高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題1.設(shè)函數(shù)相切于點(diǎn)（1，11）。 （1）求a，b的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性。解：（1）求導(dǎo)得2分 由于相切與點(diǎn)（1，11）， 所以5分 解得6分 （2）由 令 所以當(dāng)是增函數(shù)，8分 當(dāng)也是增函數(shù)；10分 當(dāng)是減函數(shù)。2.已知向量，（其中實(shí)數(shù)和不同時(shí)為零），當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，(1) 求函數(shù)式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，；（且）-2分當(dāng)時(shí)，由.得-4分-5分（2）當(dāng)且時(shí)，由0, 則h(x)=ax+2-=, （2分） 函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間, h(x)0有解, 即不等式ax2+2x-10有x0的解. （3分） 當(dāng)a0的解, 則方程ax2+2x-1=0至少

2、有一個(gè)不重復(fù)正根, 而方程ax2+2x-1=0總有兩個(gè)不相等的根時(shí), 則必定是兩個(gè)不相等的正根. 故只需=4+4a0, 即a-1. 即-1a0 時(shí), y= ax2+2x-1的圖象為開(kāi)口向上的拋物線, ax2+2x-10 一定有x0的解. （6分） 綜上, a的取值范圍是(-1, 0)(0, +) （7分）9. 已知為實(shí)數(shù)， 若在和上都是遞增的，求的取值范圍。解：為開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)的拋物線，由條件知：，即 解得：，所以的取值范圍是10.已知函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程及的單調(diào)區(qū)間； （2）求函數(shù)的極值解：（1）當(dāng)a = -1時(shí)， 函數(shù)在點(diǎn)x = 1處的切線方程為y1= 3（x1），即y

3、 =3x -2 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)，而的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，不存在遞減區(qū)間 （2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+）， 當(dāng)時(shí)，在（0，+）上是增函數(shù)；函數(shù)無(wú)極值 當(dāng)時(shí)，由，得， 由， 當(dāng)時(shí)，有極小值 綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值11.設(shè)求a的值，使的極小值為0；解：（1）令時(shí)，無(wú)極值。（1）當(dāng)?shù)淖兓闆r如下表（一）x（,0）0（0，22a）22a（22a,+ ）0+0極小值極大值此時(shí)應(yīng)有（2）當(dāng)?shù)淖兓闆r如下表（二）x（,22a）22a（22a，0）0（0+ ）0+0極小值極大值此時(shí)應(yīng)有綜上所述，當(dāng)a=0或a=2時(shí)，的極小值為0。12.已知函數(shù)在區(qū)間（1，2

4、上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù).（）試求函數(shù)的解析式；（）當(dāng) x 0時(shí)，討論方程解的個(gè)數(shù).解: （）在恒成立,所以,.又在恒成立,所以 ,. 從而有.故,. （）令, 則所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), 從而當(dāng)時(shí),.所以方程在只有一個(gè)解. 13.已知函數(shù) （）求的極值； （）若函數(shù)的圖象與函數(shù)=1的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（）令2分當(dāng)是增函數(shù)當(dāng)是減函數(shù)（）（i）當(dāng)時(shí)，由（）知上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又當(dāng)時(shí)，所以的圖象在上有公共點(diǎn)，等價(jià)于解得（ii）當(dāng)時(shí)，上是增函數(shù)，所以原問(wèn)題等價(jià)于又無(wú)解14.已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，

5、使=+(t23)，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ；(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況. 解：(1)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0 =0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1

6、)1(1,+ )f(t)+0-0+f(t)極大值極小值當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當(dāng)k或k時(shí),方程f(t)k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=或k=時(shí),方程f(t)k=0有兩解；(3) 當(dāng)k時(shí),方程f(t)k=0有三解. 15.已知函數(shù).（）求的最小值；（）若對(duì)所有都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（）解：的定義域?yàn)椋?. 1分 的導(dǎo)數(shù). . 3分令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. . 5分所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值. . 6分（）解：解法一：令，則， 8分 若，當(dāng)

7、時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即. . 10分 若，方程的根為 ，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾. 綜上，滿(mǎn)足條件的的取值范圍是. . 13分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對(duì)于恒成立 . 8分令， 則. . 10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， . 12分從而的取值范圍是. 16. 已知函數(shù)在是增函數(shù),在(0,1)為減函數(shù).（1）求、的表達(dá)式； (2iii）當(dāng)時(shí),若在內(nèi)恒成立,求的取值范圍.解: （i）依題意,即,.上式恒成立, 1分又,依題意,即,.上式恒成立, 2分由得.3分 4分（2）設(shè),9分在為減函數(shù) 又11分所以：為所求范圍.

8、12分17.已知函數(shù)f(x)=是否存在實(shí)數(shù)a0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：方程即為 等價(jià)于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0 . （8分） 設(shè)h(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在區(qū)間()內(nèi)根的問(wèn)題, 轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)在區(qū)間()內(nèi)的零點(diǎn)問(wèn)題. （9分） h(x)=2ax+(1-2a)-= （10分） 當(dāng)x(0, 1)時(shí), h(x)0, h(x)是增函數(shù)； 若h(x)在()內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn), 只須 （13分）解得, 所以a的取值范圍是(1, ) （14分）18.已知函數(shù)（m、nr，m0）的圖

9、像在（2，）處的切線與x軸平行 （1）求n，m的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間； （2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)關(guān)于x的方程： 恒有實(shí)數(shù)解 （3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a,b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）解：（1）因?yàn)?分由已知2分即當(dāng)3分當(dāng)4分綜上所述：當(dāng)當(dāng)5分 （2）6分可化為令7分則，即又因?yàn)樗?，?分故在區(qū)間內(nèi)必有解，即關(guān)于x的方程恒有實(shí)數(shù)解9分 （3）令10分則符合拉格

10、朗日中值定理的條件，即存在使11分因?yàn)?2分即14分19.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、與點(diǎn)，其中，設(shè)函數(shù)在和處取到極值。（1）用表示；（2） 比較的大?。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校?；（3）若，且過(guò)原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線均相切，求。解：（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、設(shè)拋物線方程，又拋物線過(guò)點(diǎn)，則，得，所以。 3分（2），函數(shù)在和處取到極值， 5分故， 7分又，故。 8分（3）設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率又，所以切線的方程是 9分又切線過(guò)原點(diǎn)，故所以，解得，或。 10分兩條切線的斜率為，由，得，所以，又兩條切線垂直，故，所以上式等號(hào)成立，有，且。所以。 20.如圖所示，a、b為函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，且ab/x軸，點(diǎn)m（1，m）（m3）是abc邊ac的中點(diǎn). （1）設(shè)點(diǎn)b的橫坐標(biāo)為t，abc的面積為s，