疊加原理在物理學(xué)中的應(yīng)用

1、畢業(yè)論文（設(shè)計）目 錄引言11疊加原理在電磁學(xué)中的應(yīng)用11.1電場強度的分析計算11.2磁感應(yīng)強度的分析計算31.3疊加原理的應(yīng)用技巧42根據(jù)疊加原理計算線性電路的電流電壓53疊加原理在數(shù)學(xué)物理問題中的應(yīng)用73.1弦的自由振動73.2弦的受迫振動74疊加原理在波動光學(xué)中的運用85疊加原理在量子力學(xué)中的應(yīng)用96疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10結(jié)束語11參考文獻：11英文摘要.12致謝12疊加原理在物理學(xué)中的應(yīng)用 摘 要：疊加原理是物理學(xué)中的基本原理之一,對物理學(xué)的研究起著極其重要的作用。但在物理學(xué)中疊加原理并不是一條普遍的原理,只有當(dāng)描寫物質(zhì)運動的微分方程是線性方程時,才可應(yīng)用疊加原理進行分析計算。本文列

2、舉疊加原理在電場中電場強度的計算、磁場中磁感應(yīng)強度的計算、數(shù)學(xué)物理問題的求解、電路分析和光的波動特點的描述,以及量子力學(xué)態(tài)疊加原理及相關(guān)問題的討論計算等等,最后對疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及適用范圍予以討論，從而加深對疊加原理在應(yīng)用方面的思維方法與靈活技巧的理解。關(guān)鍵詞：疊加原理；應(yīng)用；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；線性方程引言所謂疊加原理是指：幾種不同原因綜合所產(chǎn)生的總效果，等于這些不同原因單獨存在時產(chǎn)生效果的總和1。自然界中有許多現(xiàn)象尤其是物理現(xiàn)象具有明顯的疊加性，在解決與這些現(xiàn)象的有關(guān)實際問題時應(yīng)用疊加原理會使問題易于解決，同時疊加原理為解決這些問題提供了簡便方法。本文在總結(jié)分析疊加原理在電磁學(xué)、電路分析、數(shù)學(xué)物理

3、問題、波動光學(xué)及量子力學(xué)中應(yīng)用的基礎(chǔ)上，對疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及適用范圍予以討論，從而加深對疊加原理的認(rèn)識理解，以便今后更好的加以應(yīng)用。1疊加原理在電磁學(xué)中的應(yīng)用電場中的電場力、電場強度、電勢、介質(zhì)極化強度、電位移矢量，磁場中的磁場力、磁感應(yīng)強度、磁場強度等等物理量的分析計算都可應(yīng)用疊加原理使問題簡化1。若所求量為標(biāo)量則直接相加減，若為矢量其疊加則服從平行四邊形定則。通常利用對稱性將矢量分解在兩個相互垂直的方向上，化矢量疊加為標(biāo)量疊加簡化計算，當(dāng)其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消時，就轉(zhuǎn)化為一個方向的標(biāo)量疊加。1.1電場強度的分析計算大家熟知，一個半徑為r，帶電量為q的均勻帶電圓環(huán)2，可

4、以看成許許多多線元的疊加，而任一線元在軸線上一點產(chǎn)生的電場強度為一矢量，方向沿徑向（），根據(jù)其電場的對稱性分析知場強只有沿軸向分量，因而將矢量疊加退化成標(biāo)量疊加，由電荷的場強公式疊加求積分得軸線上一點的場強為 (1.1)若求軸線上一點電勢則可直接將點電荷電勢公式求積分而得 (1.2)我們在應(yīng)用疊加原理解決電場、磁場問題時，要注重思維的發(fā)散性，方法的靈活性，體現(xiàn)疊加的靈魂與思想。如用上述方法求得均勻帶電的圓弧在其中心點產(chǎn)生的電場強度為 (1.3) yeeeexeyxooyxe(a)0a(b)0a(c)0a圖1.1 疊加原理應(yīng)用的靈活性其中為電荷線密度，如圖所示：則均勻帶電半圓環(huán)y軸分量相互抵消，

5、中心點的；均勻帶電圓環(huán)為零，由公式（1.1）令z=0同樣得。若把均勻帶電圓盤看成是一個個細(xì)圓環(huán)的疊加，則由公式（1.1）積分得圓盤軸線上一點的場強為 (1.4)若許許多多這樣的圓盤疊加起來可以組成一個均勻帶電球體，亦可求積分得其產(chǎn)生的場的分布。廣而推之這樣的疊加思想可以用下面的積分公式統(tǒng)一表示， （1.5）1.2磁感應(yīng)強度的分析計算zxroiy圖1.2 載流導(dǎo)線的磁感應(yīng)強度無窮長導(dǎo)線載有電流i，在中間彎成一半徑為r的半圓弧，其余部分則與圓的軸線平行，如圖所示，圓弧中心o的磁感應(yīng)強度等于兩半無窮長直線與半圓電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度3的疊加。根據(jù)biot-savart定律和對稱性，兩段直線電流

6、在o點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小相等，方向相同，都沿圖中z軸方向。每一段所產(chǎn)生的b1大小為 （1.6）半圓電流在o點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度b2方向沿x軸負(fù)方向。其大小為 （1.7）于是得所求的磁感應(yīng)強度為 （1.8）b與x軸的夾角為 （1.9）類似的問題有許多，我們不再重復(fù)，而疊加原理作為一種基本方法其在應(yīng)用中的簡潔性、技巧性同樣值得我們深刻靈活的加以理解應(yīng)用。1.3疊加原理的應(yīng)用技巧電偶極矩為的電偶極子，在空間任一點產(chǎn)生電場強度的計算，若在球坐標(biāo)下由點電荷場強公式與疊加原理去計算，數(shù)學(xué)化解過程相當(dāng)復(fù)雜，用到的數(shù)學(xué)知識也有一定的難度，但若將原來電偶極子在p點產(chǎn)生的電場強度，看成是兩個相互垂直的電偶極子（電

7、偶極矩分別為和）在p產(chǎn)生的電場強度和的疊加，則可極大的簡化計算過程降低計算難度。eqp2+q-qp1elpe圖1.3 電偶極子的場強如圖所示，p點到電偶極子中心的距離為r,r與的夾角為,其中 (1.10)這樣就可以利用電偶極子延長線和中垂線上的場強公式進行計算。其中延長線上離電偶極子中心o為r處的電場強度大小為 (1.11)中垂線上離電偶極子中心o為r處的電場強度大小為 (1.12)電偶極矩為的電偶極子在p點產(chǎn)生的電場強度沿r方向上，大小為 (1.13)電偶極矩為的電偶極子在p點產(chǎn)生的電場強度沿垂直r方向上，大小為 (1.14)p點的合成電場強度的大小為 (1.15)的夾角為 (1.16)2根

8、據(jù)疊加原理計算線性電路中的電流電壓求解線性電路時，一般應(yīng)用電路分析的基本定律基爾霍夫定律求解，但對于一些有幾個電源共同作用的線性電路4，應(yīng)用疊加原理求解更易理解且可簡化計算。應(yīng)用疊加原理時，各支路的電流(或電壓)等于各個電源分別單獨作用時在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和(疊加)?？紤]任一獨立源單獨作用下,其它獨立源應(yīng)視為零值,即獨立電壓源用短路代替,獨立電流源用開路代替,而全部受壓源則應(yīng)該保留。應(yīng)用疊加時要注意電流或電壓的參考方向，正確選取各分量的正負(fù)號5。用基爾霍夫定律和疊加性求解電路問題各有其優(yōu)缺點，用基爾霍夫定律求解根據(jù)回路個數(shù)列方程便于求解回路個數(shù)較少的電路，而用疊加原理求解根據(jù)獨

9、立源個數(shù)列方程，對于獨立源較少而回路個數(shù)較多的復(fù)雜電路用疊加原理求解更簡便。若計算如圖2.1所示電路中各支路電流。已知=10v，=6v，=10w，=90，=0.1，=0.2。通常由基爾霍夫方程聯(lián)立求解： （2.1）得各支路電流或電壓，這樣解方程組數(shù)學(xué)運算較復(fù)雜，尤其是對于支路回路數(shù)較多i1r1r2r3r4e1i2i3 +e2 -i1r1r2r3r4e1i2i3i1r1r2r4i2r3i3 +e2 -（a）（b）（c）圖2.1 原電路及電源單獨作用時的電路的復(fù)雜電路就更復(fù)雜了，一旦數(shù)學(xué)計算上出錯，則全盤皆輸。而由疊加原理，和單獨作用時的電路，如圖2.1（b）、（c）所示。根據(jù)圖（b）可由電路歐姆

10、定律求得單獨作用時各支路的電流，即 （2.2）根據(jù)圖（c）可由歐姆定律得由分流公式求得單獨作用時各支路的電流，即 （2.3）由疊加原理得： （2.4） 同理可求得： （2.5）由上述分析可聯(lián)想到對于有較少電源作用的復(fù)雜線性電路只需求某一支路的電流時，應(yīng)用疊加原理及基本電路定律就可便潔地解決問題。3疊加原理在數(shù)學(xué)物理問題中的應(yīng)用3.1弦的自由振動研究兩端固定的均勻弦的自由振動5，即定解問題泛定方程 （3.1） 邊界條件 （3.2）初始條件 （3.3）利用分離變量法令可得，（n=1,2,3,） （3.4）以上是滿足振動方程和邊界條件的線性獨立的特解，由于方程和邊界條件都是線性齊次的，本征振動的線性

11、疊加 （3.5）仍然滿足方程和邊界條件，這就是一般解，其中為任意常數(shù)，由初始條件確定， （3.6）至此，定解問題已解決。3.2弦的受迫振動 若受外力作用的受迫振動6，其泛定方程為 （3.7）為了研究方便設(shè)弦的初位移、初速度均為零，只受外力的擾動，定解條件為 （3.8）由（3.7）表明，作用在每單位長弦上的外力為 （3.9）根據(jù)疊加原理，把持續(xù)作用力看成許許多多前后相繼的“瞬時”力的疊加，從時刻零持續(xù)作用到時刻t的振動，就等于“瞬時”力引起的振動的疊加，每個“瞬時”力作用時間為，作用在x點的沖量為，可用函數(shù)表示“瞬時”力為，那么我們就得到則（3.7），（3.8），（3.9）的定解問題就轉(zhuǎn)化為（3

12、.10）的定解問題可以這樣求出，“瞬時”力在時刻（比略大的時刻）以后不起作用，這樣，“瞬時”力的作用只視為使系統(tǒng)帶有一個沖量，這個沖量使系統(tǒng)初速度不再為零，定解問題為： （3.11）原定解問題已化為齊次方程可用分離變量法或傅立葉級數(shù)法求解。這種方法用到?jīng)_量定理所以又叫沖量定理法。若初始條件不為零，可利用疊加原理，把u分解為之和，其中的初始條件是非零值，但方程是其次的，可用分離變量法求解；的方程是非齊次的，但初始條件為零值，可用沖量定理法求解。求解拉普拉斯6方程時，利用分離變量法把偏微分方程分解為幾個常微分方程，自變量各自分離開來，另代入齊次邊界條件把其轉(zhuǎn)化為常微分方程的附加條件，這些條件和相應(yīng)

13、的常微分方程構(gòu)成本征問題，求得線性獨立的特解。所求確定解為本征特解的疊加，最后利用初始條件確定疊加系數(shù)。求解泊松方程時，可任取方程的一個特解v，然后令u=v+w，這就把問題轉(zhuǎn)化成求解w,而這不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。4疊加原理在光學(xué)中的運用光的波動滿足的方程波動方程是線性方程，因此光波也遵從疊加原理，當(dāng)幾個波相遇時,在相遇處的總位移是它們各自獨立在該處所產(chǎn)生的位移的矢量和。兩個可能的波動過程線性疊加也是一個可能的波動過程,疊加以后有些區(qū)域振動加強,有些區(qū)域振動減弱,利用光波疊加原理可在理論上解釋光的干涉、衍射現(xiàn)象1，驗證單色波疊加所形成干涉圖樣等。s1s2 。p圖4.1 波的干涉用波的疊

14、加原理說明波的干涉現(xiàn)象如圖所示：有兩個相干波源，位于和點，發(fā)出的波在空間任一點p相遇時，p點上的質(zhì)元振動可由波的疊加原理來計算這兩列波到達(dá)p點時的振幅分別變?yōu)?，則p點參與的兩個同方向、同頻率的分振動分別為 (4.1) (4.2)u為波速由同方向、同頻率振動的疊加可得p點的合振動為 (4.3) (4.4) (4.5)、為兩列相干波在p點引起的兩個分振動的振幅為定植，故p點的合振動振幅a只取決于兩個分振動的相位差，即 (4.6)其中，和是恒定的，所以為一恒量這就表明，每一點的合振幅a亦是恒量，其量值則取決于該點在空間的位置(由確定)。若 (4.7)則該點合成振動的合振幅最大,，即干涉加強；若 (4

15、.8)則該點合振動的合振幅最小， ，即干涉減弱5疊加原理在量子力學(xué)中的應(yīng)用在量子力學(xué)中用態(tài)函數(shù)7描寫一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)，基本運動方程薛定謬方程是齊次的線性微分方程,具有疊加性。即態(tài)疊加原理8：態(tài)可以表示為兩個態(tài)的線性疊加，即 （5.1） 其中為復(fù)數(shù)。這時態(tài)疊加原理表述如下：當(dāng)是體系的可能狀態(tài)時，它們的線性疊加也是體系的一個可能狀態(tài)；也就是說，當(dāng)體系處于態(tài)時，體系部分地處于態(tài)中。確定的運動條件得到不確定的測量結(jié)果，而得到每一測量結(jié)果的幾率又是確定的，疊加原理正是這一特征的高度概括和反應(yīng)。通過量子力學(xué)中關(guān)于狀態(tài)的態(tài)疊加原理可驗證微觀粒子的波動性8。pds2s1s電子源a圖5.1 電子的雙窄縫衍射b

16、d粒子的雙狹縫衍射實驗，以、分別表示粒子穿過上下面狹縫到達(dá)屏 b 的狀態(tài),用表示粒子穿過兩個狹縫到達(dá)屏b 的狀態(tài),可以寫寫成線性疊加,即 ( 為復(fù)數(shù))據(jù)疊加原理,粒子在屏 b 上一點 p出現(xiàn)的幾率密度是: （5.2）上式右邊第一項是粒子穿過上狹縫出現(xiàn)在p 點的幾率密度,第二項是粒子穿過下狹縫出現(xiàn)在p 點的幾率密度,第三、第四項是和 的干涉項。衍射圖樣的產(chǎn)生證明了干涉項的存在。6疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如上述物理學(xué)中的許多現(xiàn)象都遵從疊加原理,而這些現(xiàn)象大都分別滿足下列的常微分或偏微分方程，且這些微分方程都是線性微分方程9，因此可推斷具有疊加性的物理現(xiàn)象對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型都應(yīng)是線性方程，也就是只有描述的系統(tǒng)

17、是線性系統(tǒng)，才可以用疊加原理分析討論。大量的物理事實驗證了這一推論的正確性。從數(shù)學(xué)理論10來看,數(shù)學(xué)問題的線性性質(zhì)正是相應(yīng)物理現(xiàn)象服從疊加原理這一事實的反映,也就是線性微分方程的解應(yīng)具有疊加形式的解。（1）電磁場方程由麥克斯韋方程組知：（其中為自由電荷體密度） （6.1） （6.2）又因為則電勢滿足泊松方程 （6.3）若在沒有自由電荷的地方，電勢滿足拉普拉斯方程 （6.4）可見（6.1）、（6.2）式為一階線性偏微分方程，（6.3）、（6.4）式為二階線性偏微分方程，即靜電場、靜磁場的數(shù)學(xué)模型是線性的。（2）線性電路方程如圖2.1的直流線性電路，由電路分析的基本定律基爾霍夫定律列出的方程是線性

18、代數(shù)方程，若為交流動態(tài)涉及儲能元件c、l的電路，由基爾霍夫定律列出的方程是一階線性常微分方程，如最簡單的rc串聯(lián)電路的放電過程，如圖6.1， uc-u0icrb-+s+a圖6.1 rc串聯(lián)電路列出的方程： （6.5） 為一階線性常微分方程。 （3）波動方程具有波動特征的物理系統(tǒng)滿足的方程為（有外力作用） （6.6）（無外力作用） （6.7）像弦的橫振動、桿的縱振動、膜的振動等等都滿足上面的二價偏微分方程。（4）薛定諤方程量子力學(xué)中用態(tài)函數(shù)描述一個物理系統(tǒng)，滿足的方程是薛定諤方程： （6.8）為齊次線性偏微分方程?？梢园眩?.1）（6.8）式寫為統(tǒng)一形式 （6.9）其中微分算子l是線性算子，y是

19、一個未知的函數(shù)，等式的右面是一個給定的函數(shù)。l是線性的條件，排除了諸如把y的導(dǎo)數(shù)平方那樣的運算；但允許取y的二階導(dǎo)數(shù)。因此，線性微分方程的一般形式10是 (6.10)如果，那么方程便稱為齊次線性微分方程，它的解稱為補函數(shù)。這是一種很重要的方程，因為在解非齊次方程時，把對應(yīng)的齊次方程的補函數(shù)加上非齊次方程本身的一個特解，便可以得到非齊次方程的另外一個解。如果是常數(shù)，那么方程便稱為常系數(shù)線性微分方程。7結(jié)束語以上的討論,都是疊加原理在不同問題上的應(yīng)用。但是在應(yīng)用疊加原理分析問題時, 必須考慮描寫物質(zhì)運動的微分方程是否是線性方程, 因為疊加原理只能用于描寫物質(zhì)運動的微分方程是線性方程的情況,如果不是

20、線性方程,則不能用疊加原理進行分析計算。上面電場中電場強度的計算、磁場中磁感應(yīng)強度的計算、電路分析、數(shù)理方法中弦的振動的求解和光的波動特點的描述,以及量子力學(xué)中態(tài)疊加原理及相關(guān)問題的討論計算等等之所以能應(yīng)用疊加原理分析計算，正是因為其基本運動方程都是線性的，而物理學(xué)中的許多定律、公式、多屬于線性方程,因而疊加原理在物理學(xué)有極為廣泛的應(yīng)用。參考文獻1邱方,李艷芳.疊加原理在物理學(xué)中的應(yīng)用例析j.南昌高專學(xué)報,2000,(4):52-54 .2鄭民偉.均勻帶電半圓環(huán)的電場和電勢j.廣州航海高等專科學(xué)校基礎(chǔ)部,2001,16(1)：66-69.3何紅雨.載流圓弧導(dǎo)線圓心處磁感應(yīng)強度的計算j.廣西右江

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