平面向量的坐標運算一題多解

1、 一題多解 觸類旁通由一道課本例題引發(fā)的思考摘要由人教版高一數(shù)學（下冊）平面向量的坐標運算中的一道例題，引導(dǎo)學生構(gòu)建正常的數(shù)學模型，滲透數(shù)學建模思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合思想，尋求發(fā)現(xiàn)正確的解題思路。關(guān)鍵詞 數(shù)學思維方式 數(shù)學模型 數(shù)形結(jié)合 一題多解一、 問題的提出在課堂教學中為了能更有效地發(fā)揮問題在構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)中的作用，往往采取從不同角度、不同的側(cè)面、不同的層次設(shè)計變式問題，引導(dǎo)學生去分析尋找結(jié)果。當然這樣訓(xùn)練的目的并非單純?yōu)榱俗寣W生得出相應(yīng)的結(jié)果，而是在訓(xùn)練中實現(xiàn)對知識的梳理。為構(gòu)建更完善的知識網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)設(shè)條件，實現(xiàn)認知水平向更高的臺階邁進。例：已知平行四邊形abcd

2、的三個點為a、b、c 的坐標分別為（-2，1），（-1，3），（3，4），求頂點d的坐標。二、展示課本解法數(shù)學課本作為數(shù)學知識的載體，具有極強的邏輯性和層次性。教材中每章節(jié)的內(nèi)容都是處于特定的知識結(jié)構(gòu)中，知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及表述方式猶如一條鏈子環(huán)環(huán)相扣，任何一節(jié)的松動就會造成鏈子的脫節(jié)。對此題，課本是利用向量相等（即=）來求解，方法較為簡便。其解法如下： ， 由=可知： 解得： 即：頂點d的坐標為：（2，2） 三引發(fā)的思考 高中教材的編寫旨在提高學生的思想道德品質(zhì)、文化科學知識、審美情趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力、終身學習能力和適應(yīng)社會生活的能力，促進學生的全面發(fā)展。知識之間的聯(lián)系也與這

3、相仿，因而知識之間的關(guān)聯(lián)處是學生有效理解和掌握教材內(nèi)容并形成數(shù)學能力的關(guān)鏈部分，若處理不好，則很容易成為制約學生正確掌握教材內(nèi)容的“瓶頸”。那么如何才能更好地抓住關(guān)聯(lián)處設(shè)計好問題呢？我們知道，向量具有兩個明顯特點“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁。向量的坐標實際是把點與數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把坐標與向量聯(lián)系起來，利用數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想解決問題。為了開拓同學們的解題思路，運用向量的一些性質(zhì)進行求解，下面介紹幾種解法，以供參考。解法一：（利用向量加法）先依據(jù)題意在坐標系內(nèi)做出平行四邊形abcd（如圖），設(shè)頂點d的坐標為，xyabcdo并連結(jié)oa，od，則= 頂點d的坐標為

4、：（2，2） 解法二：（利用向量減法） 先依據(jù)題意在坐標系內(nèi)做出平行四邊形xyabcdoabcd（如圖），設(shè)頂點d的坐標為，并連結(jié)oa，od， 則= , 頂點d的坐標為：（2，2）解法三：（利用中點的向量表達式） 如圖：在平行四邊形abcd中，ac的中點m即是bd的中點。xyabdcom , 頂點d的坐標為：（2，2）解法四：（利用中點坐標公式） abdcoxy如圖：在平行四邊形abcd中，ac的中點即為bd的中點。設(shè)頂點d的坐標為，則： 解得： 頂點d的坐標為：（2，2）解法五：（利用平面內(nèi)兩點間距離公式）如圖：設(shè)頂點d的坐標為，則： 在平行四邊形abcd中，有abdcoxy解得： 頂點d的

5、坐標為：（2，2）解法六：（利用平行四邊形對邊的向量相等）abdcoxy如圖：設(shè)頂點d的坐標為，則：在平行四邊形abcd中，= 即： 解得： 頂點d的坐標為：（2，2）五總結(jié) 雖然這樣做有意將問題“復(fù)雜化”，但卻符合學生的認知規(guī)律，使教學在學生已有的認知發(fā)展水平的基礎(chǔ)上展開。如果不分層次地進行講解，雖然學生也能聽懂，但由于學生的思維未能深入到整個解題過程之中，其結(jié)果必然是問題的情境稍加變化，一些學生又將“不識廬山真面目”形成新的思維障礙。因此若將問題設(shè)計在知識與知識的關(guān)聯(lián)處，是很有利于培養(yǎng)學生分解剖析習題的能力，以此來誘發(fā)思維，往往能收到事半功倍的效果。 遇到題目不是急于動手，而是應(yīng)該分析題構(gòu)建正確得數(shù)學模型，利用數(shù)學思維方式，采取數(shù)學思想進行探討思考，歸納總結(jié)。真正做到掌握相關(guān)內(nèi)容方法，觸類旁通。 參考文獻1 中