《矩陣分析》(第3版)史榮昌,魏豐第五章課后習(xí)題答案

1、第五章 范數(shù)、序列、級(jí)數(shù)（詳解）5-1 解：需要驗(yàn)證給出的公式滿(mǎn)足矩陣范數(shù)的四個(gè)性質(zhì)。非負(fù)性與齊次性容易驗(yàn)證，先證三角不等式。若，則最后證矩陣乘法的相容性。若，則因此所給計(jì)算公式的確是矩陣范數(shù)。5-2 解：因?yàn)楦鶕?jù)不等式于是5-3 解：取，設(shè)，則范數(shù)是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要概念，在許多方面有廣泛應(yīng)用。5-4 解：，故發(fā)散。的特征值，故收斂，且。由于，故收斂，且由于，收斂，且5-5 解：由于,所以有三個(gè)不同特征值。且可以相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣，使得，于是5-6 解：由于，所以有三個(gè)特征值。又為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，于是一定存在可逆矩陣使得顯然。那么從而5-7 解：因?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂半徑為1，而，故矩陣冪級(jí)數(shù)絕

2、對(duì)收斂。5-8 解：因。故。由定理知所求矩陣冪級(jí)數(shù)的和是。因此于是5-9 解：首先求得，即有兩個(gè)特征值于是的譜半徑。而冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，所以只能用定義來(lái)驗(yàn)證其斂散性。求出矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及可逆矩陣且使得，對(duì)于矩陣冪級(jí)數(shù) 容易看出上式右端只有數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是發(fā)散的，盡管其余位置的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，也導(dǎo)致此矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散。對(duì)于矩陣冪級(jí)數(shù)由于冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為。只能用定義來(lái)判斷，即容易看出上面的矩陣序列中四個(gè)位置元素所構(gòu)成的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)均收斂，從而矩陣冪級(jí)數(shù)也收斂。5-10 解：（1）根據(jù)題意得由于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，故此矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）根據(jù)題意得由于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，都收斂，故此矩陣冪級(jí)數(shù)收斂（不是絕對(duì)收斂）。（3）根據(jù)題意的由于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。故此矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）根據(jù)題意得 由于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，都收斂，故此矩陣冪級(jí)數(shù)收斂（不是絕對(duì)收斂）。5-11 解：（1）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，又。所以的特征值為，從而的譜半徑。于是矩陣冪級(jí)數(shù)收斂。（2）由于。所以，從而所以5-12 證明：有定義可知5-13 證明：有定義可知5-