計量經(jīng)濟(jì)學(xué)異方差性

1、2.6 2.6 異方差性異方差性heteroskedasticityheteroskedasticity一、異方差性的概念一、異方差性的概念二、異方差性的后果二、異方差性的后果三、異方差性的檢驗三、異方差性的檢驗四、異方差性的估計四、異方差性的估計五、案例五、案例回歸分析，是在對線性回歸模型提出若干基本假回歸分析，是在對線性回歸模型提出若干基本假設(shè)的條件下，應(yīng)用普通最小二乘法得到了無偏的、設(shè)的條件下，應(yīng)用普通最小二乘法得到了無偏的、有效的參數(shù)估計量。有效的參數(shù)估計量。 但是，在實際的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這但是，在實際的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這些基本假設(shè)的情況并不多見。些基本假設(shè)的情況

2、并不多見。 如果違背了某一項基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小如果違背了某一項基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估計模型就不能得到無偏的、有效的參數(shù)估二乘法估計模型就不能得到無偏的、有效的參數(shù)估計量，計量，olsols法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計模法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計模型。型。如果隨機(jī)誤差項序列不具有同方差性，即出現(xiàn)如果隨機(jī)誤差項序列不具有同方差性，即出現(xiàn)異異方差性。方差性。說說 明明一、異方差的概念一、異方差的概念 1 1、異方差的概念、異方差的概念對于模型 ikikiiiixxxy2210 i=1,2,n同方差性假設(shè)為 2)(ivar i=1,2,n如果出現(xiàn) varii()2 i=1

3、,2,n即對于不同的樣本點，隨機(jī)誤差項的方差不再是即對于不同的樣本點，隨機(jī)誤差項的方差不再是常數(shù)，則認(rèn)為出現(xiàn)了常數(shù)，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性異方差性。2 2、異方差的類型、異方差的類型 同方差性假定的意義是指每個i圍繞其零平均值的變差，并不隨解釋變量x的變化而變化，不論解釋變量觀測值是大還是小，每個i的方差保持相同，即 i2 =常數(shù) 在異方差的情況下， i2已不是常數(shù)，它隨x的變化而變化，即 i2 =f(xi) 異方差一般可歸結(jié)為三種類型：異方差一般可歸結(jié)為三種類型：（1）單調(diào)遞增型： i2隨x的增大而增大；（2）單調(diào)遞減型： i2隨x的增大而減小;（3）復(fù) 雜 型： i2與x的變化呈復(fù)雜形式。3

4、 3、實際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性、實際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性 在該模型中，在該模型中， i的同方差假定往往不符合實際情況。的同方差假定往往不符合實際情況。對高收入家庭來說，儲蓄的差異較大；低收入家庭對高收入家庭來說，儲蓄的差異較大；低收入家庭的儲蓄則更有規(guī)律性（如為某一特定目的而儲蓄），的儲蓄則更有規(guī)律性（如為某一特定目的而儲蓄），差異較小。差異較小。 因此，因此， i的方差往往隨的方差往往隨xi的增加而增加，呈單調(diào)的增加而增加，呈單調(diào)遞增型變化。遞增型變化。 例如：例如：在截面資料下研究居民家庭的儲蓄形為 yi=0+1xi+i yi和xi分別為第i個家庭的儲蓄額和可支配收入。 一般情況下：居民收

5、入服從正態(tài)分布，處于中等收一般情況下：居民收入服從正態(tài)分布，處于中等收入組中的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。入組中的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測值的誤差大。所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀觀測誤差隨著解釋變量觀測值的增大而測值的增大而先減后增先減后增。 如果樣本觀測值的觀測誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項的主要如果樣本觀測值的觀測誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項的主要部分，那么對于不同的樣本點，隨機(jī)誤差項的方差隨部分，那么對于不同的樣本點，隨機(jī)誤差項的方差隨著解釋變量觀測值的增大而著解釋

6、變量觀測值的增大而先減后增先減后增，出現(xiàn)了異方差，出現(xiàn)了異方差性。性。 例如，例如，以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)作樣本建立居民消費函數(shù)： ci= 0+1yi+i 將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值。例如，例如，以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型 yi=ai1 ki2 li3ei產(chǎn)出量為被解釋變量，選擇資本、勞動、技術(shù)等投入要素為解釋變量，那么每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項中。由于每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程由于每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項的異方差性。度不同，造成了隨機(jī)誤差項的異方差性。 這時，

7、隨機(jī)誤差項的方差并不隨某一個解釋變這時，隨機(jī)誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，為復(fù)雜型的一量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，為復(fù)雜型的一種。種。二、異方差性的后果二、異方差性的后果1 1、參數(shù)估計量非有效、參數(shù)估計量非有效 普通最小二乘法參數(shù)估計量仍然具有無偏性仍然具有無偏性，但不具有有效性不具有有效性。因為在有效性證明中利用了 e(nn)=2i 而且，在大樣本情況下，參數(shù)估計量仍然不具有仍然不具有漸近有效性漸近有效性，這就是說參數(shù)估計量不具有一致性。以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說明：以一元線性回歸模型為例進(jìn)行說明：（1 1）仍存在無偏性：證明過程與方差無關(guān)）仍存在無偏性：

8、證明過程與方差無關(guān)由于 iiixy10 （2.4.1）的參數(shù)1的 ols 估計量1為： iiiiiiixxkyk2111故 1211)()()(iiiexxee (2.4.2)（2 2）不具備最小方差性）不具備最小方差性由于 222222111)()()()()var(iiiiiixxexxee 2222)()(iiixex （注：交叉項)(,jjiijijixx的期望為零）在i為同方差的假定下， 22)()var(iie 2222221)()var(iiixxx (2.4.3)在i存在異方差的情況下 )()()var(222iiiixfe假設(shè)2)(iixxf，并且記異方差情況下1的 ols

9、估計為1，則 2222222221)()()var(iiiiiiixxxxxxfx (2.4.4)對大多數(shù)經(jīng)濟(jì)資料有：1222iiixxx，比較(2.4.3)與(2.4.4)， )var()var(11 （2.4.5）2 2、變量的顯著性檢驗失去意義、變量的顯著性檢驗失去意義關(guān)于變量的顯著性檢驗中，構(gòu)造了t統(tǒng)計量 )(/iist (2.4.6）在該統(tǒng)計量中包含有隨機(jī)誤差項共同的方差，并且有t統(tǒng)計量服從自由度為(n-k-1)的t分布。如果出現(xiàn)了異方差性，t檢驗就失去意義。其它檢驗也類似。 3 3、模型的預(yù)測失效、模型的預(yù)測失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)； 另一方面，在預(yù)

10、測值的置信區(qū)間中也包含有隨機(jī)誤差項共同的方差2。 所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時，參數(shù)ols估計值的變異程度增大，從而造成對y的預(yù)測誤差變大，降低預(yù)測精度，預(yù)測功能失效。三、異方差性的檢驗三、異方差性的檢驗1 1、檢驗方法的共同思路、檢驗方法的共同思路 由于由于異方差性異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項具有不同的方差。那么：隨機(jī)誤差項具有不同的方差。那么： 檢驗異方差性，也就是檢驗隨機(jī)誤差項的方差與檢驗異方差性，也就是檢驗隨機(jī)誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式形式”。 問題在于用什么來表示隨機(jī)

11、誤差項的方差問題在于用什么來表示隨機(jī)誤差項的方差 一般的處理方法：一般的處理方法： 首先采用 ols 法估計模型，以求得隨機(jī)誤差項的估計量 （注意， 該估計量是不嚴(yán)格的） ， 我們稱之為 “近近似估計量似估計量” ，用ei表示。于是有 olsiiiyye)( vareeiii()()22 (2.4.7)即用ei2來表示隨機(jī)誤差項的方差。2 2、圖示檢驗法、圖示檢驗法（1）用）用x-y的散點圖進(jìn)行判斷的散點圖進(jìn)行判斷 看是否存在明顯的散點擴(kuò)大散點擴(kuò)大、縮小縮小或復(fù)雜型趨復(fù)雜型趨勢勢（即不在一個固定的帶型域中）看是否形成一斜率為零的直線看是否形成一斜率為零的直線 ( (2 2) )x x- -ei

12、2的的散散點點圖圖進(jìn)進(jìn)行行判判斷斷ei2 ei2 x x 同方差 遞增異方差ei2 ei2 x x 遞減異方差 復(fù)雜型異方差 3 3、解析法、解析法（1 1）戈德菲爾德）戈德菲爾德- -匡特（匡特（goldfeld-quandt）檢驗）檢驗 g-q檢驗以f檢驗為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。 g-qg-q檢驗的思想檢驗的思想： 先將樣本一分為二，對子樣和子樣分別作回歸，然后利用兩個子樣的殘差之比構(gòu)造統(tǒng)計量進(jìn)行異方差檢驗。 由于該統(tǒng)計量服從f分布，因此假如存在遞增的異方差，則f遠(yuǎn)大于1；反之就會等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。g-qg-q檢驗的步驟：檢驗的步驟：將n對

13、樣本觀察值(xi,yi)按解釋變量觀察值xi的大小排隊將序列中間的c=n/4個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2對每個子樣分別求回歸方程，并計算各自的殘差平方和。 分別用21ie與22ie表示對應(yīng)較小ix與較大ix的子樣本的殘差平方和(自由度均為12kcn)提出假設(shè)：0h：2221，1h：2221 21與22分別為兩個子樣對應(yīng)的隨機(jī)項方差。構(gòu)造統(tǒng)計量 ) 12, 12() 12() 12(2122kcnkcnfkcnekcnefii檢驗。給定顯著性水平，確定 f 分布表中相應(yīng)的臨界值),(21vvf。 若 f),(21vvf，存在

14、遞增異方差； 反之，不存在異方差。（2 2）戈里瑟（）戈里瑟（gleisergleiser）檢驗與帕克（）檢驗與帕克（parkpark）檢驗）檢驗 戈里瑟檢驗與帕克檢驗的思想：戈里瑟檢驗與帕克檢驗的思想： 選擇關(guān)于變量jx的不同的函數(shù)形式（如2)(jijixxf或ivjijiexxf2)(） ，對方程進(jìn)行估計并進(jìn)行顯著性檢驗； 如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。以|e|或ei2為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量jx為解釋變量，建立如下方程： ijiixfe)(| i=1,2,n （gleiser）或 ijiixfe)(2 i=1,2,n (park)注意：注

15、意： 由于f(xj)的具體形式未知，因此需要進(jìn)行各種形式的試驗。 如 park 檢驗法中，對一般的方程形式： ivjijiexxf2)(通過 ijiivxelnln)ln(22檢驗的顯著性，若存在統(tǒng)計上的顯著性，表明存在異方差性。四、異方差性的估計四、異方差性的估計加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法(wls)weighted least squaresweighted least squares1 1、加權(quán)最小二乘法的基本思想、加權(quán)最小二乘法的基本思想 加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一是對原模型加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最個新的不存在異方差性的模型

16、，然后采用普通最小二乘法估計其參數(shù)。小二乘法估計其參數(shù)。 例如，例如，在遞增異方差下，對來自較小xi的子樣本，其真實的總體方差較小，yi與回歸線擬合值之間的殘差ei的信度較大，應(yīng)予以重視; 而對較大xi的子樣本，由于真實總體的方差較大，殘差反映的信息應(yīng)打折扣。 加權(quán)最小二乘法就是對加了權(quán)重的殘差平方和加權(quán)最小二乘法就是對加了權(quán)重的殘差平方和實施實施ols法：法： 對較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)， 對較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。21102)(kkiiiixxywew2 2、一個例子、一個例子 例如，如果在檢驗過程中已經(jīng)知道：varef xiiiji( )( )()222即隨機(jī)誤差項

17、的方差與解釋變量jx之間存在相關(guān)性，那么可以用)(jxf去除原模型，使之變成如下形式的新模型： ijiijijiijixxfxxfxfyxf22110)(1)(1)(1)(1 ijikijikxfxxf)(1)(1在該模型中，存在 222)()(1)(1()(1(ijiijiijiexfxfexfvar即滿足同方差性。于是可以用 ols 估計其參數(shù)，得到關(guān)于參數(shù)01,k的無偏的、有效的估計量。這就是加權(quán)最小二乘法，在這里權(quán)就是)(1jixf。3 3、一般情況、一般情況對于模型 y=xb+n (2.4.8)存在 ecove( )()() 02w w wwwn12 (2.4.9)即存在異方差性異方

18、差性。 設(shè) wdd其中 nwwd1該模型具有同方差性。因為 1111*)()()(ddddnneenne iddddwdd1111222用d1左乘(2.4.8)兩邊，得到一個新的模型： d yd xd111 (2.4.10)即 yx* 這就是原模型(2.4.8)的加權(quán)最小二乘估計量，它是無偏、有效的。 這里權(quán)矩陣為d-1，它來自于矩陣w 。于是，可以用 ols 法估計模型(2.4.10)，得 ()* x xx y1 ()()x dd xx dd yx w xx w y11111111 (2.4.11)4 4、求得權(quán)矩陣、求得權(quán)矩陣w w的一種實用方法的一種實用方法 從前面的推導(dǎo)過程看，它來自于

19、原模型（2.4.8）殘差項n的方差-協(xié)方差矩陣，因此仍然可對原模型(2.4.8)首先采用ols法，得到隨機(jī)誤差項的近似估計量，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計量，即 w eeen12222，| /1|1|1211neeed （2.4.12）5 5、加權(quán)最小二乘法具體步驟、加權(quán)最小二乘法具體步驟 選擇普通最小二乘法估計原模型，得到隨機(jī)誤差項的近似估計量ei； 建立|1ie的數(shù)據(jù)序列； 選擇加權(quán)最小二乘法，以|1ie序列作為權(quán)，進(jìn)行估計得到參數(shù)估計量。實際上是以|1ie乘原模型的兩邊，得到一個新模型，采用普通最小二乘法估計新模型。6、注意、注意 在實際建模過程中，尤其是截面數(shù)據(jù)作樣本時，在實際建模過程中，尤其

20、是截面數(shù)據(jù)作樣本時，人們通常人們通常并不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗，而是直并不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。本時。 如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果確實存在異方差，則被有效地消除了； 如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價于普通最小二乘法。于普通最小二乘法。 在應(yīng)用軟件中，給出了權(quán)矩陣的多種選擇。在應(yīng)用軟件中，給出了權(quán)矩陣的多種選擇。 例如在例如在eviews中給出了權(quán)矩陣的中給出了權(quán)矩陣的3種選擇：種選擇：white權(quán)矩陣、權(quán)矩陣、newey-we

21、st權(quán)矩陣和自己輸入權(quán)矩陣。權(quán)矩陣和自己輸入權(quán)矩陣。五、案例五、案例1某地區(qū)居民儲蓄模型某地區(qū)居民儲蓄模型某地區(qū)某地區(qū)31年來居民收入與儲蓄額數(shù)據(jù)表年來居民收入與儲蓄額數(shù)據(jù)表 表 4-1 單位：萬元年份 居民收入(x)儲蓄(y)年份 居民收入(x)儲蓄(y)年份 居民收入(x)儲蓄(y)19688777264197917663950 199029560210519699210105198018575779 19912815016001970995490198119535819 19923210022501971105081311982211631222 19933250024201972109

22、791221983228801072 19943525025701973119121071984241271578 19953350017201974127474061985256041654 19963600019001975134995031986265001400 19973620021001976142694311987276701829 1998382002300197715522588198828300220019781673089819892743020171、直接使用ols法得： xy0846. 060.665 (-5.87) (18.04) 2r=0.91821 1、普通最小

23、二乘估計、普通最小二乘估計2 2、異方差檢驗、異方差檢驗（1 1）圖示檢驗）圖示檢驗050010001500200025003000050001000015000200002500030000350004000045000xy g-q g-q檢驗檢驗求兩個子樣本（n1=n2=12）回歸方程的殘差平方和rss1與rss2；對第 1 個子樣本（19681979） ：xy0954. 058.8231 (- 4.864) (7.300)2r=0.842, 1rss=2ie=162899.2對第二個子樣本（19771988）xy0294. 007.11412 (1.607) (1.337)2r=0.15

24、17, 2rss=2ie=769899.2計算f統(tǒng)計量 f=rss2/rss1=769899.2/162899.2=4.726查表 在5%的顯著性水平下，第1和第2自由度均為（31-7）/2-2=10的f分布臨界值為 f0.05(10,10)=2.97由于 f=4.72 f0.05(10,10)= 2.97因此，否定兩組子樣方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)項存在遞增異方差性總體隨機(jī)項存在遞增異方差性。 park park檢驗檢驗 顯然，lnxi前的參數(shù)表現(xiàn)為統(tǒng)計上顯著的，表明原數(shù)據(jù)存在異方差性表明原數(shù)據(jù)存在異方差性。 對直接使用 ols 法估計的殘差項的平方2ie進(jìn)行如下一般形式的回歸：iiiv

25、xelnln2得： iiivxeln81. 299.17ln2 t （-2.89） (4.48) 2r=0.40933 3、異方差模型的估計、異方差模型的估計設(shè)異方差222iix， 以iixxf)(去除原模型兩邊，得新模型*1*0*xy其中ixyy/*，ixx/1*，ix/*運用 ols 法得 086. 05 .708*xy (-10.21) (20.63) 2r=0.7825則原模型估計為：xy086. 05 .708 (-10.21) (20.63) 2r=0.7825與與ols估計結(jié)果相比較，擬合效果更差估計結(jié)果相比較，擬合效果更差 。為什么？關(guān)于異方差形式的假定為什么？關(guān)于異方差形式的

26、假定與與ols估計結(jié)果相比較，擬合效果更好估計結(jié)果相比較，擬合效果更好 。 如果用估計的ei2作為矩陣 w 的主對角線元素，即相當(dāng)于用| /1ie為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計（wls） ，則有xy0857.006.686 (-29.14) (43.59) 2r=0.9925五、案例五、案例2 2居民消費二元模型居民消費二元模型1、ols估計結(jié)果估計結(jié)果dependent variable: cons method: least squares date: 03/01/03 time: 00:46 sample: 1981 1996 included observations: 16 variab

27、le coefficient std. error t-statistic prob. c 540.5286 84.30153 6.411848 0.0000 gdp 0.480948 0.021861 22.00035 0.0000 cons1 0.198545 0.047409 4.187969 0.0011 r-squared 0.999773 mean dependent var 13618.94 adjusted r-squared 0.999739 s.d. dependent var 11360.47 s.e. of regression 183.6831 akaike info criterion 13.43166 sum squared resid 438613.2 schwarz crit