基于MATLAB的離散非周期信號頻域分析

1、基于matlab的離散信號頻域分析、快速傅里葉變換與采樣定理一、 離散信號頻域分析（一） 周期離散方波信號頻域分析與周期模擬信號一樣，周期離散信號同樣可以展開成傅里葉級數(shù)形式，并得到離散傅里葉級數(shù)（dfs）xk=1nn=-n2n2xne-jkn k=0,1,2,n-1 上式可以看成周期離散信號x(n)的離散傅里葉級數(shù)展開。xn=k=0n-1xkejkn上式是dfs的反變換，記作idfs并且稱x(k)與x(n)構(gòu)成一對離散傅里葉級數(shù)變換對。（以上兩式中=2/n）在mtalab中，dfs通過建立周期延拓函數(shù)語句實現(xiàn)：function xk=dfs(n,x,n)if nlength(x) n=0:n

2、-1; x=x zeros(1,n-length(x);endk=0:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=x*wnnk;end建立一個離散非周期方波信號xn=rnn=1, &0nn-10, &其他r4n通過周期延拓后所得的周期序列利用dfs計算實現(xiàn)代碼如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);x=fft(x,1024);xk1=dfs(n,x,4);xk2=dfs(n,x,8);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*8,abs(x) abs(x) abs(x),-);ho

3、ld on;stem(-4:7,abs(xk1) abs(xk1) abs(xk1),linewidth,2);grid;figure(2);plot(-1023:2048)/2048*16,abs(x) abs(x) abs(x),-);hold on;stem(-8:15,abs(xk2) abs(xk2) abs(xk2),linewidth,2);grid;set(gcf,color,w);運行后得到的是分別以4和8為周期延拓后的r4n頻譜：即第一幅圖表示的是周期序列 xn=1 -n+ 的頻譜，第二幅圖表示的是周期序列xn=1, &4kn4+4k0, &4k-4n4k的頻譜。兩圖中的包

4、絡(luò)線表示的是通過快速傅里葉變換（fft）所得到的頻譜線。（二）非周期離散方波信號頻域分析對于非周期離散方波信號，可采用離散時間傅里葉變換dtft進行分析。x=n=-+x(n)e-jn上式為離散時間信號x(n)的離散時間傅里葉變換（dtft）。xn=1202xejnd上式為x的離散時間傅里葉反變換（idtft）。由于：i=-+x(i)length(x) n=0:n-1; x=x zeros(1,n-length(x);endk=0:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=x*wnnk;end建立一個離散非周期方波信號xn=rnn=1, &0nn-10

5、, &其他r8n的離散傅里葉變換xej利用dft計算實現(xiàn)代碼如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);x=fft(x,1024);xk2=dft(n,x,16);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*32,abs(x) abs(x) abs(x),-);hold on;stem(-16:31,abs(xk2) abs(xk2) abs(xk2),linewidth,2);grid;figure(2);plot(-1023:2048)/2048*32,angle(x) angle(x) angle(x),-);hold o

6、n;stem(-16:31,angle(xk2) angle(xk2) angle(xk2),linewidth,2);grid;set(gcf,color,w);運行后分別得到該離散非周期方波信號的幅頻特性與相頻特性：幅頻特性相頻特性兩圖中的包絡(luò)線表示的是通過快速傅里葉變換（fft）所得到的頻譜線。離散傅里葉變換是傅里葉變換在時域、頻域均離散化的形式，因而與其他傅里葉變換有著相似的性質(zhì)。但是它又是從傅里葉級數(shù)派生而來的，所以又具有一些與其他傅里葉變換不同的特性，最主要的是圓周位移性質(zhì)和圓周卷積性質(zhì)。二、 快速傅里葉變換（fft）快速傅里葉變換，簡稱fft，是計算dft的快速算法，習(xí)慣上是指以

7、庫利和圖基算法為基礎(chǔ)的一類高效算法。根據(jù)快速傅里葉變換基本思路以及基2fft算法，在mtalab中，fft通過建立函數(shù)實現(xiàn)：function y=fft(x)m=nextpow2(x); n=2m;if length(x)nx=x,zeros(1,n-length(x); endnxd=bin2dec(fliplr(dec2bin(1:n-1,m)+1;y=x(nxd); for mm=1:m nmr=2mm; u=1;wn=exp(-i*2*pi/nmr); for j=1:nmr/2 for k=j:nmr:n kp=k+nmr/2; t=y(kp)*u; y(kp)=y(k)-t; y(

8、k)=y(k)+t; end u=u*wn; end end建立一個離散非周期方波信號xn=rnn=1, &0nn-10, &其他r8n的快速傅里葉變換利用fft計算實現(xiàn)代碼如下：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);fx=fft(x,512);z=abs(fx);k=0:length(z)-1;plot(k,z);運行后得到該離散非周期方波信號的幅頻特性：分別利用fft和dft進行相同運算：clear all;close all;clc;k=input(k=);n=2k;n=0:n-1;x=randn(1,2k);tic,x=fft(x,n),toctic,

9、x=dft(n,x,n),toc運行結(jié)果如下： columns 1 through 4069elapsed time is 0.218536 seconds. columns 1 through 4069elapsed time is 16.726921 seconds.由此可見，采用dft計算時間為16.726921秒，而采用fft計算只需要0.218536秒；說明，fft在計算速度上，明顯優(yōu)于其他算法。三、采樣定理（一）時域采樣定理為了驗證時域采樣定理，可以把原始采樣序列每隔d-1點取一個值，形成一個新的序列。在matlab中，通過以下程序?qū)崿F(xiàn)：clear all;close all;cl

10、c;x=ones(1,8);d=2;xd=x(1:d:length(x);fx=fft(x,512);fxd=fft(xd,512);z=abs(fx);s=abs(fxd);k=0:length(z)-1;plot(k,s,k,z);d=2時得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。d=3時得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。 d=4時得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。d=0.5時得到的原始序列與采樣序列的幅頻特性（藍(lán)色為原始序列，綠色為采樣序列）。由此可見，采樣周期在d大于2的范圍內(nèi)，出現(xiàn)明顯的混疊現(xiàn)象，有失真產(chǎn)生，而在小于1的范圍內(nèi)，采樣過于密集，增加運算系統(tǒng)負(fù)擔(dān)。因此，可驗證時域采樣定理。（二）頻域采樣定理為了驗證頻域采樣定理，可以把原始采樣序列每隔d-1點取一個值，形成一個新的序列。在matlab中，通過以下程序?qū)崿F(xiàn)：clear all;close all;clc;x=-10:0.001:10;y=(sin(x)/x;x=fft(y,20);d=7;xd=x(1:d:le