );tktmkkp k 22( );tktmkk p k ( )( )( )tk kkkp kp gkp k將比例為

12、g的免疫節(jié)點(diǎn)看作已從網(wǎng)絡(luò)中移除，且從這些節(jié)點(diǎn)出發(fā)的邊也被刪除了。則新的度分布： （指向非免疫節(jié)點(diǎn)的概率）( )( )(1);tkkkq kgqq kp kp q cpp( )(1);tkggtmkkp kkp 22( )tkggmkk p k 22(1)(1);ttkpkpp 在sf網(wǎng)絡(luò)中，有：2211()()ccgtccgtkkggkk特別地，在ba網(wǎng)絡(luò)情況下：( )1( )1( )tttkmk kk kgp kp kp k dk 222321tktmmdkm kk 1/2tkmg1/2( )1( )( )( )2ttkk kmkkp kkp k dkp ggkp km1/2()ccp gg

13、同樣，將 代入t及t 得：將、代入 式中。對(duì)代入后的方程求得一個(gè)近似解： 上式表明：即使有效傳播率在很大的范圍內(nèi)取值，都可以得到較小的免疫臨界值 (對(duì)少量的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫,即可消除病毒擴(kuò)散)。1/2tkmg( )2tktmkkp km 2221/2( )2ln()tktmkk p kmg exp( 2/)cgmcgn 環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個(gè)體的所有(距離為k)鄰居禽流感等n 熟人免疫：從群體中以比例p隨機(jī)選擇個(gè)體,再隨機(jī)選擇該個(gè)體的一個(gè)相鄰個(gè)體進(jìn)行免疫n 接觸追蹤：對(duì)與有傳染性個(gè)體的接觸者進(jìn)行跟蹤，然后以一定的概率進(jìn)行免疫 非典病等 例子 (huerta和tsimring) t：被監(jiān)控態(tài) t：被追蹤