湖南省衡陽市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考（二模）試 理科數(shù)學(xué)試題及答

1、湖南省衡陽市2016屆高中畢業(yè)班聯(lián)考（二）理科數(shù)學(xué)第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）a b c d2. 復(fù)數(shù)的虛部是（ ）a b c d3. （ ）a b c d14.給出下列三個(gè)命題：(1)“若，則”為假命題；(2)命題：，則；（3）“=”是“函數(shù)y = sin(2x+)為偶函數(shù)”的充要條件；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）a. 0 b. 1 c. 2 d. 35.已知函數(shù)與，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值為（ ）a b c d6.下圖是計(jì)算500名學(xué)生畢業(yè)測試成績（滿分為100分）

2、及格率的程序框圖，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（ ）a b c d7.我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和（），則是的更為精確的不足近似值或過剩近似值，我們知道，若令，則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第三次用“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為（ ）a b c d8. 已知變量滿足，則的取值范圍是（ ）a b c d9.某幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面與底面面積之比為：（ ）a b c d10.如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)為

3、雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）a b c d11.如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯誤的是（ ）a動點(diǎn)在平面上的射影在線段上b異面直線與不可能垂直c三棱錐的體積有最大值d恒有平面平面12.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程，若函數(shù)滿足(其中為函數(shù)的定義域)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，若函數(shù)在上存在一個(gè)“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，則的取值范圍為（ ）a b c d第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則 .14.二項(xiàng)式的展開式中，與項(xiàng)的系數(shù)之和是 （用數(shù)字作答）.

4、15.下側(cè)莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵樹，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的植樹總棵樹為20棵的概率是 .16.在中，則，設(shè)為內(nèi)部及其邊界上任意一點(diǎn)，若，則的最大值為 . 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.18. （本小題滿分12分）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)

5、行解答.選題情況如下表：（單位：人）幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過多次測試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5至7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6至8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率.（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為,求得分布列及數(shù)學(xué)期望.附：. 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819. （本小題滿分12分）

6、如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)若二面角為30，設(shè)，試確定的值.20. （本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且在之間，試求與面積之比的取值范圍.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)滿足的圖象與直線相切于點(diǎn)（0,1）.(1)求的解析式；(2)對任意，定義.證明：對任意，均有.請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖所

7、示， 是的一條弦，延長到點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作且，連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn).(1)求證：四點(diǎn)共圓；(2)若，求.23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講已知在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，求它到直線的距離的取值范圍.24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).(1)若不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且，判斷與的大小，并說明理由.2016年衡陽市第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題1【答案】c

8、【解析】：解不等式，集合其值域?yàn)?，所?【答案】b【解析】，所以復(fù)數(shù)的虛部是3【答案】c【解析】4【答案】c【解析】（1）命題“若，則”是真命題，所以其逆否命題亦為真命題，因此（1）不正確；（2）根據(jù)含量詞的命題否定方式，可知命題(2)正確（3）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)）為偶函數(shù)；反之也成立故“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；綜上可知：真命題的個(gè)數(shù)25【答案】b【解析】：由題意，把四個(gè)選擇支的值代入此式，只有a適合故選a6【答案】d【解析】：由程序框圖可知，為及格的人數(shù)，為不及格人數(shù)，所以及格率，故選d.7.【答案】b【解析】：由調(diào)日法運(yùn)算方法可知，第二次用調(diào)日法后得是更為精確的不足近似值，即，故第三次調(diào)

9、日法后得到為的近似分?jǐn)?shù)。故選b8【答案】a【解析】：根據(jù)題意作出不等式組所表示的可行域如下圖陰影部分所示，即的邊界及其內(nèi)部，又因?yàn)?，而表示可行域?nèi)一點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，根據(jù)原不等式組解得，所以 故選a9【答案】d【解析】：由三視圖可知：該幾何體是高為4的四棱錐，由此可計(jì)算得最小面積為2，底面積為5，比值為故選d10【答案】a【解析】：在中，故選a11【答案】b【解析】：依題意可知四邊形為菱形，對角線與互相垂直平分，故a正確，在旋轉(zhuǎn)過程中始終垂直和，故，所以恒有平面平面，故d正確當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，故正確因?yàn)?，故異面直線與所成的角為，旋轉(zhuǎn)過程中有可能為直角，故b選項(xiàng)錯誤答案選擇

10、b。記顯然；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以因此，當(dāng)時(shí)；當(dāng)當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)函數(shù)在上不存在“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”。排除選項(xiàng)a、b、c，故選d。(本題也可以利用二階導(dǎo)函數(shù)為0，求解：，顯然只有當(dāng)時(shí)有解，其解就為“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”橫坐標(biāo)，故，由題意，所以，故。故選d)二、填空題13【答案】【解析】：設(shè)冪函數(shù)為將點(diǎn)（9，3）代入可得所以故14【答案】【解析】：的展開式的通項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，可得的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，可得的系數(shù)為所以與的系數(shù)之和是15【答案】【解析】：記甲組四名同學(xué)為，他們植樹的棵樹依次為9，9，11，11：乙組四名同學(xué)為，他們植樹的棵樹依次為9，8，9，10，分別從甲，乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個(gè)

11、，它們是（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）設(shè)選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為20為事件c，則c中的結(jié)果有4個(gè)，它們是（，）（，）（，）（，），故所求概率為16.【答案】【解析】：過點(diǎn)p作bc的平行線交ab、ac于點(diǎn)m、n，設(shè)則有設(shè)則有，由得，的最大值為三、解答題17.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得： 1分由 3分-，得： 4分所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得： 5分（2） 7分 9分 12分18【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)）3分（2）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為分鐘，則基本

12、事件滿足的區(qū)域?yàn)椋ㄈ鐖D所示） 設(shè)事件為“乙比甲先做完此道題” 則滿足的區(qū)域?yàn)?5分由幾何概型 即乙比甲先解答完的概率為 7分（3）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個(gè)人被抽到有種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種可能取值為， ， 10分 的分布列為： x012p 12分19.【解析】解：（1）證法一：adbc，bc=ad，q為ad的中點(diǎn)，四邊形bcdq為平行四邊形，cdbq adc=90，aqb=90，即qbad 又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad，bq平面pad bq平面pqb，平面pqb平面pad 6分證法二：adb

13、c，bc=ad，q為ad的中點(diǎn)，四邊形bcdq為平行四邊形，cdbq adc=90aqb=90，即qbad pa=pd，pqad pqbq=q ， ad平面pbq ad平面pad，平面pqb平面pad 6分（2）法一：pa=pd，q為ad的中點(diǎn)，pqad面pad面abcd，且面pad面abcd=ad，pq面abcd如圖，以q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則平面bqc的法向量為；，設(shè)，則， ,，在平面mbq中，平面mbq法向量為.二面角為30，得12分法二：過點(diǎn)作/交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槊?所以面，由三垂線定理知，則為二面角的平面角。 （沒有證明扣2分）設(shè)，則，且三線都共面，所以/， 在中，

14、解得 12分20.【解析】（1）依題意知，設(shè).由拋物線定義得 ，即. 1分將代人拋物線方程得， 2分進(jìn)而由及，解得.故橢圓的方程為. 5分（2）依題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為代人，整理得 由，解得. 7分設(shè),則 8分令，則且. 9分將代人得 ，消去得，即. 10分由得，所以且, 解得或. 又，故與面積之比的取值范圍為. 12分21【解析】（1）因?yàn)榈膱D像過點(diǎn)，即，所以。故且 又，由，即， 由可得4分（2）的定義域?yàn)?，且在上為增函?shù)而在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)在上為減函數(shù)，猜想在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，5分用數(shù)學(xué)歸納法證明在上為增函數(shù)如下：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)假設(shè)當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)=由假設(shè)可知在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)。所以命題對于時(shí)也成立。故對于任意自然數(shù)，在上為增函數(shù)同理可證在上為減函數(shù) 8分當(dāng)時(shí)在上為增函數(shù)。，又由當(dāng)時(shí)由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上也為增函數(shù)。類似：由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上也為增函數(shù)。10分所以當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)在上為增函數(shù)所以對任意當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)在上也為增函數(shù)所以對任意綜上所述：對任意12分22【解析】(1)證明：如圖所示，因?yàn)閏a與圓o交于點(diǎn)b，ce與圓o交于點(diǎn)