疊加原理在物理學(xué)中的應(yīng)用

1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）目 錄引言11疊加原理在電磁學(xué)中的應(yīng)用11.1電場(chǎng)強(qiáng)度的分析計(jì)算11.2磁感應(yīng)強(qiáng)度的分析計(jì)算31.3疊加原理的應(yīng)用技巧42根據(jù)疊加原理計(jì)算線性電路的電流電壓53疊加原理在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的應(yīng)用73.1弦的自由振動(dòng)73.2弦的受迫振動(dòng)74疊加原理在波動(dòng)光學(xué)中的運(yùn)用85疊加原理在量子力學(xué)中的應(yīng)用96疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10結(jié)束語(yǔ)11參考文獻(xiàn)：11英文摘要.12致謝12疊加原理在物理學(xué)中的應(yīng)用 摘 要：疊加原理是物理學(xué)中的基本原理之一,對(duì)物理學(xué)的研究起著極其重要的作用。但在物理學(xué)中疊加原理并不是一條普遍的原理,只有當(dāng)描寫物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的微分方程是線性方程時(shí),才可應(yīng)用疊加原理進(jìn)行分析計(jì)算。本文列

2、舉疊加原理在電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算、磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算、數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的求解、電路分析和光的波動(dòng)特點(diǎn)的描述,以及量子力學(xué)態(tài)疊加原理及相關(guān)問(wèn)題的討論計(jì)算等等,最后對(duì)疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及適用范圍予以討論，從而加深對(duì)疊加原理在應(yīng)用方面的思維方法與靈活技巧的理解。關(guān)鍵詞：疊加原理；應(yīng)用；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；線性方程引言所謂疊加原理是指：幾種不同原因綜合所產(chǎn)生的總效果，等于這些不同原因單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生效果的總和1。自然界中有許多現(xiàn)象尤其是物理現(xiàn)象具有明顯的疊加性，在解決與這些現(xiàn)象的有關(guān)實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)用疊加原理會(huì)使問(wèn)題易于解決，同時(shí)疊加原理為解決這些問(wèn)題提供了簡(jiǎn)便方法。本文在總結(jié)分析疊加原理在電磁學(xué)、電路分析、數(shù)學(xué)物理

3、問(wèn)題、波動(dòng)光學(xué)及量子力學(xué)中應(yīng)用的基礎(chǔ)上，對(duì)疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及適用范圍予以討論，從而加深對(duì)疊加原理的認(rèn)識(shí)理解，以便今后更好的加以應(yīng)用。1疊加原理在電磁學(xué)中的應(yīng)用電場(chǎng)中的電場(chǎng)力、電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、介質(zhì)極化強(qiáng)度、電位移矢量，磁場(chǎng)中的磁場(chǎng)力、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等等物理量的分析計(jì)算都可應(yīng)用疊加原理使問(wèn)題簡(jiǎn)化1。若所求量為標(biāo)量則直接相加減，若為矢量其疊加則服從平行四邊形定則。通常利用對(duì)稱性將矢量分解在兩個(gè)相互垂直的方向上，化矢量疊加為標(biāo)量疊加簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消時(shí)，就轉(zhuǎn)化為一個(gè)方向的標(biāo)量疊加。1.1電場(chǎng)強(qiáng)度的分析計(jì)算大家熟知，一個(gè)半徑為r，帶電量為q的均勻帶電圓環(huán)2，可

4、以看成許許多多線元的疊加，而任一線元在軸線上一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為一矢量，方向沿徑向（），根據(jù)其電場(chǎng)的對(duì)稱性分析知場(chǎng)強(qiáng)只有沿軸向分量，因而將矢量疊加退化成標(biāo)量疊加，由電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式疊加求積分得軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 (1.1)若求軸線上一點(diǎn)電勢(shì)則可直接將點(diǎn)電荷電勢(shì)公式求積分而得 (1.2)我們?cè)趹?yīng)用疊加原理解決電場(chǎng)、磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，要注重思維的發(fā)散性，方法的靈活性，體現(xiàn)疊加的靈魂與思想。如用上述方法求得均勻帶電的圓弧在其中心點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 (1.3) yeeeexeyxooyxe(a)0a(b)0a(c)0a圖1.1 疊加原理應(yīng)用的靈活性其中為電荷線密度，如圖所示：則均勻帶電半圓環(huán)y軸分量相互抵消，

5、中心點(diǎn)的；均勻帶電圓環(huán)為零，由公式（1.1）令z=0同樣得。若把均勻帶電圓盤看成是一個(gè)個(gè)細(xì)圓環(huán)的疊加，則由公式（1.1）積分得圓盤軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 (1.4)若許許多多這樣的圓盤疊加起來(lái)可以組成一個(gè)均勻帶電球體，亦可求積分得其產(chǎn)生的場(chǎng)的分布。廣而推之這樣的疊加思想可以用下面的積分公式統(tǒng)一表示， （1.5）1.2磁感應(yīng)強(qiáng)度的分析計(jì)算zxroiy圖1.2 載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度無(wú)窮長(zhǎng)導(dǎo)線載有電流i，在中間彎成一半徑為r的半圓弧，其余部分則與圓的軸線平行，如圖所示，圓弧中心o的磁感應(yīng)強(qiáng)度等于兩半無(wú)窮長(zhǎng)直線與半圓電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度3的疊加。根據(jù)biot-savart定律和對(duì)稱性，兩段直線電流

6、在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相同，都沿圖中z軸方向。每一段所產(chǎn)生的b1大小為 （1.6）半圓電流在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度b2方向沿x軸負(fù)方向。其大小為 （1.7）于是得所求的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （1.8）b與x軸的夾角為 （1.9）類似的問(wèn)題有許多，我們不再重復(fù)，而疊加原理作為一種基本方法其在應(yīng)用中的簡(jiǎn)潔性、技巧性同樣值得我們深刻靈活的加以理解應(yīng)用。1.3疊加原理的應(yīng)用技巧電偶極矩為的電偶極子，在空間任一點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算，若在球坐標(biāo)下由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式與疊加原理去計(jì)算，數(shù)學(xué)化解過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)也有一定的難度，但若將原來(lái)電偶極子在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，看成是兩個(gè)相互垂直的電偶極子（電

7、偶極矩分別為和）在p產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度和的疊加，則可極大的簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程降低計(jì)算難度。eqp2+q-qp1elpe圖1.3 電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)如圖所示，p點(diǎn)到電偶極子中心的距離為r,r與的夾角為,其中 (1.10)這樣就可以利用電偶極子延長(zhǎng)線和中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)公式進(jìn)行計(jì)算。其中延長(zhǎng)線上離電偶極子中心o為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 (1.11)中垂線上離電偶極子中心o為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 (1.12)電偶極矩為的電偶極子在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度沿r方向上，大小為 (1.13)電偶極矩為的電偶極子在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度沿垂直r方向上，大小為 (1.14)p點(diǎn)的合成電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 (1.15)的夾角為 (1.16)2根

8、據(jù)疊加原理計(jì)算線性電路中的電流電壓求解線性電路時(shí)，一般應(yīng)用電路分析的基本定律基爾霍夫定律求解，但對(duì)于一些有幾個(gè)電源共同作用的線性電路4，應(yīng)用疊加原理求解更易理解且可簡(jiǎn)化計(jì)算。應(yīng)用疊加原理時(shí)，各支路的電流(或電壓)等于各個(gè)電源分別單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和(疊加)。考慮任一獨(dú)立源單獨(dú)作用下,其它獨(dú)立源應(yīng)視為零值,即獨(dú)立電壓源用短路代替,獨(dú)立電流源用開(kāi)路代替,而全部受壓源則應(yīng)該保留。應(yīng)用疊加時(shí)要注意電流或電壓的參考方向，正確選取各分量的正負(fù)號(hào)5。用基爾霍夫定律和疊加性求解電路問(wèn)題各有其優(yōu)缺點(diǎn)，用基爾霍夫定律求解根據(jù)回路個(gè)數(shù)列方程便于求解回路個(gè)數(shù)較少的電路，而用疊加原理求解根據(jù)獨(dú)

9、立源個(gè)數(shù)列方程，對(duì)于獨(dú)立源較少而回路個(gè)數(shù)較多的復(fù)雜電路用疊加原理求解更簡(jiǎn)便。若計(jì)算如圖2.1所示電路中各支路電流。已知=10v，=6v，=10w，=90，=0.1，=0.2。通常由基爾霍夫方程聯(lián)立求解： （2.1）得各支路電流或電壓，這樣解方程組數(shù)學(xué)運(yùn)算較復(fù)雜，尤其是對(duì)于支路回路數(shù)較多i1r1r2r3r4e1i2i3 +e2 -i1r1r2r3r4e1i2i3i1r1r2r4i2r3i3 +e2 -（a）（b）（c）圖2.1 原電路及電源單獨(dú)作用時(shí)的電路的復(fù)雜電路就更復(fù)雜了，一旦數(shù)學(xué)計(jì)算上出錯(cuò)，則全盤皆輸。而由疊加原理，和單獨(dú)作用時(shí)的電路，如圖2.1（b）、（c）所示。根據(jù)圖（b）可由電路歐姆

10、定律求得單獨(dú)作用時(shí)各支路的電流，即 （2.2）根據(jù)圖（c）可由歐姆定律得由分流公式求得單獨(dú)作用時(shí)各支路的電流，即 （2.3）由疊加原理得： （2.4） 同理可求得： （2.5）由上述分析可聯(lián)想到對(duì)于有較少電源作用的復(fù)雜線性電路只需求某一支路的電流時(shí)，應(yīng)用疊加原理及基本電路定律就可便潔地解決問(wèn)題。3疊加原理在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的應(yīng)用3.1弦的自由振動(dòng)研究?jī)啥斯潭ǖ木鶆蛳业淖杂烧駝?dòng)5，即定解問(wèn)題泛定方程 （3.1） 邊界條件 （3.2）初始條件 （3.3）利用分離變量法令可得，（n=1,2,3,） （3.4）以上是滿足振動(dòng)方程和邊界條件的線性獨(dú)立的特解，由于方程和邊界條件都是線性齊次的，本征振動(dòng)的線性

11、疊加 （3.5）仍然滿足方程和邊界條件，這就是一般解，其中為任意常數(shù)，由初始條件確定， （3.6）至此，定解問(wèn)題已解決。3.2弦的受迫振動(dòng) 若受外力作用的受迫振動(dòng)6，其泛定方程為 （3.7）為了研究方便設(shè)弦的初位移、初速度均為零，只受外力的擾動(dòng)，定解條件為 （3.8）由（3.7）表明，作用在每單位長(zhǎng)弦上的外力為 （3.9）根據(jù)疊加原理，把持續(xù)作用力看成許許多多前后相繼的“瞬時(shí)”力的疊加，從時(shí)刻零持續(xù)作用到時(shí)刻t的振動(dòng)，就等于“瞬時(shí)”力引起的振動(dòng)的疊加，每個(gè)“瞬時(shí)”力作用時(shí)間為，作用在x點(diǎn)的沖量為，可用函數(shù)表示“瞬時(shí)”力為，那么我們就得到則（3.7），（3.8），（3.9）的定解問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為（3

12、.10）的定解問(wèn)題可以這樣求出，“瞬時(shí)”力在時(shí)刻（比略大的時(shí)刻）以后不起作用，這樣，“瞬時(shí)”力的作用只視為使系統(tǒng)帶有一個(gè)沖量，這個(gè)沖量使系統(tǒng)初速度不再為零，定解問(wèn)題為： （3.11）原定解問(wèn)題已化為齊次方程可用分離變量法或傅立葉級(jí)數(shù)法求解。這種方法用到?jīng)_量定理所以又叫沖量定理法。若初始條件不為零，可利用疊加原理，把u分解為之和，其中的初始條件是非零值，但方程是其次的，可用分離變量法求解；的方程是非齊次的，但初始條件為零值，可用沖量定理法求解。求解拉普拉斯6方程時(shí)，利用分離變量法把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程，自變量各自分離開(kāi)來(lái)，另代入齊次邊界條件把其轉(zhuǎn)化為常微分方程的附加條件，這些條件和相應(yīng)

13、的常微分方程構(gòu)成本征問(wèn)題，求得線性獨(dú)立的特解。所求確定解為本征特解的疊加，最后利用初始條件確定疊加系數(shù)。求解泊松方程時(shí)，可任取方程的一個(gè)特解v，然后令u=v+w，這就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解w,而這不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。4疊加原理在光學(xué)中的運(yùn)用光的波動(dòng)滿足的方程波動(dòng)方程是線性方程，因此光波也遵從疊加原理，當(dāng)幾個(gè)波相遇時(shí),在相遇處的總位移是它們各自獨(dú)立在該處所產(chǎn)生的位移的矢量和。兩個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程線性疊加也是一個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程,疊加以后有些區(qū)域振動(dòng)加強(qiáng),有些區(qū)域振動(dòng)減弱,利用光波疊加原理可在理論上解釋光的干涉、衍射現(xiàn)象1，驗(yàn)證單色波疊加所形成干涉圖樣等。s1s2 。p圖4.1 波的干涉用波的疊

14、加原理說(shuō)明波的干涉現(xiàn)象如圖所示：有兩個(gè)相干波源，位于和點(diǎn)，發(fā)出的波在空間任一點(diǎn)p相遇時(shí)，p點(diǎn)上的質(zhì)元振動(dòng)可由波的疊加原理來(lái)計(jì)算這兩列波到達(dá)p點(diǎn)時(shí)的振幅分別變?yōu)?，則p點(diǎn)參與的兩個(gè)同方向、同頻率的分振動(dòng)分別為 (4.1) (4.2)u為波速由同方向、同頻率振動(dòng)的疊加可得p點(diǎn)的合振動(dòng)為 (4.3) (4.4) (4.5)、為兩列相干波在p點(diǎn)引起的兩個(gè)分振動(dòng)的振幅為定植，故p點(diǎn)的合振動(dòng)振幅a只取決于兩個(gè)分振動(dòng)的相位差，即 (4.6)其中，和是恒定的，所以為一恒量這就表明，每一點(diǎn)的合振幅a亦是恒量，其量值則取決于該點(diǎn)在空間的位置(由確定)。若 (4.7)則該點(diǎn)合成振動(dòng)的合振幅最大,，即干涉加強(qiáng)；若 (4

15、.8)則該點(diǎn)合振動(dòng)的合振幅最小， ，即干涉減弱5疊加原理在量子力學(xué)中的應(yīng)用在量子力學(xué)中用態(tài)函數(shù)7描寫一個(gè)物理系統(tǒng)的狀態(tài)，基本運(yùn)動(dòng)方程薛定謬方程是齊次的線性微分方程,具有疊加性。即態(tài)疊加原理8：態(tài)可以表示為兩個(gè)態(tài)的線性疊加，即 （5.1） 其中為復(fù)數(shù)。這時(shí)態(tài)疊加原理表述如下：當(dāng)是體系的可能狀態(tài)時(shí)，它們的線性疊加也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)；也就是說(shuō)，當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，體系部分地處于態(tài)中。確定的運(yùn)動(dòng)條件得到不確定的測(cè)量結(jié)果，而得到每一測(cè)量結(jié)果的幾率又是確定的，疊加原理正是這一特征的高度概括和反應(yīng)。通過(guò)量子力學(xué)中關(guān)于狀態(tài)的態(tài)疊加原理可驗(yàn)證微觀粒子的波動(dòng)性8。pds2s1s電子源a圖5.1 電子的雙窄縫衍射b

16、d粒子的雙狹縫衍射實(shí)驗(yàn)，以、分別表示粒子穿過(guò)上下面狹縫到達(dá)屏 b 的狀態(tài),用表示粒子穿過(guò)兩個(gè)狹縫到達(dá)屏b 的狀態(tài),可以寫寫成線性疊加,即 ( 為復(fù)數(shù))據(jù)疊加原理,粒子在屏 b 上一點(diǎn) p出現(xiàn)的幾率密度是: （5.2）上式右邊第一項(xiàng)是粒子穿過(guò)上狹縫出現(xiàn)在p 點(diǎn)的幾率密度,第二項(xiàng)是粒子穿過(guò)下狹縫出現(xiàn)在p 點(diǎn)的幾率密度,第三、第四項(xiàng)是和 的干涉項(xiàng)。衍射圖樣的產(chǎn)生證明了干涉項(xiàng)的存在。6疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如上述物理學(xué)中的許多現(xiàn)象都遵從疊加原理,而這些現(xiàn)象大都分別滿足下列的常微分或偏微分方程，且這些微分方程都是線性微分方程9，因此可推斷具有疊加性的物理現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型都應(yīng)是線性方程，也就是只有描述的系統(tǒng)

17、是線性系統(tǒng)，才可以用疊加原理分析討論。大量的物理事實(shí)驗(yàn)證了這一推論的正確性。從數(shù)學(xué)理論10來(lái)看,數(shù)學(xué)問(wèn)題的線性性質(zhì)正是相應(yīng)物理現(xiàn)象服從疊加原理這一事實(shí)的反映,也就是線性微分方程的解應(yīng)具有疊加形式的解。（1）電磁場(chǎng)方程由麥克斯韋方程組知：（其中為自由電荷體密度） （6.1） （6.2）又因?yàn)閯t電勢(shì)滿足泊松方程 （6.3）若在沒(méi)有自由電荷的地方，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程 （6.4）可見(jiàn)（6.1）、（6.2）式為一階線性偏微分方程，（6.3）、（6.4）式為二階線性偏微分方程，即靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型是線性的。（2）線性電路方程如圖2.1的直流線性電路，由電路分析的基本定律基爾霍夫定律列出的方程是線性

18、代數(shù)方程，若為交流動(dòng)態(tài)涉及儲(chǔ)能元件c、l的電路，由基爾霍夫定律列出的方程是一階線性常微分方程，如最簡(jiǎn)單的rc串聯(lián)電路的放電過(guò)程，如圖6.1， uc-u0icrb-+s+a圖6.1 rc串聯(lián)電路列出的方程： （6.5） 為一階線性常微分方程。 （3）波動(dòng)方程具有波動(dòng)特征的物理系統(tǒng)滿足的方程為（有外力作用） （6.6）（無(wú)外力作用） （6.7）像弦的橫振動(dòng)、桿的縱振動(dòng)、膜的振動(dòng)等等都滿足上面的二價(jià)偏微分方程。（4）薛定諤方程量子力學(xué)中用態(tài)函數(shù)描述一個(gè)物理系統(tǒng)，滿足的方程是薛定諤方程： （6.8）為齊次線性偏微分方程。可以把（6.1）（6.8）式寫為統(tǒng)一形式 （6.9）其中微分算子l是線性算子，y是

19、一個(gè)未知的函數(shù)，等式的右面是一個(gè)給定的函數(shù)。l是線性的條件，排除了諸如把y的導(dǎo)數(shù)平方那樣的運(yùn)算；但允許取y的二階導(dǎo)數(shù)。因此，線性微分方程的一般形式10是 (6.10)如果，那么方程便稱為齊次線性微分方程，它的解稱為補(bǔ)函數(shù)。這是一種很重要的方程，因?yàn)樵诮夥驱R次方程時(shí)，把對(duì)應(yīng)的齊次方程的補(bǔ)函數(shù)加上非齊次方程本身的一個(gè)特解，便可以得到非齊次方程的另外一個(gè)解。如果是常數(shù)，那么方程便稱為常系數(shù)線性微分方程。7結(jié)束語(yǔ)以上的討論,都是疊加原理在不同問(wèn)題上的應(yīng)用。但是在應(yīng)用疊加原理分析問(wèn)題時(shí), 必須考慮描寫物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的微分方程是否是線性方程, 因?yàn)榀B加原理只能用于描寫物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的微分方程是線性方程的情況,如果不是

20、線性方程,則不能用疊加原理進(jìn)行分析計(jì)算。上面電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算、磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算、電路分析、數(shù)理方法中弦的振動(dòng)的求解和光的波動(dòng)特點(diǎn)的描述,以及量子力學(xué)中態(tài)疊加原理及相關(guān)問(wèn)題的討論計(jì)算等等之所以能應(yīng)用疊加原理分析計(jì)算，正是因?yàn)槠浠具\(yùn)動(dòng)方程都是線性的，而物理學(xué)中的許多定律、公式、多屬于線性方程,因而疊加原理在物理學(xué)有極為廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)1邱方,李艷芳.疊加原理在物理學(xué)中的應(yīng)用例析j.南昌高專學(xué)報(bào),2000,(4):52-54 .2鄭民偉.均勻帶電半圓環(huán)的電場(chǎng)和電勢(shì)j.廣州航海高等專科學(xué)?；A(chǔ)部,2001,16(1)：66-69.3何紅雨.載流圓弧導(dǎo)線圓心處磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算j.廣西右江

21、民族師范專科學(xué)校1999,20(1):22-23.4唐小愚.疊加原理在含受控源的線性電路中的應(yīng)用j.貴州工業(yè)學(xué),2000,18(1):88-89.5孫維興.關(guān)于疊加原理的思考j.電工教學(xué),1994,16(03):67-68.6梁昆淼,劉法,繆國(guó)慶.數(shù)學(xué)物理方法m.北京:高等教育出版社,180221.7關(guān)洪.關(guān)于量子力學(xué)中態(tài)疊加原理的討論j.中山大學(xué)物理系2007,26(1):7-9.8周世勛.量子力學(xué)教程m.北京:高等教育出版社,1979.9馬秀艷,韓國(guó)松.疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其在物理上的應(yīng)用j.安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(5):24-26.10同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)m.北京:高等教育出版社,2007,294-341.the application of superposition in physics,abstract：the principle of superposition is one basic principles in physics, which is widely used in the physics research and play a vital role .but the principle of superposition is not a universal principle,