2001年湖南高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2001年湖南高考理科數(shù)學(xué)真題及答案本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分第卷1至2頁第卷3至8頁共150分考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題共60分)注意事項(xiàng)：1 答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上3 考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式S臺(tái)側(cè)其中c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)， l表示斜高或母線長(zhǎng)臺(tái)體的體積公式V臺(tái)體一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)

2、選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1若sinicos0，則在( )A第一、二象限B第一、三象限C第一、四象限D(zhuǎn)第二、四象限2過點(diǎn)A (1，1)、B (1，1)且圓心在直線xy2 = 0上的圓的方程是( )A(x3) 2(y1) 2 = 4B(x3) 2(y1) 2 = 4C(x1) 2(y1) 2 = 4 D(x1) 2(y1) 2 = 43設(shè)an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是( )A1B2C4D64若定義在區(qū)間(1，0)的函數(shù)滿足，則a的取值范圍是( )A()BC(，)D(0，)5極坐標(biāo)方程的圖形是( )6函數(shù)y = cos x1(x0)的反函數(shù)是( )Ay

3、=arc cos (x1)(0x2)By = arc cos (x1)(0x2)Cy = arc cos (x1)(0x2)Dy = arc cos (x1)(0x2)7 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1 (1，0)， F2 (3，0)，則其離心率為( )ABCD8 若0，sin cos = ，sin cos = b，則( )AabBabCab1Dab29 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若，則AB1 與C1B所成的角的大小為( )A60B90C105D7510設(shè)f (x)、g (x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題： 若f (x)單調(diào)遞增，g (x)單調(diào)遞增，則f (x)g (x)單調(diào)遞增； 若f

4、(x)單調(diào)遞增，g (x)單調(diào)遞減，則f (x)g (x)單調(diào)遞增； 若f (x)單調(diào)遞減，g (x)單調(diào)遞增，則f (x)g (x)單調(diào)遞減； 若f (x)單調(diào)遞減，g (x)單調(diào)遞減，則f (x)g (x)單調(diào)遞減其中，正確的命題是( )ABCD11 一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：?jiǎn)蜗騼A斜；雙向傾斜；四向傾斜記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3 若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則( )AP3P2P1BP3P2 = P1CP3 = P2P1DP3 = P2 = P112 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信

5、息量現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為( )A26B24C20D19第卷(非選擇題共90分)注意事項(xiàng)：1第卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中2答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚二填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上13若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是 14雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上若PF1PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為 15設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和若Sn是等差數(shù)列，則q = 16圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n1)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)

6、數(shù)為 三解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 (本小題滿分12分)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，()求四棱錐SABCD的體積；()求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值18 (本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z1 = i (1i) 3()求arg z1及；()當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足=1，求的最大值19 (本小題滿分12分)設(shè)拋物線y2 =2px (p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O20 (本小題滿分12分)已知i，m

7、，n是正整數(shù)，且1imn()證明；()證明(1m) n (1n) m21 (本小題滿分12分)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元寫出an，bn的表達(dá)式；()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？22 (本小題滿分14分)設(shè)f (x) 是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x = 1對(duì)稱對(duì)任意x1，x20，都有f (x1x2)

8、 = f (x1) f (x2)且f (1) = a0()求f () 及f ()；()證明f (x) 是周期函數(shù)；()記an = f (2n)，求參考答案：說明：一 本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生物解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二 對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定部分的給分，但不得超過該部分正確解答得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三 解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和

9、填空題不給中間分一選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分60分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分16分（13）2 （14） （15）1 （16）2n (n1) 三解答題：（17）本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，以及空間想象能力和邏輯推理能力滿分12分解：（）直角梯形ABCD的面積是M底面， 2分 四棱錐SABCD的體積是 M底面 4分（）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE則SE是所求二面角的棱 6分 ADBC，BC = 2AD， EA = AB

10、 = SA， SESB， SA面ABCD，得SEB面EBC，EB是交線，又BCEB， BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 10分 ，BC =1，BCSB， tanBSC 即所求二面角的正切值為 12分（18）本小題考查復(fù)數(shù)基本性質(zhì)和基本運(yùn)算，以及分析問題和解決問題的能力滿分12分解：（）z1 = i (1i) 3 = 22i， 將z1化為三角形式，得， ， 6分 （）設(shè)z = cos i sin ，則zz1 = ( cos 2)(sin 2) i，()， 9分當(dāng)sin() = 1時(shí)，取得最大值從而得到的最大值為 12分（19）本小題考查拋物

11、線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力滿分12分證明一：因?yàn)閽佄锞€y2 =2px (p0)的焦點(diǎn)為F (，0)，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線的方程可設(shè)為； 4分代入拋物線方程得y2 2pmyp2 = 0，若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2 = p2 8分因?yàn)锽Cx軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線x = 上，所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為（，y2），故直線CO的斜率為即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O 12分證明二：如圖，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作ADl，D是垂足則ADFEBC 2分連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則， 6分根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)， 8

12、分 ，即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O 12分（20）本小題考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式的基本知識(shí)和邏輯推理能力滿分12分（）證明： 對(duì)于1im有 = m(mi1)， 同理 ， 4分 由于 mn，對(duì)整數(shù)k = 1，2，i1，有，所以 ，即 6分（）證明由二項(xiàng)式定理有， ， 8分由 ()知(1imn，而 ， 10分所以， (1imn因此，又 ， 即 (1m)n(1n)m 12分（21）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力滿分12分解：（）第1年投入為800萬元，第2年投入為800（1）萬元，第n年投

13、入為800（1）n1萬元所以，n年內(nèi)的總投入為an = 800800（1）800（1）n1 = 40001()n； 3分第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400（1）萬元，第n年旅游業(yè)收入為400（1）n1萬元所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn = 400400（1）400（1）n1 = 1600 ()n1 6分（）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bnan0，即 1600（）n 140001（）n0化簡(jiǎn)得 5（）n2（）n 70， 9分設(shè)（）n，代入上式得5x27x20，解此不等式，得，x1(舍去)即 （）n，由此得 n5答：至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

14、 12分（22）本小題主要考查函數(shù)的概念、圖像，函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力滿分14分（）解：因?yàn)閷?duì)x1，x20，都有f (x1x2) = f (x1) f (x2)，所以 f () f ()0，x0，1 f () = f () f () = f ()2， f ()f () = f () f () = f ()2 3分， f ()，f () 6分（）證明：依題設(shè)y = f (x)關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，故 f (x) = f (11x)，即f (x) = f (2x)，xR 8分又由f (x)是偶函數(shù)知f (x) = f (x) ，xR， f (x) = f