測(cè)試系統(tǒng)的特性

1、第4章測(cè)試系統(tǒng)的特性一般測(cè)試系統(tǒng)由傳感器、中間變換裝置和顯示記錄裝置三部分組成。測(cè)試過程中傳感 器將反映被測(cè)對(duì)象特性的物理量（如壓力、加速度、溫度等）檢出并轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，然后 傳輸給中間變換裝置；中間變換裝置對(duì)電信號(hào)用硬件電路進(jìn)行處理或經(jīng)a/d變成數(shù)字量，再將結(jié)果以電信號(hào)或數(shù)字信號(hào)的方式傳輸給顯示記錄裝置；最后由顯示記錄裝置將測(cè)量結(jié) 果顯示出來，提供給觀察者或其它自動(dòng)控制裝置。測(cè)試系統(tǒng)見圖 4-1所示。根據(jù)測(cè)試任務(wù)復(fù)雜程度的不同，測(cè)試系統(tǒng)中每個(gè)環(huán)節(jié)又可由多個(gè)模塊組成。例如，圖 4-2所示的機(jī)床軸承故障監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中的中間變換裝置就由帶通濾波器、a/d變換器和快速傅里葉變換（fast fourier

2、 transform,簡(jiǎn)稱fft）分析軟件三部分組成。測(cè)試系統(tǒng)中傳感器為 振動(dòng)加速度計(jì)，它將機(jī)床軸承振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)；帶通濾波器用于濾除傳感器測(cè)量信 號(hào)中的高、低頻干擾信號(hào)和對(duì)信號(hào)進(jìn)行放大，a/d變換器用于對(duì)放大后的測(cè)量信號(hào)進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字量；fft分析軟件則對(duì)轉(zhuǎn)換后的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，計(jì)算 出信號(hào)的頻譜；最后由計(jì)算機(jī)顯示器對(duì)頻譜進(jìn)行顯示。要實(shí)現(xiàn)測(cè)試，一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)必須可靠、不失真。因此，本章將討論測(cè)試系統(tǒng)及其輸入、 輸出的關(guān)系，以及測(cè)試系統(tǒng)不失真的條件。圖4-1測(cè)試系統(tǒng)簡(jiǎn)圖-叵四-帶通謔演a/d變換 fft變換信號(hào)就譜軸承振動(dòng)信號(hào)圖4-2軸承振動(dòng)信號(hào)的測(cè)試系統(tǒng)4.1線性系

3、統(tǒng)及其基本性質(zhì)機(jī)械測(cè)試的實(shí)質(zhì)是研究被測(cè)機(jī)械的信號(hào)x(t)(激勵(lì))、測(cè)試系統(tǒng)的特性h(t)和測(cè)試結(jié)果 y(t)(響應(yīng))三者之間的關(guān)系，可用圖 4-3表示。x(t) h(t) y(t)圖4-3測(cè)試系統(tǒng)與輸入和輸出的關(guān)系它有三個(gè)方面的含義：(1)如果輸入x(t)和輸出y(t)可測(cè)，則可以推斷測(cè)試系統(tǒng)的特性h(t);(2)如果測(cè)試系統(tǒng)特性h(t)已知，輸出y(t)可測(cè)，則可以推導(dǎo)出相應(yīng)的輸入x(t)；(3)如果輸入x(t)和系統(tǒng)特性h(t)已知，則可以推斷或估計(jì)系統(tǒng)的輸出y(t)0這里所說的測(cè)試系統(tǒng)，廣義上是指從設(shè)備的某一激勵(lì)輸入(輸入環(huán)節(jié))到檢測(cè)輸出量 的那個(gè)環(huán)節(jié)(輸出環(huán)節(jié))之間的整個(gè)系統(tǒng)，一般包括

4、被測(cè)設(shè)備和測(cè)量裝置兩部分。所以只 有首先確知測(cè)量裝置的特性，才能從測(cè)量結(jié)果中正確評(píng)價(jià)被測(cè)設(shè)備的特性或運(yùn)行狀態(tài)。理想的測(cè)試裝置應(yīng)具有單值的、確定的輸入 /輸出關(guān)系，并且最好為線性關(guān)系。由于在 靜態(tài)測(cè)量中校正和補(bǔ)償技術(shù)易于實(shí)現(xiàn)，這種線性關(guān)系不是必須的(但是希望的)；而在動(dòng)態(tài)測(cè)量中，測(cè)試裝置則應(yīng)力求是線性系統(tǒng)，原因主要有兩方面：一是目前對(duì)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 處理和分析方法比較完善；二是動(dòng)態(tài)測(cè)量中的非線性校正比較困難。但對(duì)許多實(shí)際的機(jī)械 信號(hào)測(cè)試裝置而言，不可能在很大的工作范圍內(nèi)全部保持線性，只能在一定的工作范圍和 誤差允許范圍內(nèi)當(dāng)作線性系統(tǒng)來處理。線性系統(tǒng)輸入x(t)和輸出y(t)之間的關(guān)系可以用式(4

5、-1)來描述andny(t)dtnan 4dny(t)dtn=bmdmx(t)dtm,dm4x(t) . dx(t)bmdtm4. b1 dtb0x(t)(4-1)當(dāng)an, an，a0和bm, bm，b0均為常數(shù)時(shí)，式(4-1)描述的就是線性系統(tǒng)，也稱為時(shí)不變線性系統(tǒng)，它有以下主要基本性質(zhì)：(1)疊加性若 xkt y(t) , x2(t)t y2(t),則有(4-2)xi(t) _x2(t) i，(t) _ y2(t) 1(2)比例性若x(t)- y(t),則對(duì)任意常數(shù)c有cx(t) cy(t)(3)微分性若x(t)t y(t),則有dx(t) dy(t)-dt，dt(4)積分性若系統(tǒng)的初始狀

6、態(tài)為零，x(t)t y(t),則有 tt0x(t)dt 0y(t)dt(4-3)(4-4)(4-5)(5)頻率保持性若當(dāng)系統(tǒng)輸入為某一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出將只有該同一頻率設(shè)系統(tǒng)輸入為正弦信號(hào)：x(t) =xoejwt,則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為(4-6)y(t)ej(0t )上述線性系統(tǒng)的特征，特別是頻率保持性，在測(cè)試工作中具有非常重要的作用。因?yàn)?在實(shí)際測(cè)試中，測(cè)得的信號(hào)常常會(huì)受到其他信號(hào)或噪聲的干擾，這時(shí)依據(jù)頻率保持特性可 以認(rèn)定測(cè)得信號(hào)中只有與輸入信號(hào)相同的頻率成分才是真正由輸入引起的輸出。同樣，在 機(jī)械故障診斷中，根據(jù)測(cè)試信號(hào)的主要頻率成分，在排除干擾的基礎(chǔ)上，依據(jù)頻率保持特 性推出

7、輸入信號(hào)也應(yīng)包含該頻率成分，通過尋找產(chǎn)生該頻率成分的原因，就可以診斷出故 障的原因。4.2測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性就是在靜態(tài)量測(cè)量情況下描述實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)與理想線性時(shí)不變系 統(tǒng)的接近程度。靜態(tài)量測(cè)量時(shí)，裝置表現(xiàn)出的響應(yīng)特性稱為靜態(tài)響應(yīng)特性，常用來描述靜 態(tài)響應(yīng)特性的參數(shù)主要有靈敏度、非線性度和回程誤差等。4.2.1 靈敏度當(dāng)測(cè)試系統(tǒng)的輸入x(t)在某一時(shí)刻t有一個(gè)增量ax時(shí)，輸出y到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)時(shí)發(fā)生一個(gè) 相應(yīng)的變化n,則稱s = (4-7)x為該測(cè)量系統(tǒng)的絕對(duì)靈敏度，如圖 4-4所示。如果不考慮系統(tǒng)的過渡過程，由線性系統(tǒng)的性質(zhì)可知，線性系統(tǒng)的靈敏度可以表示為s = = c(4-8)a

8、0式中，a。，bo為常數(shù)，c表示一比例常數(shù)可見，線性系統(tǒng)的靜態(tài)特征曲線為一條直線。 例如，某位移測(cè)量系統(tǒng)在位移變化1nm時(shí) 輸出的電壓變化有5mv ,則其靈敏度s=5v/mm,對(duì)輸入、輸出量綱相同的測(cè)量系統(tǒng)，具靈敏度無量綱，常稱為放大倍數(shù)。由于外界環(huán)境條件等因素的變化，可能造成測(cè)試系統(tǒng)輸出特性的變化，例如由環(huán)境溫度的變化而引起的測(cè)量和放大電路特性的變化等，最終反映為靈敏度發(fā)生變化，由此引起的靈敏度變化稱為靈敏度漂移，如圖4-4所示。黑埔度潦端a)b)圖4-4絕對(duì)靈敏度及其漂移a)絕對(duì)靈敏度b)靈敏度漂移在設(shè)計(jì)或選擇測(cè)試系統(tǒng)的靈敏度時(shí)，應(yīng)該根據(jù)測(cè)量要求合理進(jìn)行。一般而言，測(cè)試系 統(tǒng)的靈敏度越高，

9、測(cè)量的范圍就越窄，穩(wěn)定性也往往越差。4.2.2 非線性度非線性度是指測(cè)試系統(tǒng)的輸入、輸出之間能否像理想線性系統(tǒng)那樣保持線性關(guān)系的種度量。通常采用靜態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)的辦法求出測(cè)試系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系曲線（即實(shí)驗(yàn)曲線或標(biāo)定曲線），該曲線偏離其擬合直線的程度即為非線性度?？梢远x非線性度 f為系統(tǒng)的全 程測(cè)量范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)曲線和擬合直線偏差 b的最大值與輸出范圍（量程） a之比。如圖4-5 所示。max（b）f =-x100%（4-9）a4.2.3 回程誤差引起回程誤差的原因一般是由于測(cè)試系統(tǒng)中有滯后環(huán)節(jié)或工作死區(qū)，它也是表征測(cè)試 系統(tǒng)非線性特征的一個(gè)指標(biāo)，可以反映同一輸入量對(duì)應(yīng)多個(gè)不同輸出量的情況，通常也由

10、 靜態(tài)測(cè)量求得，如圖4-6所示。定義為在同樣的測(cè)量條件下，在全程測(cè)量范圍內(nèi)，當(dāng)輸入量 由小增大或由大減小時(shí)，對(duì)于同一個(gè)輸入量所得到的兩個(gè)數(shù)值不同的輸出量之間差值的最 大值與全程輸出范圍的比值。記作(4-10)h=max包 %a回程誤差可以由摩擦、間隙、材料的受力變形或磁滯等因素引起，也可能反映著儀器的不工作區(qū)（又稱死區(qū)）的存在，所謂不工作區(qū)就是輸入變化對(duì)輸出無影響的范圍。4.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)，其輸出隨輸入而變化的關(guān)系。一般地，在所考慮的測(cè)量范圍內(nèi)，測(cè)試系統(tǒng)都可以認(rèn)為是線性系統(tǒng)，因此就可以用式（4-1）這一時(shí)不變線性系統(tǒng)微分方程來描述測(cè)試系統(tǒng)與輸入、輸

11、出之間的關(guān)系，但使用時(shí)有許多不便。因此，常通過拉普拉斯變換建立其響應(yīng)的“傳遞函數(shù)”，通過傅里葉變換建立其相應(yīng)的“頻率響應(yīng)函數(shù)”，以便更簡(jiǎn)便地描述測(cè)試系統(tǒng)的特性。4.3.1 傳遞函數(shù)對(duì)運(yùn)行機(jī)械進(jìn)行測(cè)量時(shí)，得到的測(cè)量結(jié)果不僅受設(shè)備靜態(tài)特性的影響，也會(huì)受到測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，因此，需要對(duì)測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有清楚的了解。式(4-1)描述了測(cè)試系統(tǒng)中輸入輸出間的關(guān)系，對(duì)于線性系統(tǒng)，若系統(tǒng)的初始條件為零，即在考察時(shí)刻 t以前(tt 0-),其輸入、輸出信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，則對(duì)式(4-1)作拉普拉斯變換，可得(ansn +ansn+ + a1s + a0)y(s) =(bmsm +bmsm+ b)s

12、 + b0)x(s)(4-11)定義輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比為傳遞函數(shù)，即h (s) = y=bmsm +bm 1sm/. . + bjs + bo(4.x(s) ansn anj1sna1s a0式中，s為拉普拉斯算子，s=s+jco；an,an，a1，a0和bn, bn，b1,b0是由測(cè)試系統(tǒng)的物理參數(shù)決定的常系數(shù)。由式(4-12)可知，傳遞函數(shù)以代數(shù)式的形式表征了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳輸、轉(zhuǎn)換特性。它包含了瞬態(tài)s=s和穩(wěn)態(tài)s= j響應(yīng)的全部信息。式(4-1)則是以微分方程的形式表征系 統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)的關(guān)系。在運(yùn)算上，傳遞函數(shù)比解微分方程要簡(jiǎn)便。傳遞函數(shù)具有如下 主要特點(diǎn)：(1)

13、 h(s)描述了系統(tǒng)本身的固有動(dòng)態(tài)特性，而與輸入 x(t)及系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。(2) h (s)是對(duì)物理系統(tǒng)特性的一種數(shù)學(xué)描述，而與系統(tǒng)的具體物理結(jié)構(gòu)無關(guān)。h (s)是 通過對(duì)實(shí)際的物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型式(4-1)后，經(jīng)過拉普拉斯變換后所得出的，所以 即同一形式的傳遞函數(shù)可表征具有相同傳輸特性的不同物理系統(tǒng)。(3) h (s)的分母取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而分子則表示系統(tǒng)同外界之間的關(guān)系， 如輸入點(diǎn) 的位置、輸入方式、被測(cè)量及測(cè)點(diǎn)布置情況等。分母中的 s的幕次n代表系統(tǒng)微分方程的階 數(shù)，如當(dāng)門=1或門=2時(shí)，分別稱為一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)。一般測(cè)試系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，其分母中的的s的幕次總是高于分子中

14、s的幕次(n a m)。4.3.2 頻率響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù)h(s)是在復(fù)數(shù)域中描述和考察系統(tǒng)的特性，與時(shí)域中用微分方程來描述和考察系統(tǒng)的特性相比有許多優(yōu)點(diǎn)。頻率響應(yīng)函數(shù)是在頻域中描述和考察系統(tǒng)特性，與傳遞函 數(shù)相比，頻率響應(yīng)函數(shù)易通過實(shí)驗(yàn)來建立，且其物理概念清楚。在系統(tǒng)傳遞函數(shù)h(s)已經(jīng)知道的情況下，令h (s)中的s的實(shí)部為零，即s=jo便可以求得頻率響應(yīng)函數(shù)h(s)。對(duì)于時(shí)不變線性系統(tǒng)，有頻率響應(yīng)函數(shù) h(s)bm(j)mbm_i(j )mj.bi(j)bo(4-13)h ( ) nnjan(j)an(j ) 一.ai(j)a0式中，j=j-l。若在t =0時(shí)刻將輸入信號(hào)接入時(shí)不變線性系統(tǒng)

15、，令 s = jm代入拉普拉斯變換中，實(shí)際上是將拉普拉斯變換變成傅里葉變換。又由于系統(tǒng)的初始條件為零，因此，系統(tǒng)的頻率響 應(yīng)函數(shù)h)就成為輸出y(t)、輸入x(t)的傅里葉變換丫儂)、x)之比，即h()丫()x( )(4-14)由式(4-14),在測(cè)得輸出y(t)和輸入x(t)后，由其傅里葉變換y和x(6)即可求得頻率響應(yīng)函數(shù)h)=當(dāng)吹。頻率響應(yīng)函數(shù)是描述系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧輸入和其穩(wěn)態(tài)輸出的關(guān)系，在測(cè)x(，)量系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)時(shí)，必須在系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)階段時(shí)才測(cè)量 頻率響應(yīng)函數(shù)是復(fù)數(shù)，因此，可以寫成復(fù)指數(shù)形式(4-15)h()二 a( )ej ( )式中，a(6)稱為系統(tǒng)的幅頻特性；邛()稱為系統(tǒng)的相

16、頻特性?？梢?，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) h8)或其幅頻特性a8)、相頻特性中(6)都是簡(jiǎn)諧輸入頻 率。的函數(shù)。為研究問題方便，有時(shí)常用曲線來描述系統(tǒng)的傳輸特性。a(w)-o曲線和中一曲線分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。實(shí)際作圖時(shí)，常對(duì)自變量取對(duì)數(shù)標(biāo)尺，幅 值坐標(biāo)取分貝數(shù)，即作20lg a(。)-lg(6)和中8)-lg(6)曲線，兩者分別稱為對(duì)數(shù)幅頻曲線和 對(duì)數(shù)相頻曲線，總稱為伯德圖(bode圖)。如果將h 9)寫成實(shí)部和虛部形式，有h( ) = p( ) jq()式中，p)和q(co)都是6的實(shí)函數(shù)，曲線p)-切和q)-8分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性曲線。如果將h 9)的實(shí)部和虛部分

17、別作為縱、橫坐標(biāo)，則曲線q) p伽)稱為奈奎斯特圖(nyquist圖)，顯然a() =，p2儂)+q29)(4-16)中(8)=arctan q ()(4-17)p(w)4.3.3 脈沖響應(yīng)函數(shù)若測(cè)試系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)，即 x(t) = 6(t)時(shí)，x(s)=1。因此，有y(s) h(s) =-(-) =y(s) x(s)對(duì)上式作拉普拉斯逆變換，有y(t) = h(t)稱h(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)為測(cè)試系統(tǒng)特性的時(shí)域描述。至此，測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性在時(shí)域可以用 h(t)來描述，在頻域可以用h(0)來描述，在復(fù)數(shù)域可以用h(s)來描述。三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。4.3.4 環(huán)節(jié)的串

18、聯(lián)和并聯(lián)實(shí)際的測(cè)試系統(tǒng)，通常都是由若干個(gè)環(huán)節(jié)組成，測(cè)試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞 函數(shù)之間的關(guān)系取決于各環(huán)節(jié)的連接形式。若系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖 4-7所示，且 后面的環(huán)節(jié)對(duì)前一環(huán)節(jié)沒有影響，各環(huán)節(jié)自身的傳遞函數(shù)為hi(s),則測(cè)試系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)(4-18)圖4-7系統(tǒng)串聯(lián)h (s) ： h i(s)(4-19)相應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為 nh(j ) =一 hi(j ) i=1其幅頻、相頻特性為 n(4-20)aq)= 口 a3)i 1n()=)i 1(4-21)若系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，如圖 4-8所示，則測(cè)試系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為 nh (s)- hi(s) i =1圖4-8系統(tǒng)并

19、聯(lián)相應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為(4-22)nh(j ) =、hi(j )i =1需要注意：當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母中s的幕次n值大于2時(shí)，系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。由于 一般的測(cè)試系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母總可以分解成為 s的一次和二次實(shí)系 數(shù)因式，即r(n t) 2nnq2-2.ans +an1s+.+ais + a0 = anli (s+pi)n (s +2、丹 ms + ni)(4-23)i ti 1式中，r、j、輻i為實(shí)常數(shù)，其中g(shù)1。故式(4-12)可改寫為r q(n-r) 22.2s 2 廣，nis . ，ni(4-24)h(s) = q、式中,叫、qi為實(shí)常數(shù)。i = s . pi

20、-式(4-24)表明：任何一個(gè)高階系統(tǒng)，總可以把它看成是若干個(gè)一階、二階系統(tǒng)的用、 并聯(lián)。所以，研究一階和二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，具有非常普遍的意義。4.4 不失真測(cè)試條件由于受測(cè)試系統(tǒng)的影響，總會(huì)產(chǎn)生某種程度的失真。所謂測(cè)試系統(tǒng)的不失真，就是測(cè) 試系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵(lì)的波形相比，只有幅值大小和出現(xiàn)的時(shí)刻有所不同，不存在形狀上的 變化。若測(cè)試系統(tǒng)的輸入輸出分別為 x(t)和y(t),則不失真測(cè)試的含義可以表示為(4-25)y(t) = kx(t-t。)式中，k為常量，to為滯后時(shí)間。對(duì)上式作傅立葉變換，可求得系統(tǒng)頻響函數(shù)為-0h(): a(，)et(4-26)若要不失真就必須滿足a(o)= k“侔)=

21、to(4-27)式中，k和to均為常量。理想的不失真測(cè)試系統(tǒng)其幅頻和相頻特性曲線如圖實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)試的條件是幅頻特性曲線是一條平行于4-9所示?？梢?，測(cè)試系統(tǒng)在頻域內(nèi) 。軸的直線，相頻特性曲線是斜率為-to的直線。loa)圖4-9理想不失真測(cè)量系統(tǒng)特性a）幅頻特性 b）相頻特性實(shí)際上，許多線性測(cè)試系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)波形并不一致，信號(hào)經(jīng)過測(cè)試系統(tǒng)后大都產(chǎn)生失真。這種失真或是由于系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的幅度產(chǎn)生了不同程度的衰減或放大（a（m）不為常量），從而使得響應(yīng)中各頻率分量的幅度相對(duì)比例發(fā)生了變化；或是由于系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的相移與頻率不成比例（巴m與與之間為非線性關(guān)系），結(jié)果使響應(yīng)中各頻率分量間的相對(duì)位

22、置發(fā)生了變化；或是由于以上兩種失真的綜合。由7。）不為常量引起的失真稱為幅 值失真，而由之與。之間非線性關(guān)系引起的失真稱為相位失真。需要說明的是，若測(cè)量目的是為了精確獲取信號(hào)波形，那么式（4-27）表示的不失真條 件完全滿足要求。但是獲取信號(hào)用作反饋控制，則上述條件并不全面，因?yàn)闀r(shí)間滯后可能 會(huì)破壞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這時(shí)還需要 邛儂）=0才是理想條件。要使測(cè)試系統(tǒng)精確可靠，測(cè)試系統(tǒng)的定標(biāo)不僅應(yīng)該精確，還應(yīng)當(dāng)定期地進(jìn)行校準(zhǔn)，定 標(biāo)和校準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)，就是對(duì)測(cè)試系統(tǒng)本身特性參數(shù)的測(cè)試。機(jī)械信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的定 標(biāo)和校準(zhǔn)，目前最為常用的有兩種，即頻率響應(yīng)法和階躍響應(yīng)法。頻率響應(yīng)法就是通過對(duì) 測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)

23、行穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)實(shí)驗(yàn)以測(cè)得其動(dòng)態(tài)特性，即對(duì)測(cè)試系統(tǒng)輸入頻率可調(diào)的正弦信 號(hào)，在每一個(gè)頻率點(diǎn)，當(dāng)輸出達(dá)到穩(wěn)定后分別測(cè)其輸入輸出的幅值比和相角差，就可以得 到該系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線；階躍響應(yīng)法就是對(duì)測(cè)試系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍信號(hào)并通過測(cè)得的 輸出信號(hào)來估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。4.5 一階和二階系統(tǒng)的特性從前述章節(jié)4.3可知，一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)是分析和研究高階系統(tǒng)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié) 將詳細(xì)介紹一階和二階系統(tǒng)的特性及其在典型信號(hào)輸入下的響應(yīng)4.5.1 一階系統(tǒng)特性首先看一個(gè)具體的例子。圖4-10是一個(gè)液柱式溫度計(jì)，如以ti(t)表示溫度計(jì)的輸入信 號(hào)即被測(cè)溫度，以(t)表示溫度計(jì)的輸出信號(hào)即示值溫度，則輸入與輸

24、出間的關(guān)系為!圖4-10液柱式溫度計(jì)(4-28)(4-29)t(t)-to(t) pdto(t)crdtdto(t)北甫to(t)=ti(t)式中，r為傳導(dǎo)介質(zhì)的熱阻；c為溫度計(jì)的熱容量。式(4-29)表明，液柱式溫度計(jì)系統(tǒng)的微分方程是一階微分方程，可認(rèn)為該溫度計(jì)是一 個(gè)一階測(cè)試系統(tǒng)。對(duì)其作拉普拉斯變換，并令 t=rc (為溫度計(jì)時(shí)間常數(shù))，則有wsto(s) +t0(s) =ti(s)(4-30)因此，傳遞函數(shù)為h(s)=t=(4-31)ti(s) 1 .s相應(yīng)地，溫度計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為1,、hj)=;(4-32)1 j ,可見，液柱式溫度計(jì)的傳遞特性具有一階系統(tǒng)特性。下面從一般意義上分

25、析一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。一階系統(tǒng)微分方程的通式為a dy +a0y(t) = box(t)(4-33)dt用ao除方程各項(xiàng)得(4-34)ai dy(t)boy(t) = x(t)% dtao式中，曳具有時(shí)間量綱，稱為時(shí)間常數(shù)，常用符號(hào)t來表示；%則是系統(tǒng)的靜態(tài)靈敏度用 aoa。s表小o在線性系統(tǒng)中，s為常數(shù)。由于s值的大小僅表示輸出與輸入之間(輸入為靜態(tài)量時(shí)) 放大的比例關(guān)系，并不影響對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究，因此，為討論問題方便起見，可以令s=%=1,這種處理稱為靈敏度歸一處理。在作了上述處理之后，一階系統(tǒng)的微分方程可 ao改寫為對(duì)上式作拉普拉斯變換得則一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其頻率響應(yīng)為-dy(

26、t)y(t) = x(t)dtsy(s) y(s) =x(s)h(s)=y(s)x(s)(4-35)(4-36)(4-37)11hj)=-=2-jjot 1+(!)4 a=，re(6)2 十im21 ( )21,1 ( 1 )2(4-38)巴6=arctan露-arctan( )中(0)為負(fù)值表示系統(tǒng)輸出信號(hào)的相位滯后于輸入信號(hào)的相位。一階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線如圖4-11所示a)b)圖4-11 一階系統(tǒng)的幅值與相頻特性a)幅頻曲線 b)相頻曲線從一階系統(tǒng)的幅頻曲線來看，與動(dòng)態(tài)測(cè)試不失真的條件相對(duì)照，顯然它不滿足a()為水平直線的要求。對(duì)于實(shí)際的測(cè)試系統(tǒng)，要完全滿足理論上的動(dòng)態(tài)測(cè)試不失真條件

27、幾乎是 不可能的，只能要求在接近不失真的測(cè)試條件的某一頻段范圍內(nèi)，幅值誤差不超過某一限 度。一般在沒有特別指明精度要求的情況下，系統(tǒng)只要是在幅值誤差不超過5% (即在系統(tǒng)靈敏度歸一處理后，a(值不大于1.05或不小于0.95)的頻段范圍內(nèi)工作，就認(rèn)為可以滿 足動(dòng)態(tài)測(cè)試要求。一階系統(tǒng)當(dāng)。=1/七時(shí)，ag)值為0.707 (-3db),相位滯后45 ,通常 稱切=1八為一階系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率。只有當(dāng)與遠(yuǎn)小于1/t時(shí)幅頻特性才接近于1,才可以不同 程度地滿足動(dòng)態(tài)測(cè)試要求。在幅值誤差一定的情況下，七越小，則系統(tǒng)的工作頻率范圍越大。 或者說，在被測(cè)信號(hào)的最高頻率成分 仍一定的情況下，七越小，則系統(tǒng)輸出的幅值

28、誤差越小。從一階系統(tǒng)的相頻曲線來看，同樣也只有在o遠(yuǎn)小于1/e時(shí)，相頻曲線接近于一條過零 點(diǎn)的斜直線，可以不同程度地滿足動(dòng)態(tài)測(cè)試不失真條件， 而且也同樣是七越小，則系統(tǒng)的工 作頻率范圍越大。綜合上述分析，可以得出結(jié)論：反映一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)參數(shù)是時(shí)間常數(shù) t,原 則上是t越小越好。在常見的測(cè)量裝置中，彈簧阻尼系統(tǒng)以及簡(jiǎn)單的rc低通濾波器等都屬于一階系統(tǒng)，如 圖4-12所示。a)b)圖4-12 一階系統(tǒng)a)機(jī)械一階系統(tǒng)b)電氣一階系統(tǒng)4.5.2二階系統(tǒng)特性圖4-13所示的動(dòng)圈式顯示儀振子是一個(gè)典型二階系統(tǒng)。在筆式記錄儀和光線示波器等動(dòng)圈式振子中，通電線圈在永久磁場(chǎng)中受到電磁轉(zhuǎn)矩 kii(t

29、)的作用，產(chǎn)生指針偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，偏 轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)受到扭轉(zhuǎn)阻尼轉(zhuǎn)矩 c 空和彈性恢復(fù)轉(zhuǎn)矩k于的作用，根據(jù)牛頓第二定 律，這個(gè)系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系可以用二階微分方程描述j 字) cdd w(4-39)式中，i(t)為輸入動(dòng)圈的電流信號(hào)；日為振子(動(dòng)圈)的角位移輸出信號(hào)；j為振子轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c為阻尼系數(shù)，包括空氣阻尼、電磁阻尼、油阻尼等；珀為游絲的扭轉(zhuǎn)剛度；ki為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)，與動(dòng)圈繞組在氣隙中的有效面積、匝數(shù)和磁感應(yīng)強(qiáng)度等有關(guān)。圖4-13 動(dòng)圈式儀表振子的工作原理(4-40)k 一s=為系統(tǒng)的靈心對(duì)式(4-39)拉普拉斯變換后，得振子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為ki 2(s) 一 j 一 o-nh(s)

30、-_ s 2.2i(s) . c 心 s 2 %s%s sj j式中，n = jkj為系統(tǒng)的固有頻率;t =c/2% 為系統(tǒng)的阻尼率 敏度。卜面分析典型的二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。一般二階系統(tǒng)的微分方程的通式為ay(t) =bx(t)(4-41)靈敏度歸一處理后，可寫成aoaia22d y(t)dt2a2ao（稱為系統(tǒng)固有頻率）a1 dt.2，、d y(t)aidt2aodyy(t) = x(t)dt2* aoa2（稱為系統(tǒng)的阻尼率）。則(4-42)a21ao2 1na1ao于是，式（4-42）經(jīng)靈敏度歸一處理后可進(jìn)一步改寫為1 d2y(t) 2 dy(t); dt2 n dty(t)=x(t)

31、(4-43)作拉普拉斯變換得因此，二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2 n入 2s2y(s) 一sy(s) y(s) = x(s)(4-44)h(s) = 12j； n(4-45)-2 s n二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為h(j)=1一(2)2+j2t(巴)0 n0 na( ) 二他一邑午十北二)2(4-46)輻8n2t()中(缶)=_ arctann,to 、91-( )2 -n二階系統(tǒng)幅頻曲線和相頻曲線如圖 4-14所示。需要注意的是，這是靈敏度歸一后所作的曲線。從二階系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線來看，影響系統(tǒng)特性的主要參數(shù)是頻率比反和阻尼、.丁 n率之。只有在0 1并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的一段，a(m比較接近水平直線，甲(如也

32、近似與0成n線性關(guān)系，可以作動(dòng)態(tài)不失真測(cè)試。若測(cè)試系統(tǒng)的固有頻率8n較高，相應(yīng)地a)的水平直線段也較長(zhǎng)一些，系統(tǒng)的工作頻率范圍便大一些。另外，當(dāng)系統(tǒng)的阻尼率自在0.7左右時(shí)，a的水平直線段也會(huì)相應(yīng)地長(zhǎng)一些，邛(m與6之間也在較寬頻率范圍內(nèi)更接近線性。當(dāng)七=0.60.8時(shí)，可獲得較合適的綜合特性。分析表明，當(dāng) 巴=0.7時(shí)，在三=00.58的范n圍內(nèi)，a(0)的變化不超過5%,同時(shí)中(6)也接近于過坐標(biāo)原點(diǎn)的斜直線?？梢姡A系統(tǒng)a)b)圖4-14 二階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線a）幅頻特性曲線b）相頻特性曲線注意，對(duì)于二階系統(tǒng)，當(dāng) q=1時(shí)，a二,若系統(tǒng)的阻尼率甚小，則輸出幅值將 n2急劇增大，

33、故 巴=1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振。共振時(shí)，振幅增大的情況和阻尼率 z成反比，且不n管其阻尼率為多大，系統(tǒng)輸出的相位總是滯后輸入 90。另外，當(dāng)三2.5以后，中（接近 11 n于180。，a9）也接近一條水平直線段，但輸出比輸入小很多質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)及rlc電路等測(cè)試裝置都屬于二階系統(tǒng)， 如圖4-15、圖4-16所示圖4-15質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)圖4-16 rlc電路4.5.3 一階和二階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)如圖4-17所示的單位階躍信號(hào)其拉氏變換為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖1x(t) = ：01x(s)=- s4-18所示。(t-0)(t : 0)(4-47)y(t) = 1 - e/二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖 4-19所示。e - ； nty(t) =1 sin( dt :)(4-48)式中，d .1 72.1 . 2中=arctan 代 1)。0圖4-17 單位階躍輸入0 r 2731r 4t 手工圖4-18一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖4-19二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),1- 2由上圖可知，一階系統(tǒng)在單位階躍激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出誤差為零， 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間tt笛 但是，當(dāng)t =4工時(shí)，y(4e)