正定矩陣的若干應(yīng)用 畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）( 2011屆 )題 目： 正定矩陣的若干應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)理與信息工程學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)教師： 職稱(chēng)： 副教授 合作導(dǎo)師： 職稱(chēng)： 完成時(shí)間： 20 年 月 日 成 績(jī)： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)正文目 錄摘要1英文摘要11 引言21.1 矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展歷史21.2 正定矩陣的發(fā)展與地位32 正定矩陣42.1 正定矩陣的定義42.2 正定矩陣的相關(guān)理論42.2.1 正定矩陣的性質(zhì)42.2.2 正定矩陣的相關(guān)定理72.2.3 正定矩陣的判別方法103 正定矩陣應(yīng)用123.1 正定矩陣的相關(guān)理論推廣123.1.1 廣義正定矩陣123.1.2

2、 準(zhǔn)正定矩陣143.1.3 schur定理與華羅庚定理的推廣163.1.4 ky fan等著名不等式的推廣163.2 正定矩陣在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用173.2.1 二次型理論的應(yīng)用173.2.2 仿射變換19參考文獻(xiàn) 22正定矩陣的若干應(yīng)用 摘要：正定矩陣是矩陣?yán)碚撝械囊活?lèi)重要矩陣, 且在多個(gè)不同領(lǐng)域內(nèi)均有重要作用. 本文回顧了正定矩陣的發(fā)展歷史以及性質(zhì), 主要探討了它的若干應(yīng)用, 其中包含正定矩陣的理論推廣和實(shí)際應(yīng)用等問(wèn)題. 關(guān)鍵詞：正定矩陣；性質(zhì)；理論；推廣；應(yīng)用several applications of positive definite matrixes abstract：positi

3、ve definite matrixes are an important class of matrixes in the matrix theory, which are widely used in different fields. in this paper, we first recall the history of development, then some basic properties of positive definite matrixes, and we mainly discuss several applications of positive definit

4、e matrixes, including the extension and practical applications of positive definite matrixes.key words： positive definite matrix；properties；theories；extend；application1 引言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念, 是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象, 也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. 矩陣?yán)碚撌菙?shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支, 它不僅是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科, 也是最具實(shí)用價(jià)值和廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論, 現(xiàn)已成為處理有限維空間形式和數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)有力工具. 正定矩

5、陣作為一類(lèi)常用矩陣, 其在數(shù)學(xué)學(xué)科和其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用也非常廣泛, 因此它的性質(zhì)定理以及應(yīng)用問(wèn)題一直倍受關(guān)注, 而在實(shí)際生活中也經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)正定矩陣的應(yīng)用, 如線(xiàn)性規(guī)劃、二次型理論解決二次曲線(xiàn)問(wèn)題等. 盡管個(gè)別理論已為人們所熟知, 但缺乏系統(tǒng)性的整理.本文對(duì)正定矩陣的研究主要集中在對(duì)正定矩陣其性質(zhì)的推廣和應(yīng)用上, 包括理論和實(shí)際的應(yīng)用. 結(jié)合當(dāng)前對(duì)正定矩陣已有的成形研究, 從二次型理論入手, 弄清其應(yīng)用及推廣, 并研究正定矩陣的仿射變換解決不規(guī)則二次曲線(xiàn)問(wèn)題等實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用.1.1 矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展歷史“矩陣(matrix)”術(shù)語(yǔ)是由西爾維斯特創(chuàng)用并由凱萊首先明確其概念的. 他為了將數(shù)字的矩

6、形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ). 而實(shí)際上, 矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了. 早在公元前1世紀(jì), 矩陣形式解方程組在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中已相當(dāng)成熟, 那個(gè)時(shí)候矩陣只是被看作一種排列形式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題, 并沒(méi)有建立起獨(dú)立的矩陣?yán)碚? 從18世紀(jì)末到19世紀(jì)中葉, 這種排列形式在求解線(xiàn)性方程組和行列式計(jì)算等問(wèn)題中應(yīng)用日益廣泛, 矩陣思想才得到進(jìn)一步的發(fā)展. 19世紀(jì)50年代, 西爾維斯特引入“矩陣”一詞來(lái)表示“一項(xiàng)由m行n列元素組成的矩形陣列”或“各種行列式組”, 凱萊作為矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)立者, 首先為簡(jiǎn)化記法引進(jìn)矩陣, 然后系統(tǒng)地闡述了矩陣的理論體系. 隨后, 弗羅伯紐斯等人發(fā)

7、展完善了矩陣的理論體系形成了矩陣的現(xiàn)代理論.矩陣思想的萌芽由來(lái)已久, 早在公元前1世紀(jì)中國(guó)的九章算術(shù)就己經(jīng)用到類(lèi)似于矩陣的名詞. 1748年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在將三個(gè)變數(shù)的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí), 隱含地給出了特征方程的概念. 1773年, 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在討論齊次多項(xiàng)式時(shí), 引入了線(xiàn)性變換. 1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在算數(shù)研究中,將歐拉與拉格朗日的二次型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的推廣, 給出了兩個(gè)線(xiàn)性變換的復(fù)合, 而這個(gè)復(fù)合的新變換其系數(shù)矩陣是原來(lái)兩個(gè)變換的系數(shù)矩陣的乘積. 另外, 高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價(jià)概念, 在研究?jī)蓚€(gè)互逆變換的過(guò)程中孕育了兩個(gè)矩陣的互逆概念. 1826年, 柯西

8、在微積分在幾何中的應(yīng)用教程中討論了二次型束的特征根使束的行列式為零的情況, 證明了當(dāng)其中一個(gè)二次型對(duì)變數(shù)的所有非零實(shí)數(shù)值是正定時(shí), 束的特征根全為實(shí)數(shù). 18世紀(jì)中期, 數(shù)學(xué)家們開(kāi)始研究二次曲線(xiàn)和二次曲面的方程簡(jiǎn)化問(wèn)題, 即二次型的化簡(jiǎn). 在這一問(wèn)題的研究中, 數(shù)學(xué)家們得到了與后來(lái)的矩陣?yán)碚撁芮邢嚓P(guān)的許多概念和結(jié)論. 從18世紀(jì)中期到19世紀(jì)初, 數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯慷涡偷倪^(guò)程中涉及到大量的線(xiàn)性變換, 得到了許多重要概念和結(jié)論. 由于二次型和線(xiàn)性變換均可以使用矩陣來(lái)表示, 所以這些概念和結(jié)論也就可以自然而然地移植到矩陣?yán)碚撝? 因此二次型理論是矩陣思想得以孕育的重要源泉之一. 與此同時(shí), 這種排

9、列形式在線(xiàn)性方程組和行列式計(jì)算中應(yīng)用日益廣泛, 行列式等理論的發(fā)展提供了矩陣發(fā)展的條件, 矩陣概念由此產(chǎn)生, 矩陣?yán)碚摰玫较到y(tǒng)的發(fā)展. 20世紀(jì)初, 無(wú)限矩陣?yán)碚摰玫竭M(jìn)一步發(fā)展. 矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域, 矩陣也是高等代數(shù)中最重要的內(nèi)容之一, 矩陣的初等理論現(xiàn)已作為高中數(shù)學(xué)的選修內(nèi)容. 由此看出, 矩陣?yán)碚撛诳萍及l(fā)展以及教育教學(xué)中的重要地位.1.2 正定矩陣的發(fā)展與地位矩陣的正定性源于二次型與hermite型的研究, 最初只限于在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣或hermite矩陣中討論. 但它要求矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)的或是hermite的. 剛開(kāi)始, 人們通過(guò)將非對(duì)稱(chēng)矩陣加以“對(duì)稱(chēng)化”來(lái)解決與原來(lái)

10、矩陣相關(guān)的問(wèn)題. 1936年, kb用正定陣乘以原矩陣使其乘積成為對(duì)稱(chēng)陣的方法, 解決了概率論中的一些問(wèn)題. 1937年, johnson在其博士論文中研究了方陣的對(duì)稱(chēng)化是正定陣的某些不等式. 隨著實(shí)際應(yīng)用的需要, 1970年, johnson給出階實(shí)矩陣正定的定義, 把正定性的研究推廣到未必對(duì)稱(chēng)的矩陣中, 并對(duì)這類(lèi)矩陣的性質(zhì)、不等式給予研究, 這些結(jié)論應(yīng)用于許多領(lǐng)域. 國(guó)內(nèi)近10年來(lái)出現(xiàn)了關(guān)于這方面研究的大量文章.將正定矩陣推廣到廣義正定矩陣之后, 得出了許多正定矩陣的相關(guān)理論. 從定義出發(fā), 研究結(jié)論包括對(duì)稱(chēng)矩陣非對(duì)稱(chēng)矩陣、準(zhǔn)正定矩陣、次正定矩陣、廣義正定矩陣；從正定矩陣的性質(zhì)出發(fā), 研究

11、結(jié)論有：矩陣的三角分解、矩陣跡的問(wèn)題, 還有相關(guān)hadamard積、kronecker積、hermite矩陣方程、hamilton四元數(shù)理論的應(yīng)用等問(wèn)題；從矩陣相關(guān)理論出發(fā), 得出：慣性定理, schur定理, 華羅庚定理, minkowski及ky fan不等式, 擴(kuò)大了minkowski不等式的指數(shù)范圍等；同時(shí)也包括這些性質(zhì)的推廣與實(shí)際應(yīng)用的探討. 研究矩陣的正定性, 在數(shù)學(xué)理論或應(yīng)用中具有重要意義, 是矩陣論中的熱門(mén)課題之一. 正定矩陣具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值, 是計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、控制論等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的重要矩陣類(lèi), 其應(yīng)用引起人們極大的研究興趣. 在非對(duì)稱(chēng)矩陣領(lǐng)域研究正定矩陣突破了其

12、本身定義的限制, 獲得了豐富的研究成果, 并且得到了廣泛的應(yīng)用, 如線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)算法及線(xiàn)性回歸模型結(jié)構(gòu)、控制論、矩陣方程論、組合矩陣等. 它的研究成果, 使整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系得以完善.2 正定矩陣2.1 正定矩陣的定義定義1 (實(shí)正定矩陣)設(shè)是一個(gè)實(shí)二次型, 若對(duì)任意的一組不全為零的實(shí)數(shù)都有, 則稱(chēng)是實(shí)正定二次型, 它所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣為正定對(duì)稱(chēng)矩陣, 簡(jiǎn)稱(chēng)正定矩陣. 定義2 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣稱(chēng)為正定矩陣, 如果對(duì)于任意的維實(shí)非零列向量都有. 正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣簡(jiǎn)稱(chēng)為正定矩陣. 由此可知, 研究矩陣的正定問(wèn)題, 可以轉(zhuǎn)化為研究其所對(duì)應(yīng)二次型的正定問(wèn)題. 注記：若未作特別說(shuō)明, 這里所討論的矩陣均為實(shí)矩

13、陣. 2.2 正定矩陣的相關(guān)理論2.2.1 正定矩陣的性質(zhì)對(duì)于實(shí)方陣來(lái)說(shuō), 首先具備以下性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)矩陣為階實(shí)方陣, 則下列命題等價(jià)：1) 是正定矩陣；2) 是正定矩陣；3) 是正定矩陣；4) 是正定矩陣；5) 對(duì)任意階可逆矩陣, 是正定矩陣；6) 的各階主子矩陣是正定矩陣.證 2) 若是正定的, 則存在實(shí)可逆矩陣使. , 可逆, 也是實(shí)可逆矩陣. 有也是正定矩陣. 充分性：若是正定矩陣, 則. , 是正定的. 3) 同2)的證明方法.由性質(zhì)4)可得如下推論：推論1 若都是正定矩陣，則也是正定矩陣.證 因?yàn)槎际钦ň仃嚕远际钦ǘ涡?，于是有也一定是正定二次型，所以是正定矩?性質(zhì)2

14、設(shè)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為正定矩陣, 與下列命題互為充要條件：1) 的正慣性指數(shù)等于的維數(shù)；2) 合同于單位矩陣；3) 存在滿(mǎn)秩陣, 使成立；4) 的個(gè)特征值全為正值；5) 存在滿(mǎn)秩陣, 使成對(duì)角線(xiàn)元素皆正的對(duì)角陣；6)存在對(duì)稱(chēng)正定陣, 使；證 3)必要性：若是正定矩陣, 則合同于存在實(shí)可逆矩陣, 使充分性：若, 是實(shí)可逆矩陣, 對(duì), 則所以, 是正定的. 4)設(shè)為矩陣的任一特征值, 為與其相應(yīng)的特征向量, 則有, 因而有, 因而. 推論2 正定矩陣的實(shí)特征值都是正的, 而復(fù)特征值一定具有正的實(shí)數(shù)部分. 注記：這個(gè)定理的逆命題不一定成立, 即復(fù)特征值具有正的實(shí)屬部分而實(shí)特征值全是正的實(shí)方陣不一定是正定的

15、, 例如, 它的特征值為, 實(shí)特征值是1,1, 而, 容易看出, 不是正定的. 性質(zhì)3 1)1 的所有順序主子式大于零；2) 正定矩陣的主子式全大于零；3) 正定矩陣的主對(duì)角線(xiàn)上元素必全大于零.證 2) 設(shè),而, 為的任一階主子式, 為所對(duì)應(yīng)的階主子式的行列式. 由于是正定矩陣, 故二次型. 對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)都有, 從而, 對(duì)不全為零的實(shí)數(shù)(即在中除外余者取0). 對(duì)于變量矩陣的二次型,故是正定二次型. 因而是正定矩陣, 故3) 當(dāng)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的時(shí), 它所確定的二次型必為正定二次型. 假設(shè),取 , 代入上式得, 這即與是正定的相矛盾, 所以只有. 性質(zhì)4 正定矩陣的元素的絕對(duì)值最大者一

16、定是主對(duì)角線(xiàn)上的元素. 證 設(shè)是正定矩陣, 其中元素的絕對(duì)值為最大, 則, 由性質(zhì)3可知, 的一切主子式都大于零, 從而有, 即, 這與假設(shè)矛盾, 故正定矩陣中元素的絕對(duì)值最大者必定是主對(duì)角線(xiàn)上的元素. 注記：這個(gè)結(jié)論常用于判定某些實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不是正定的矩陣. 因?yàn)橹灰幸粋€(gè)非主對(duì)角線(xiàn)上的元素絕對(duì)值不小于主對(duì)角線(xiàn)上元素的絕對(duì)值的最大者, 那么這個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必不是正定矩陣. 性質(zhì)56 設(shè)實(shí)正定, 則1) 對(duì)任意；2) 的所有主子陣及實(shí)正定；3) 的所有主子陣的特征根滿(mǎn)足：；4) 的所有主子式行列式大于0, 特別地；5) 對(duì)任意, 令(或), 則存在, 使得；6) 存在非奇異, 使得 , 其中 .

17、7) 若實(shí)正定, 則實(shí)正定, 即階實(shí)正定矩陣集合為一凸集；8) 關(guān)于任一順序主子陣的sylvester矩陣實(shí)正定. 證 1) 只需證, 而故. 先證3) , 對(duì), 此為hermite矩陣, 故只需證時(shí)結(jié)論成立即可. 令為的任意特征值, 為響應(yīng)的單位特征向量, 則, 易知為純虛數(shù), 故, 由courant-fischer定理直接得證. 4) 可由3) 直接得到. 下證2)由于我們有, 故實(shí)正定. 令, 故實(shí)正定, 同理可證實(shí)正定. 5) 可由直接得到. 6) 實(shí)對(duì)稱(chēng)正定, 存在, 使得為hermite矩陣, 存在酉陣使得. 故. 令即可得證. 7) 利用便可證明. 8) 記此順序主子式為, 則關(guān)

18、于的sylvester矩陣為,且實(shí)正定, 故有實(shí)正定. 2.2.2 正定矩陣的相關(guān)定理定理1 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定矩陣的充分而且必要條件是對(duì)于任意的維實(shí)非零列向量, 二次型是正定二次型. 定理23 hermite矩陣是半正定的, 當(dāng)且僅當(dāng)它的所有特征值都是非負(fù)的, 它是正定的, 當(dāng)且僅當(dāng)它的所有特征值都是正的. 定理36 中所有正定矩陣構(gòu)成的集合的邊界點(diǎn)是半正定矩陣, 但不是正定矩陣. 定理 414 (hadamard不等式)正定矩陣的行列式不超過(guò)對(duì)角元素之積, 即等式成立當(dāng)且僅當(dāng)是對(duì)角矩陣. 定理514 (oppenheim不等式)設(shè)是半正定矩陣, 則. 定理 614 (minkowski不等式

19、)設(shè)是半正定矩陣, 則：定理7 設(shè)階方陣是正定的, 其中和分別是的對(duì)稱(chēng)分量和反對(duì)稱(chēng)分量, 則. 證 因?yàn)槭钦ǖ? 可知存在可逆方陣使得：, 其中, 因此 , 如果的反對(duì)稱(chēng)分量不可逆, 則, 而, 因此. 如果的反對(duì)稱(chēng)分量可逆, 則, 而且, 都不為零, 并且, 所以有. 2.2.3 正定矩陣的判別方法在研究正定矩陣的時(shí)候, 會(huì)出現(xiàn)判斷被研究矩陣是否正定的問(wèn)題. 結(jié)合性質(zhì), 正定矩陣的判定方法有很多, 隨著研究的深入, 方法也不斷改進(jìn), 以下羅列了幾個(gè)相關(guān)判定方法：1) 與正定矩陣合同的矩陣一定是正定矩陣. 事實(shí)上由合同的傳遞性及正定矩陣都與單位矩陣合同可知結(jié)論明顯成立. 2) 正定矩陣的逆矩

20、陣必為正定矩陣. 因?yàn)檎ň仃嚺c單位矩陣合同, 所以存在可逆矩陣, 使得, 取逆矩陣, 記, 即有, 則與單位矩陣合同, 所以是正定矩陣. 3) 正定矩陣的和仍是正定矩陣. 事實(shí)上若與是同階正定矩陣, 則對(duì)于任意的非零實(shí)列向量, 必有, 且, 從而 , 所以是正定的. 4) 正定矩陣的任何主子式陣必為正定矩陣. 假設(shè)是一個(gè)階正定矩陣, 它的階主子式陣, 又由正定矩陣性質(zhì)可知, 從而可知的任何主子式陣一定是正定的. 5) 對(duì)于任何的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 必有實(shí)數(shù), 使得與是正定矩陣. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征根都是實(shí)數(shù), 不妨記其中絕對(duì)值最大的一個(gè)特征根為, 只要取, 即可使是正定矩陣. 這是因?yàn)榧僭O(shè)是正交矩陣

21、, 可使, 則有, 其中由于, 可知是正定矩陣. 當(dāng)取時(shí), 則是正定矩陣. 6) 假設(shè)都是正定矩陣, 并且, 則也必為正定矩陣. 的特征根都大于零, 當(dāng)時(shí), 說(shuō)明又是對(duì)稱(chēng)的, 從而可知是正定的. 3 正定矩陣應(yīng)用 正定陣具有廣泛的應(yīng)用, 但被局限在對(duì)稱(chēng)陣范圍內(nèi), 隨著應(yīng)用的需要和研究的深入, 加速了突破這一限制的進(jìn)程. 國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者研究了多種未必對(duì)稱(chēng)的較為廣義的正定陣, 獲得了豐富的研究成果, 其成果得到了廣泛的應(yīng)用, 但仍不能滿(mǎn)足應(yīng)用上的需要和達(dá)到理論上的完善, 正定矩陣的相關(guān)性質(zhì)、定理以及證明相關(guān)的著名不等式等問(wèn)題都將日趨完善. 3.1 正定矩陣的相關(guān)理論推廣3.1.1 廣義正定矩陣按照

22、正定矩陣的嚴(yán)格定義, 其要滿(mǎn)足該矩陣是對(duì)稱(chēng)的. 而廣義正定矩陣突破這一限制, 來(lái)進(jìn)行研究. 對(duì)于廣義正定矩陣, 有過(guò)一系列的推廣, 這里給出其部分定義、性質(zhì)以及相關(guān)應(yīng)用的問(wèn)題. 定義3 設(shè), 矩陣稱(chēng)為正定的, 如果, 有. 這種正定矩陣稱(chēng)為正定矩陣, 階正定矩陣的全體記為. 定義4 設(shè), 矩陣為正定的, 若對(duì)任何, 都有正對(duì)角陣存在正對(duì)角矩陣, 使, 則稱(chēng)為正定矩陣, 記為. 定義5 設(shè), 矩陣稱(chēng)為正定的, 如果存在, 使得對(duì), 有. 這種正定矩陣稱(chēng)為正定矩陣, 階正定矩陣的全體記為. 定義6 設(shè), , 其中, , 如果, 那么稱(chēng)為亞正定矩陣. 這里把階亞正定矩陣全體記為(為的對(duì)稱(chēng)分量, 為的

23、反對(duì)稱(chēng)分量, 并且這種分解式是唯一的). 定義7 設(shè), 矩陣稱(chēng)為正定的, 如果存在使得, 有, 這里稱(chēng)這種正定矩陣為正定矩陣, 階正定矩陣的全體記為. 定義8 設(shè), 矩陣稱(chēng)為正定的, 如果存在, 且, 使得, 有. 這里把這種正定矩陣稱(chēng)為正定矩陣, 階正定矩陣的全體記為. 定義9 設(shè), 矩陣稱(chēng)為正定的, 如果存在, , 且, 使得, 有, 這里把這種正定矩陣稱(chēng)為正定矩陣, 階正定矩陣的全體記為. 定義10 設(shè), 若, 都存在階可逆陣使, 則稱(chēng)為階準(zhǔn)正定矩陣. 若與無(wú)關(guān), 則稱(chēng)為階準(zhǔn)正定矩陣, 記為, 否則記為.這里進(jìn)一步對(duì)定義9所給出的正定矩陣的性質(zhì)定理進(jìn)行進(jìn)一步討論. 顯然, 的充分必要條件

24、是, 接下來(lái)進(jìn)一步探討中矩陣的某些性質(zhì). 為了方便表達(dá)我們記. 定理815 (1) 當(dāng)且僅當(dāng)存在, 以及, 使得；(2)當(dāng)且僅當(dāng)存在, 以及, 使得. 證 (1)必要性 因?yàn)? , 使得有, 則, 于是得, 則得到. 充分性 由于以及, 使得, 則, 所以, 有, 而, 于是得, 綜上所述, 即得證. (2)必要性 因?yàn)? 所以, 使得有, 則, 于是, 即, 由于, 則, 由此可得. 又, 以及, 使得, 于是得到, 其中, , 充分性 由于以及, 使得, 所以對(duì), 有, 則, 由定義可知. 定理915 設(shè), 那么當(dāng)且僅當(dāng)使得. 證 必要性 由于有定理1(1)可知使得, 所以有, 則, 而,

25、 于是有. 充分性 由于使得, 于是有, 則, 于是, 故. 以上正定矩陣的幾個(gè)充分必要條件還可以推導(dǎo)出幾個(gè)正定矩陣的若干性質(zhì), 下面我們給出性質(zhì)：性質(zhì)615 1) 若, 則(1)；(2)；(3). 2)設(shè)非奇異矩陣, 則3)若, 且的分解為, . 4)若, 其中是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣, 是實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣, 則. 證 由于, 于是得, 而, 由定理可知：, 可逆(), 則, 所以有. 3.1.2 準(zhǔn)正定矩陣這里用表示階單位陣；表次對(duì)角線(xiàn)元全為1, 其余元全為0的階方陣；分別表示實(shí)矩陣集與階實(shí)可逆矩陣集；表階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定陣集；分別表示矩陣的hadamard積與kronecker積. 對(duì)于定義10, 當(dāng)時(shí),

26、 便是正定陣集或亞正定陣集, 并有；當(dāng)(階正對(duì)角陣)時(shí), 便是廣義正定陣集；當(dāng)時(shí), 便是由矩陣做進(jìn)一步推廣后的廣義正定陣集；當(dāng)(階實(shí)對(duì)稱(chēng)可逆陣)時(shí), 便是非對(duì)稱(chēng)廣義正定陣集；當(dāng)時(shí), 便是次亞正定陣集；當(dāng)(階次對(duì)角陣)時(shí), 便是準(zhǔn)次正定陣集；當(dāng)(階實(shí)次對(duì)稱(chēng)次正定陣)時(shí), 便是廣義次正定陣集. 因此準(zhǔn)正定矩陣將各類(lèi)實(shí)正定陣與各類(lèi)實(shí)次正定陣統(tǒng)一了起來(lái), 并有. 定理1013 設(shè), 則. 證 由定義1知：. 推論3 設(shè),則為完全主正陣, 因而可逆. 定理1113 設(shè), 則.證 由定理10知：. 在定理2中, 取為實(shí)對(duì)稱(chēng)正定陣, 即：定理1213 設(shè), 則. 證 因?yàn)? 所以, 有且, 所以、. 反之,

27、 若, 則由必要性知：. 推論4 設(shè), 則. 推論5 設(shè), 則. 推論6 設(shè), 則. 定理1313 設(shè), 則. 證 因?yàn)? 所以由定理10知：, 又, 故, 有, 且. 因而. 反之, 若, 則由必要性知：. 推論7 設(shè), 則. 推論8 設(shè), , 則的伴隨矩陣. 定理1413 設(shè), 則證 由定理10知：. 3.1.3 schur定理與華羅庚定理的推廣定理1513(廣義schur乘積定理) 設(shè)的階可逆對(duì)角陣, , 且, 則. 證 因?yàn)? 所以由定理11知：, 又, 故, 于是由定理7知：, 故由定理11知：. 定理15是schur定理的推廣, 其中, 取, 便得著名結(jié)論：推論9(schur乘積定

28、理) 設(shè), 則. 推論10 設(shè)為階可逆對(duì)角陣, , 則. 推論11(廣義華羅庚定理) 設(shè)為階可逆對(duì)角陣, , 且, 則(其中為正整數(shù)). 證 因?yàn)? 所以, 且, 所以, 所以, 由華羅庚定理知：, 故. 3.1.4 ky fan等著名不等式的推廣定理1613 設(shè), 為的非實(shí)特征值個(gè)數(shù), 且, 則, 特別當(dāng)時(shí)有廣義minkowski不等式：. 證 因, 故, 又, 故, 再的非實(shí)特征值個(gè)數(shù)為, 所以由推論可知：, 即. 定理1713 設(shè), 為的非實(shí)特征值個(gè)數(shù), 則, 有；特別地, 當(dāng)時(shí), 有廣義ky fan不等式：. 證 , 由, 有, (即)的非實(shí)特征值個(gè)數(shù)為, 于是有：兩邊消去, 再次方得

29、：. 當(dāng)時(shí), 不等式顯然成立. 上述定理、推論、不等式等結(jié)論是在對(duì)廣義正定矩陣的研究的基礎(chǔ)上, 獲得了許多新的結(jié)果, 改進(jìn)并推廣了著名的schur定理、華羅庚定理、minkowski不等式及ky fan不等式, 并將各類(lèi)正定矩陣與次正定陣統(tǒng)一了起來(lái), 這對(duì)完善正定陣?yán)碚摵蛻?yīng)用很有價(jià)值. 3.2 正定矩陣在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用正定矩陣在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用, 以下給出幾個(gè)應(yīng)用舉例.3.2.1 二次型理論的應(yīng)用二次型理論有著十分廣泛的應(yīng)用, 其在解決二次曲線(xiàn)與二次曲面方面、證明不等式等方面有著顯著的實(shí)際應(yīng)用, 下面就這幾方面問(wèn)題舉例說(shuō)明：一、從二次型理論的起源, 即從化二次曲線(xiàn)和二次曲面為標(biāo)準(zhǔn)型的

30、問(wèn)題入手, 我們發(fā)現(xiàn)二次型理論對(duì)二次曲線(xiàn)和二次曲面方程的化簡(jiǎn)有著重要意義. 例1 利用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)如下二次曲面的方程. , 其中. 解：作平移變換：, 則有, 即令, 又, 適當(dāng)選取, 使, 由知：(線(xiàn)性方程組)有唯一解：, 由可得. 又是可逆實(shí)對(duì)稱(chēng)陣, 存在正交陣, 使得使得為的特征根, 作正交線(xiàn)性替換, 則即：原方程可化簡(jiǎn)為二、在不等式的證明中, 恰當(dāng)運(yùn)用二次型理論, 將十分有助于問(wèn)題的解決. 例2 求證：證 令, 則, 的順序主子式大于或等于零是半正定的, 二次型是半正定的, 即即. 3.2.2 仿射變換仿射變換是從運(yùn)動(dòng)變換到射影變換的橋梁.通過(guò)探究和證明我們知道,通過(guò)平行射影不改變

31、的性質(zhì)和數(shù)量,稱(chēng)為仿射不變性質(zhì)和仿射不變量,經(jīng)過(guò)仿射其對(duì)應(yīng)的性質(zhì)也是不變的. 在初等幾何問(wèn)題中,圓和橢圓都是比較常見(jiàn)的圖形,圓比橢圓更特殊,它有很多很好的性質(zhì),與圓有關(guān)的定理舉不勝舉,但橢圓則不然.因其本身的定義要比圓復(fù)雜,橢圓的性質(zhì)和定理就很少,解決一個(gè)與橢圓有關(guān)的問(wèn)題要比解決一個(gè)與圓有關(guān)的相應(yīng)的問(wèn)題困難得多.因此,我們自然期望有一種方法,使得處理有關(guān)橢圓的問(wèn)題和處理有關(guān)圓問(wèn)題一樣容易由仿射變換性質(zhì)可知:橢圓通過(guò)適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q可變成圓.所以,只要考慮有關(guān)橢圓仿射性質(zhì)的問(wèn)題,就可以先轉(zhuǎn)化為有關(guān)圓的相應(yīng)的問(wèn)題來(lái)解決,再把所得的結(jié)果推廣到橢圓中去, 即可達(dá)到我們解題的目的.下面僅就形式的仿射變換在

32、橢圓問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明. 例3 求橢圓的內(nèi)接四邊形的最大面積. 應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：平行四邊形可經(jīng)仿射變換變成正方形；在仿射變換下, 任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比等于常數(shù), 且此常數(shù)等于變換系數(shù)行列式的絕對(duì)值. 圖1解：如圖1, 作仿射變換, 將橢圓變成圓, 則橢圓的內(nèi)接平行四邊形中面積最大者必對(duì)應(yīng)圓的內(nèi)接正方形. 設(shè)橢圓內(nèi)接平行四邊形的面積為, 圓內(nèi)接正方形的面積為, 則(此公式可先對(duì)任意三角形證明后推廣到一般多邊形), 故橢圓的內(nèi)接平行四邊形的最大面積為. 同理可得橢圓的內(nèi)接三角形的最大面積為. 注記：根據(jù)如上題目的求解, 得到下面兩個(gè)推廣：推廣 1) 圓內(nèi)接正邊形的面積最大值為2) 橢圓內(nèi)接

33、正邊形的面積最大值為例4 如圖, 已知, , 是橢圓上的兩點(diǎn),求橢圓扇形的面積s. 相關(guān)性質(zhì):在仿射變換下, 任何一對(duì)對(duì)應(yīng)封閉凸曲線(xiàn)圍成的面積之比等于常數(shù), 且此常數(shù)等于變換系數(shù)行列式的絕對(duì)值.解:如圖, 做仿射變換, 將橢圓變成圓相應(yīng)地, 點(diǎn)a、b分別變換為且設(shè)圓中對(duì)應(yīng)扇形的面積為, 則, 即所求橢圓的扇形面積為.例5 如圖,與x軸交于點(diǎn)a, 與y軸交于點(diǎn)b、c, 在橢圓上任取一點(diǎn)p, 連結(jié)bp、cp, 分別于x軸交于點(diǎn)m、n, 求證: 相關(guān)性質(zhì):一直線(xiàn)上任兩線(xiàn)段之比是仿射不變量.解: 如圖, 作仿射變換, 將橢圓變成圓.由是圓的直徑,得， 設(shè), 則由仿射的性質(zhì),得根據(jù)上述分析, 仿射變換利

34、用正定矩陣作為一個(gè)中間橋梁, 巧妙地將橢圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題, 為解題提供了一種新方法. 而這種方法同樣可以推廣到二次曲面的解題上, 相比常規(guī)做法更加簡(jiǎn)單方便. 由于正定矩陣的較好特性, 其應(yīng)用非常廣泛. 對(duì)正定矩陣的系統(tǒng)研究, 有助于對(duì)整個(gè)矩陣系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和矩陣?yán)碚摰耐晟? 參考文獻(xiàn)1 王萼芳, 石生明. 高等代數(shù)m. 北京：高等代數(shù)出版社, 2006, (12): 205-236. 2 董可榮, 包芳勛. 矩陣思想的形成與發(fā)展j. 自然辯證法通訊, 2009,(01): 56-61.3 張厚超, 李瑞娟. 關(guān)于hermite矩陣正定性判定的等價(jià)條件及證明j. 河南教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2009,(

35、01):7-9.4 鄒黎敏, 胡興凱, 伍俊良. 正定矩陣的性質(zhì)及判別法j. 中山大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 48(5): 16-23.5 張奎, 楊俠. 正定矩陣的若干等價(jià)條件j. 阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2005, 22(1): 19-20.6 胡永建, 陳公寧. 有關(guān)正定矩陣的一些性質(zhì)j. 北京師范大學(xué)學(xué)報(bào), 1996, 32(1): 40-46.7 王維生, 李竹香, 曾憲庸. 實(shí)正定陣的若干判定準(zhǔn)則j. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 1996,28(4): 3-6.8 張洪陽(yáng). 實(shí)正定矩陣乘積的正定性j. 鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, 2(3): 43-45.9 詹仕林,詹旭洲. 實(shí)正定矩陣的若干

36、判據(jù)j. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 32(3): 15-17.10 張淑娜,郭艷君. 正定二次型的幾個(gè)等價(jià)條件以及正定矩陣的若干性質(zhì)j. 通化師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, (5): 19-21.11 董麗華. 二次型理論的幾個(gè)應(yīng)用j. 丹東師專(zhuān)學(xué)報(bào), 1999,21(4): 36-47.12 雍龍泉. 正定矩陣的推廣及其應(yīng)用j. 寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào). 2007, 27(2): 113-115.13 袁暉坪,王文惠. 準(zhǔn)正定矩陣j. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 28(1)：155-157.14 張婭琳. 正定矩陣幾個(gè)重要不等式的推廣j. 長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 3(2): 472-47

37、3.15 劉曉冀, 涂強(qiáng). 廣義實(shí)正定矩陣的研究j. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 15(2): 815-818.16 孫建東. 關(guān)于對(duì)廣義的正定矩陣進(jìn)一步研究j. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1996, (1): 93-96.17 曾德備. 正定、半正定矩陣在線(xiàn)性代數(shù)中的一些應(yīng)用j. 玉溪師專(zhuān)學(xué)報(bào), 1995, 11(4):1-6.18 岳貴鑫. 正定矩陣及其應(yīng)用j. 遼寧省交通高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào), 2008,(10): 31-33.19 george t. gilbert. positive definite matrices and sylvesters criterionj, the am

38、erican mathematical monthly, 1991, 98(1): 44-46. 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）( 2011屆 )過(guò)程管理材料本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)任務(wù)書(shū)學(xué) 院數(shù)理與信息工程學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名滕詩(shī)媛學(xué)號(hào)07170316指導(dǎo)教師呂家鳳職稱(chēng)副教授合作導(dǎo)師職稱(chēng)一、設(shè)計(jì)（論文）題目：正定矩陣的若干應(yīng)用二、設(shè)計(jì)（論文）的研究?jī)?nèi)容和任務(wù)要求此次研究的內(nèi)容是有關(guān)于正定矩陣的應(yīng)用，對(duì)于該問(wèn)題的研究主要集中在二次型方向的研究。正定矩陣?yán)碚撛诮?jīng)濟(jì)學(xué)、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)等方面都有許多實(shí)際用途，但被局限在對(duì)稱(chēng)矩陣的范圍內(nèi)。隨著應(yīng)用的需要和研究的深入，這一限制逐漸被突破。國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者研究了多種

39、未必對(duì)稱(chēng)的較為廣義的正定矩陣，獲得了豐富的研究成果，其成果也得到了廣泛應(yīng)用，但仍不能滿(mǎn)足應(yīng)用上的需要和達(dá)到理論上的完善。通過(guò)大量查找文獻(xiàn)資料，收集各類(lèi)正定矩陣的相關(guān)應(yīng)用，包括對(duì)稱(chēng)矩陣、非對(duì)稱(chēng)矩陣、準(zhǔn)正定矩陣、次正定矩陣、廣義正定矩陣，以及矩陣的三角分解、矩陣跡的問(wèn)題，還有相關(guān)hadamard積、kronecker積、hermite矩陣方程、hamilton四元數(shù)理論。相關(guān)的定理與理論有：慣性定理，schur定理，華羅庚定理，minkowski及ky fan 不等式，擴(kuò)大了minkowski不等式的指數(shù)范圍等相關(guān)資料，進(jìn)一步了解正定矩陣的背景和定義，以及其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，為正確理解正定矩陣的

40、性質(zhì)以及應(yīng)用做準(zhǔn)備，為系統(tǒng)理清正定矩陣的各類(lèi)應(yīng)用打下理論基礎(chǔ)。在大量查閱資料的基礎(chǔ)上，對(duì)正定矩陣作初步理解以后，對(duì)各種有效信息進(jìn)行歸納整理，進(jìn)而得出結(jié)論，進(jìn)行探究并證明。三、進(jìn)度安排（一）2010年10月22日：選題，初步確定論文寫(xiě)作方向；（二）2010年11月7日11月20日：確定論文題目，初步收集資料；（三）2010年11月22日11月30日：根據(jù)題目，收集資料，準(zhǔn)備開(kāi)題報(bào)告；（四）2010年12月12日12月24日：完成開(kāi)題報(bào)告進(jìn)行開(kāi)題答辯；（五）2010年12月底-2011年2月：完成論文初稿；（六）2011年3月-4月：修改論文；（七）2011年4月：定稿，提交論文，答辯資格審查及論

41、文答辯。 四、主要參考資料1董可榮,包芳勛.矩陣思想的形成與發(fā)展j.自然辯證法通訊,2009,(01):56-61.2岳貴鑫.正定矩陣及其應(yīng)用j.遼寧省交通高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào).2008,(10):31-33.3雍龍泉.正定矩陣的推廣及其應(yīng)用j.寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào).2007,(06):113-115.4朱家生.數(shù)學(xué)史(第二版)m.北京:高等教育出版社出版,2004,(09): 25-79.5袁暉坪,王文惠.準(zhǔn)正定矩陣j.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009（02）：155-157.6張純根,米英,彭新峻,汪軒亭.實(shí)方陣的次正定性j,鐵道師院學(xué)報(bào),2002,(08):1-3.7王維生,李竹香,曾憲庸.實(shí)正定

42、陣的若干判定準(zhǔn)則j.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1996,(04):3-6.8史文譜,劉迎曦,褚京蓮,郭淑紅.求解線(xiàn)性方程組的一種新方法j,計(jì)算機(jī)力學(xué)學(xué)報(bào),2003,(06):715-720.9曾誠(chéng),湯鳳香,何淦瞳. 關(guān)于半正定矩陣hadamard積的矩陣不等式j(luò),貴陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(03):1-3.10尹景本,曹建兵.廣義hermite矩陣方程j,河南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(03):70-72. 指導(dǎo)教師簽名 學(xué)生簽名 系主任簽名 2010 年 月 日本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)文獻(xiàn)綜述學(xué)院數(shù)理與信息工程學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名滕詩(shī)媛學(xué)號(hào)07170316指導(dǎo)教師呂家鳳職稱(chēng)副教授合作導(dǎo)師職稱(chēng)論文

43、題目正定矩陣的若干應(yīng)用文獻(xiàn)綜述：矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念, 是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象, 也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具. “矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的, 他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ). 而實(shí)際上, 矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了. 早在公元前1世紀(jì), 矩陣形式解方程組在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中已相當(dāng)成熟, 那個(gè)時(shí)候矩陣只是被看作一種排列形式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題, 并沒(méi)有建立起獨(dú)立的矩陣?yán)碚? 從18世紀(jì)末到19世紀(jì)中葉, 這種排列形式在求解線(xiàn)性方程組和行列式計(jì)算等問(wèn)題中應(yīng)用日益廣泛, 矩陣思想才得到進(jìn)一步的發(fā)展. 18世紀(jì)中期, 數(shù)學(xué)家們開(kāi)始研

44、究二次曲線(xiàn)和二次曲面的方程簡(jiǎn)化問(wèn)題, 即二次型的化簡(jiǎn). 在這一問(wèn)題的研究中, 數(shù)學(xué)家們得到了與后來(lái)的矩陣?yán)碚撁芮邢嚓P(guān)的許多概念和結(jié)論. 1748年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在將三個(gè)變數(shù)的二次型華為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí), 隱含地給出了特征方程的概念. 1773年, 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在討論齊次多項(xiàng)式時(shí), 引入了現(xiàn)行變換. 1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在算數(shù)研究中, 將歐拉與拉格朗日的二次型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的推廣, 給出了兩個(gè)先行變換的復(fù)合, 而這個(gè)復(fù)合的新變換其系數(shù)矩陣是原來(lái)兩個(gè)變換的系數(shù)矩陣的乘積. 另外, 高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價(jià)概念, 在研究?jī)蓚€(gè)互逆變換的過(guò)程中孕育了兩個(gè)矩陣的互逆概念. 1826年

45、, 柯西在微積分在幾何中的應(yīng)用教程中討論了二次型束的特征根使束的行列式為零的情況, 證明了當(dāng)其中一個(gè)二次型對(duì)變數(shù)的所有非零實(shí)數(shù)值是正定時(shí), 束的特征根全為實(shí)數(shù). 從18世紀(jì)中期到19世紀(jì)初, 數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯慷涡偷倪^(guò)程中涉及到大量的線(xiàn)性變換, 得到了許多重要概念和結(jié)論. 由于二次型和線(xiàn)性變換均可以使用矩陣來(lái)表示, 所以這些概念和結(jié)論也就可以自然而然地移植到矩陣?yán)碚撝? 因此二次型理論是矩陣思想得以孕育的重要源泉之一. 龐加萊說(shuō)：“如果我們要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái), 適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門(mén)學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”. 研究矩陣的發(fā)展歷史, 能讓我們得到很多啟示. 我們發(fā)現(xiàn)矩陣思想的建立立足于二次型理論的研究、行

46、列式計(jì)算以及微分方程的研究中. 從九章算術(shù)方程術(shù)中線(xiàn)性聯(lián)立方程組的遍乘直除算法, 用算籌將系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)長(zhǎng)方陣, 由此我們知道矩陣研究早已出現(xiàn)在我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的研究中, 而且一直延續(xù)至今長(zhǎng)盛不衰. 正定矩陣作為矩陣中具有較好特性的一類(lèi)矩陣, 有關(guān)它的研究一直是當(dāng)今代數(shù)界研究的前沿和熱點(diǎn)問(wèn)題之一. 國(guó)內(nèi)外的研究, 從不同的方面對(duì)正定矩陣進(jìn)行研究：從定義出發(fā), 研究結(jié)論包括對(duì)稱(chēng)矩陣、非對(duì)稱(chēng)矩陣、準(zhǔn)正定矩陣、次正定矩陣、廣義正定矩陣；從正定矩陣的性質(zhì)出發(fā), 研究結(jié)論有：矩陣的三角分解、矩陣跡的問(wèn)題, 還有相關(guān)hadamard積、kronecker積、hermite矩陣方程、hamilton四元

47、數(shù)理論的應(yīng)用等問(wèn)題；從矩陣相關(guān)理論出發(fā), 得出：慣性定理, schur定理, 華羅庚定理, minkowski及ky fan不等式, 擴(kuò)大了minkowski不等式的指數(shù)范圍等；同時(shí)也包括這些性質(zhì)的推廣與實(shí)際應(yīng)用的探討. 此次正定矩陣研究的內(nèi)容主要集中在對(duì)正定矩陣其性質(zhì)的推廣和應(yīng)用上, 包括理論和實(shí)際的應(yīng)用. 結(jié)合當(dāng)前對(duì)正定矩陣已有的成形研究, 從二次型理論入手, 弄清其應(yīng)用及推廣, 并研究正定矩陣的仿射變換解決不規(guī)則二次曲線(xiàn)問(wèn)題等實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用. 矩陣的正定性源于二次型與hermite型的研究, 最初只限于在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣或hermite矩陣中討論. 1970年, johnson給出n階實(shí)矩陣正

48、定的定義：若對(duì)任何, 都有, 即把正定性的研究推廣到未必對(duì)稱(chēng)的矩陣中. 并對(duì)這類(lèi)矩陣的性質(zhì)、不等式給予研究. 國(guó)內(nèi)近10年來(lái)出現(xiàn)了關(guān)于這方面研究的大量文章. 二次型與正定矩陣關(guān)系的研究：對(duì)于元二次型, 若將任意非零列向量代入其中, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值恒大于零, 則稱(chēng)該二次型為正定二次型, 所對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為正定矩陣. 由此, 正定矩陣的定義是依附于正定二次型而給出的, 由于二者有著一一對(duì)應(yīng)的密切關(guān)系, 因而對(duì)二次型性質(zhì)的考察, 有助于更好地了解正定矩陣的性質(zhì). 在應(yīng)用方面, 正定矩陣部分的應(yīng)用很廣泛, 所以它的研究一直是矩陣分析領(lǐng)域非常熱門(mén)的課題. 二次型理論有著十分廣泛的應(yīng)用, 尤其在解決二次曲

49、線(xiàn)與二次曲面方面, 證明不等式、研究多項(xiàng)式的根等方面有著廣泛的應(yīng)用. 基于矩陣本身性質(zhì)的應(yīng)用也是十分廣泛的. 在研究時(shí), 對(duì)一些條件的加強(qiáng)、削弱, 從而衍生出了一些列的新矩陣、定理以及性質(zhì)等, 本文著重研究廣義正定矩陣、準(zhǔn)正定矩陣所對(duì)應(yīng)的性質(zhì)、定理等相關(guān)應(yīng)用. 本文的結(jié)構(gòu), 分成以下三個(gè)部分：(1) 正定矩陣的形成與發(fā)展；(2) 正定矩陣的定義、性質(zhì)以及相關(guān)定理；(3) 正定矩陣的推廣與應(yīng)用(其中包括廣義正定矩陣、準(zhǔn)正定矩陣的研究, 和結(jié)合二次型對(duì)正定矩陣進(jìn)行的相關(guān)應(yīng)用). 研究正定矩陣各種應(yīng)用, 并在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新的應(yīng)用是矩陣研究熱潮的必然發(fā)展趨勢(shì), 在大量查閱資料的基礎(chǔ)上, 正定矩陣作初步

50、理解后, 對(duì)各種有效信息進(jìn)行歸納整理, 進(jìn)而得出結(jié)論, 進(jìn)行探究并證明, 將是本文的成果去向. 文獻(xiàn)2簡(jiǎn)單介紹了整個(gè)矩陣發(fā)展沿千年的過(guò)程, 介紹了矩陣思想的形成與發(fā)展, 對(duì)其中矩陣思想的內(nèi)涵、歷史演進(jìn)過(guò)程及其意義都有一定的體現(xiàn). 早在公元前1世紀(jì)中國(guó)的九章算術(shù)就已經(jīng)用到類(lèi)似于矩陣的名詞. 九章算術(shù)方程術(shù)中線(xiàn)性聯(lián)立方程組的遍乘直除算法, 用算籌將系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)長(zhǎng)方陣, 這就是矩陣最早的雛形. 魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽又在九章算術(shù)注中進(jìn)一步完善, 給出了完整的演算程序. 矩陣演變的籌算過(guò)程就是現(xiàn)今矩陣的行初等變換, 現(xiàn)今矩陣變換中的一些性質(zhì)在方程術(shù)及劉徽注中都可追溯到理論淵源. 矩陣在中國(guó)古代

51、的萌芽, 蘊(yùn)含了豐富的矩陣算法與程序化等思想. 矩陣概念產(chǎn)生并發(fā)展于19世紀(jì)的歐洲, 歐洲的社會(huì)環(huán)境與文化背景為矩陣的早期發(fā)展提供了適宜的舞臺(tái), 一大批矩陣?yán)碚摰牡旎咦隽舜罅康墓ぷ? 使矩陣從零散的知識(shí)發(fā)展為系統(tǒng)完善的理論體系, 為矩陣?yán)碚摰男纬膳c發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn). 矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意, 而且寫(xiě)了很多關(guān)于這個(gè)課題的文章. 如今矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中最重要的內(nèi)容之一, 其思想方法也貫穿整個(gè)內(nèi)容的始終, 在線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換、二次型等線(xiàn)性代數(shù)中有重要的應(yīng)用. 矩陣?yán)碚摪l(fā)展非常迅速, 矩陣及其理論也已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域. 它的闡述為本文提供豐富的背景知識(shí). 文獻(xiàn)1是

52、關(guān)于矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用的闡述, 系統(tǒng)的介紹了矩陣的相關(guān)理論, 其中也包含了對(duì)正定矩陣的詳細(xì)介紹. 為本文的撰寫(xiě)提供理論基礎(chǔ). 文獻(xiàn)1、4、5、6、8對(duì)正定矩陣的定義、性質(zhì)以及判別方法進(jìn)行具體闡述. (1)從不同的角度對(duì)正定矩陣定義：結(jié)合二次型和hermite型的研究給出的常規(guī)定義；結(jié)合空間向量給出的定義；根據(jù)慣性定理得到的定義. (2)性質(zhì)：根據(jù)正定矩陣的定義, 羅列正定矩陣的特征, 結(jié)合二次型的等價(jià)條件, 應(yīng)用合同矩陣的性質(zhì)等條件, 得到正定矩陣的性質(zhì). (3)判別方法：要研究正定矩陣, 首先要判斷被研究的矩陣是否為正定矩陣, 為此根據(jù)定義與性質(zhì)得到判別方法. 文獻(xiàn)7、9、10、11、12、13

53、、14、15、16、17、18介紹了正定矩陣的推廣和應(yīng)用. 推廣：(1) 廣義正定矩陣：通常討論矩陣的正定性只局限在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣范圍內(nèi), 廣義正定矩陣將范圍推廣到實(shí)方陣中, 來(lái)進(jìn)行研究. 國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者研究了多種未必對(duì)稱(chēng)的較為廣義的正定陣, 獲得了豐富的研究成果, 其成果得到了廣泛的應(yīng)用, 研究了它及其 hadamard積與 kronecker 積的基本性質(zhì), 獲得了許多新的結(jié)果. (2) 準(zhǔn)正定矩陣：在廣義正定矩陣的研究基礎(chǔ)上，給出準(zhǔn)正定矩陣的概念。改進(jìn)并推廣了著名的 schur 定理、華羅庚定理、minkowski 及 ky fan 不等式, 擴(kuò)大了 minkowski不等式的指數(shù)范圍, 并將各類(lèi)正定陣與次正定陣統(tǒng)一了起來(lái). 這對(duì)完善矩陣的正定性理論和應(yīng)用無(wú)疑都是很有價(jià)值的.應(yīng)用：(1) 二次型理論的應(yīng)用：正定二次型與正定矩陣有著一一對(duì)應(yīng)的密切聯(lián)系, 二次型理論的廣泛應(yīng)用, 在解決二次曲線(xiàn)與二次曲面方面, 實(shí)際上也是對(duì)正定矩陣的一種應(yīng)用. (2) 正定矩陣在線(xiàn)性問(wèn)題的應(yīng)用.上述文獻(xiàn)為本文提供了大量的例子, 并予以證明. 下面給出個(gè)別例題以及其證明方法：例1. 設(shè)為實(shí)矩陣, 且, 證明正定. 證明：因?yàn)? 所以線(xiàn)性方程只有零解(即, 必有), 所以, 所以正定. 例2. 設(shè)是階正定矩陣, 是實(shí)矩陣, 的秩為, 證明是正定矩陣. 證明