北京各區(qū)數(shù)學(xué)一模試題分類匯編——立體幾何

1、2011北京各區(qū)數(shù)學(xué)一模試題分類匯編立體幾何1. （朝陽理16）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，側(cè)面底面. 若.（）求證：平面；abpcd（）側(cè)棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點 的位置并證明，若不存在，請說明理由；（）求二面角的余弦值.解法一：（）因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因為，所以 ， 所以. 又因為， 所以平面. 4分（）在上存在中點，使得平面， efabpcd證明如下：設(shè)的中點是， 連結(jié)，則，且.由已知，ghabpcd所以. 又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以. 因為平面，平面，所以平面. 8分（）設(shè)為中點，連結(jié)，

2、則 .又因為平面平面，所以 平面.過作于，連結(jié)，由三垂線定理可知.所以是二面角的平面角.設(shè)，則, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值為. 13分zyxabpcd解法二：因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以 底面.又因為，所以，兩兩垂直.分別以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，則，. （），,所以 ，所以，.又因為， 所以平面. 4分（）設(shè)側(cè)棱的中點是， 則，. 設(shè)平面的一個法向量是，則 因為，所以 取，則.所以， 所以.因為平面，所以平面. 8分（）由已知，平面，所以為平面的一個法向量.由（）知，為平面的一個法向量.設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，所以.即二面角的

3、余弦值為. 13分2. （朝陽文17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，側(cè)面底面，. 若.（）求證：平面；abpcde（）設(shè)側(cè)棱的中點是，求證：平面.解：（）因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，abpcde且側(cè)面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因為，所以 ， 所以. 又因為， 所以平面. 6分efabpcd（）設(shè)側(cè)棱的中點為， 連結(jié)，則，且.由已知，所以. 又，所以. 且.所以四邊形為平行四邊形，所以. 因為平面，平面，所以平面. 13分pabcdqm3. （豐臺理16）如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd為直角梯形，ad/bc，adc=90，平面pad底面abcd，q為ad的中點

4、，m是棱pc上的點，pa=pd=2，bc=ad=1，cd=（）若點m是棱pc的中點，求證：pa / 平面bmq；（）求證：平面pqb平面pad； （）若二面角m-bq-c為30，設(shè)pm=tmc，試確定t的值 pabcdqm證明：（）連接ac，交bq于n，連接mn bcad且bc=ad，四邊形bcqa為平行四邊形，且n為ac中點，又點m在是棱pc的中點， mn / pa mn平面mqb，pa平面mqb， pa / 平面mbq （）ad / bc，bc=ad，q為ad的中點，四邊形bcdq為平行四邊形，cd / bq adc=90 aqb=90 即qbadpabcdqmnxyz又平面pad平面ab

5、cd 且平面pad平面abcd=ad， bq平面pad bq平面pqb，平面pqb平面pad 9分另證：ad / bc，bc=ad，q為ad的中點， 四邊形bcdq為平行四邊形，cd / bq adc=90 aqb=90 pa=pd， pqad pqbq=q， ad平面pbq ad平面pad，平面pqb平面pad9分（）pa=pd，q為ad的中點， pqad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad， pq平面abcd 如圖，以q為原點建立空間直角坐標(biāo)系則平面bqc的法向量為；， 設(shè)，則， ， 12分在平面mbq中， 平面mbq法向量為 二面角m-bq-c為30， ， 14分4.

6、（豐臺文16）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，ad/bc，adc=90，bc=ad，pa=pd，q為ad的中點（）求證：ad平面pbq； （）若點m在棱pc上，設(shè)pm=tmc，試確定t的值，使得pabcdqmnpa/平面bmq證明：（）ad / bc，bc=ad，q為ad的中點， 四邊形bcdq為平行四邊形， cd / bq adc=90 aqb=90 即qbad pa=pd，q為ad的中點， pqad pqbq=q，ad平面pbq 6分（）當(dāng)時，pa/平面bmq連接ac，交bq于n，連接mnbcdq，四邊形bcqa為平行四邊形，且n為ac中點，點m是線段pc的中點， mn / pa mn平

7、面bmq，pa平面bmq， pa / 平面bmq 13分5. （門頭溝理16）apdcob已知四棱錐的底面為菱形，且，與相交于點.（）求證：底面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若是上的一點，且，求的值（）證明：因為為菱形，所以為的中點1分因為,所以所以底面 3分（）因為為菱形，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系又得 4分所以 ,5分設(shè)平面的法向量有 所以解得所以 8分 9分與平面所成角的正弦值為 10分（）因為點在上,所以所以,因為所以,得 解得pdbaefg所以 14分6. （門頭溝文16）如圖所示，垂直矩形所在的平面，分別為的中點。()求證（）求證證明：()取中點，連結(jié)、，c 因為分別為

8、的中點，所以，2分又在矩形中，所以 ，所以四邊形是平行四邊形，所以5分 又，.所以7分（）因為，所以在矩形中 又，所以，11分因為所以，因為所以13分石景山理17）在棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為a1d1和cc1的中點 （）求證：ef/平面acd1； （）求異面直線ef與ab所成的角的余弦值； （）在棱bb1上是否存在一點p，使得二面角pacb的大小為30？若存在，求出bp的長；若不存在，請說明理由7. （石景山文17）在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e，f，g分別為棱bb1，dd1和cc1的中點 （）求證：c1f/平面deg； （）求三棱錐d1a1ae

9、的體積； （）試在棱cd上求一點m，使平面deg8. （延慶理16）pdmbca如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，且 ,側(cè)面底面，且三角形為等腰直角三角形，,是的中點.（）求證; （）求異面直線與所成角的余弦值;（）求二面角的余弦值.（） 連結(jié), 是菱形 ，且 是等邊三角形 1分設(shè)是的中點，連結(jié)，則， 是等腰直角三角形 2分 3分 平面， 4分（） 平面平面 平面以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖 5分則 7分 9分（） 平面 平面的法向量為 10分設(shè)平面的法向量為 ， ，令 可得： 12分 由圖形可知，二面角為銳角， 二面角的余弦值為 14分9. （延慶文16）pdbca如圖，

10、在四棱錐中，底面為直角梯形，,且三角形為等腰，.（）求證; （）線段上是否存在點，使得平面?并說明理由.（）連結(jié), ，且 是等邊三角形 1分設(shè)是的中點，連結(jié)，則， 2分 是等腰三角形， 3分 ， 平面， 5分 平面， 6分（）設(shè)為的中點，連，又設(shè)是的中點, 連 8分 ， ， 9分 是平行四邊形， 10分 平面, 平面 平面 12分 當(dāng)為的中點時，平面 13分10. （海淀理16）在如圖的多面體中，平面，,，是的中點() 求證：平面；() 求證：；() 求二面角的余弦值. 解：()證明：，. 又,是的中點， ， 四邊形是平行四邊形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1證明：平面，平

11、面， 又，平面， 平面. 5分過作交于，則平面.平面， . 6分，四邊形平行四邊形，又，四邊形為正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,兩兩垂直. 5分以點e為坐標(biāo)原點，分別為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分設(shè)平面的法向量為，即，令,得. 12分設(shè)二面角的大小為，則， 13分二面角的余弦值為 14分11. （海淀文17）如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且為中點. ( i ) 求

12、證：平面；( ii ) 求證：. 證明: (i) 因為為中點，所以 1分又，所以有 2分所以為平行四邊形,所以 3分又平面平面所以平面 . 5分(ii)連接.因為所以為平行四邊形， 6分又,所以為菱形，所以 ， 7分因為正三角形,為中點，所以 ， 8 分 又因為平面平面,平面平面 ， 所以平面， 10分而平面，所以 ，又，所以平面. 12分又平面，所以 . 13分12. （東城理16）已知四棱錐的底面是菱形，與交于點，分別為，的中點（）求證：平面；（）求證：平面；oecabdph（）求直線與平面所成角的正弦值 （）證明：因為，分別為，的中點，oecdbaph 所以 又平面,平面 所以平面（）證

13、明：連結(jié)， 因為，所以在菱形中，又因為，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，為的中點，所以又因為所以平面（）解：過點作，所以平面如圖，以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系可得，所以，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，令，則設(shè)直線與平面所成的角為，可得所以直線與平面所成角的正弦值為13. （東城文16）已知四棱錐的底面是菱形，為的中點（）求證：平面；（）求證：平面平面（）證明：因為，分別為，的中點， 所以 因為平面 平面 所以平面6分（）證明：連結(jié) 因為，所以在菱形中，因為所以平面abcdfe 因為平面 所以平面平面 13分14. （西城一模理17）如圖, 是邊長為的正方形，平面，與平

14、面所成角為.()求證：平面；()求二面角的余弦值；（）設(shè)點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.()證明： 因為平面，所以. 2分因為是正方形，所以，從而平面. 4分()解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因為與平面所成角為，即， 5分所以.由可知，. 6分則，所以， 7分設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則. 8分因為平面，所以為平面的法向量，所以. 9分因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 10分()解：點是線段上一個動點，設(shè).則，因為平面，所以， 11分即，解得. 12分此時，點坐標(biāo)為，符合題意. 13分15. （西城一模文16）abcdfe如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，.()求證：平面；()求證：平面；（）求四面體的體積.()證明：因為平面平面，所以平面，2分 所以.3分因為是正方形，所以，所以平面. 4分()證明：設(shè)，取中點，連結(jié)，所以，. 5分因為，所以，6分從而四邊形是平行四邊形，. 7分因為平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因為平面平面，,所以平面. 11分因為,，所以的面積為， 12分所以四面體的體積. 13分16. （懷柔一模理16）如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱底面，且，分別是線段的中點（）求證：/平面；（）求證：平面；（）求二面角的大小解：建立如圖所示的空間直