[數(shù)學(xué)精品論文]漫談數(shù)學(xué)開放題

1、漫談數(shù)學(xué)開放題 開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，它是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新的意識，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計的，學(xué)生在學(xué)習(xí)中缺乏主動參與的過程。那么在教材還沒有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那里來？我認(rèn)為最現(xiàn)實的辦法是讓“封閉”題“開放”。 一、開放意識的形成 學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過渡到社會人、使社會人更好地服務(wù)于社會，由于社會時刻在發(fā)生著變化，因此，一個良好的社會人必需具備適應(yīng)社會變化的能力。讓學(xué)生懂得用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，

2、學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動的、封閉的意識，為了使數(shù)學(xué)適應(yīng)時代的需要，我們選擇了數(shù)學(xué)開放題作為一個切入口，開放題的引入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開放化和個性化，從發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。關(guān)于開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變設(shè)問方式，增強(qiáng)問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問題。近兩年高考題中也出現(xiàn)了開放題的“影子”，如1998年第（19）題：“關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+/3)(xr)，有下列命題：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x

3、2必是的整數(shù)倍；y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-/6):y=f(x)的圖象關(guān)于點（-/6，0）對稱；y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-/6對稱。其中正確的命題是（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）”顯然高中代數(shù)上冊第184頁例4“作函數(shù)y=3sin(2x+/3)的簡圖。”可作為其原型。學(xué)生如果明白這些道理就會產(chǎn)生對問題開放的需求，逐步形成自覺的開放意識。又如2000年理19文20題 函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)取值范圍問題（既有條件開放又有結(jié)論的開放，條件上，對，是選擇，還是選擇？選擇前者則得，以后的道路荊棘叢生，而選擇后者則有，以后的道路一片光明；結(jié)論開放體現(xiàn)在結(jié)論分為兩段，一段上可使函

4、數(shù)單調(diào)，另一段上不單調(diào)，且證明不單調(diào)的方法是尋找反例）；從數(shù)學(xué)考試中引進(jìn)一定的結(jié)合現(xiàn)實背景的問題和開放性問題，已引起了廣大數(shù)學(xué)教育工作者的極大關(guān)注，開放題的研究已成為數(shù)學(xué)教育的一個熱點。 二、開放問題的構(gòu)建 有了開放的意識，加上方法指導(dǎo)，開放才會成為可能。開放問題的構(gòu)建主要從兩個方面進(jìn)行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式： 例1已知,并且求證（高中代數(shù)下冊第12頁例7）除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考察問題的角度，或同時對目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合

5、，可獲得如下思路：兩點（b,a）、(-m,-m)的連線的斜率大于兩點（b,a）、(0,0)的連線的斜率；b個單位溶液中有a個單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點和坐標(biāo)為1的點處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點時質(zhì)點系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點時質(zhì)點系的重心的左側(cè)等。 例2用實際例子說明所表示的意義給變量賦予不同的內(nèi)涵，就可得出函數(shù)不同的解釋，我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個角度出發(fā)給出實例。1.x表示時間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計時后質(zhì)點以10/s的初速度作勻加速運動，加速度為2m/s2，5秒鐘后質(zhì)點以20/s的速度作勻速運動，10秒鐘后質(zhì)點以-2m/

6、s2的加速度作勻減速運動，直到質(zhì)點運動到20秒末停下。 2.季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來之時，價格呈上升趨勢，設(shè)某服飾開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩(wěn)銷售，10周后當(dāng)季即將過去，平均每周削價2元，直到20周末該服飾不再銷售。 函數(shù)概念的形成，一般是從具體的實例開始的，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時，往往較少考慮實際意義，本題旨在通過學(xué)生根據(jù)自己的知識經(jīng)驗給出函數(shù)的實際解釋，體會到數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解上的開放。例3由圓x2+y2=4上任意一點向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點的軌跡方程。（高中平面解析幾何復(fù)習(xí)參考題二第11題）（答案：

7、x2/4+y2=1） 問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：a、“圓x2+y2=4”；b、“x軸”；c、“線段中點”等。然后對這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。 對a而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件a（大小或形狀或位置）就可使問題向三個方向延伸。 如改變位置，將a寫成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化（取a=0），并進(jìn)行新的組合便有問題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說明理

8、由。 簡解：解方程組得 y=0 或y=2b/3 當(dāng)y=0時，x2+b2=4， （1）若b2，圓與橢圓沒有公共點； （2）若b=2，圓與橢圓恰有一個公共點； （3）若 -2b2，圓與橢圓恰有二個公共點。 當(dāng)y=2b/3時,x2+b2/9=4， （1）若b6，圓與橢圓沒有公共點； （2）若b=6，圓與橢圓恰有一個公共點； （3）若-6b6，圓與橢圓恰有二個公共點。 綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當(dāng)b6時沒有公共點；當(dāng)b=6時恰有一個公共點；當(dāng)-6b-2或b=0或2b6時恰有二個公共點；當(dāng)b=2時恰有三個公共點；當(dāng)-2b0或0b6時，圓x2+(y-b)2=4上的點

9、到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點的最大距離是多少？這個問題的解決是對數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。對b而言，它是一條特殊的直線，通過對其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問題；而c是一種特殊的線段分點，同樣可以使其推廣到一般，若對由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會發(fā)現(xiàn)以往的一些會考、高考試題。三開放問題的探索開放的行為給上面三個簡單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。以下以拋物線的焦點弦問題為例來看開放問題的探索。例4已知拋物線，過焦點f的直線與拋物線相交于a（x1，y1），b（x1，y）兩點，p（x0，y0）是線段ab的中點；拋物線的準(zhǔn)線為l，分別過點a、b、p作x軸的平行線，依次交l于m、n、q，連接fm、fn、fq、aq和bq（如圖）（1） 試盡可能地找出：（a） 點a、b、p的縱、橫6個坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系；（b） 圖中各線段的垂直關(guān)系.（2） 如果允許引輔助線，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？分析與解（1）（a）點a、b、p的6個坐標(biāo)x1，y1；x2，y2；x0，y0之間至少有下列等量關(guān)系： “