數(shù)學(xué)物理方程

1、數(shù)學(xué)物理方程函數(shù)方程積分方程微分方程：常微分方程、偏微分方程第一章、緒論典型方程和定解條件的建立1、弦振動(dòng)方程弦的特點(diǎn)：勻、細(xì)、軟、緊的一根彈性細(xì)線(xiàn)。振動(dòng)特性：微小的、橫向振動(dòng)：振動(dòng)的幅度很小，弦在任意位置處切線(xiàn)的傾斜角很小?？紤]一根拉緊的長(zhǎng)為l的弦，以弦的平衡位置所在直線(xiàn)為x軸，并以弦的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則右端點(diǎn)的坐標(biāo)為l。求它在平衡位置附近做微小的橫向振動(dòng)的規(guī)律。設(shè)時(shí)刻t，弦上坐標(biāo)為x的點(diǎn)的位置為M，它可由位移函數(shù)u(x,t)來(lái)表示。下面利用微元法建立方程：在任一時(shí)刻t，任取一小段弦（x,x+x），它弧長(zhǎng)為（都很?。┻@個(gè)結(jié)果說(shuō)明在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，一小段弦（x,x+x）的長(zhǎng)度可看作是不變的，

2、因此弦上各點(diǎn)的張力T的大小與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而其方向是弦的切線(xiàn)方向?，F(xiàn)在研究弧段在時(shí)刻t時(shí)的受力情況。它所受的力有弦內(nèi)部的張力T，其方向沿弦的切線(xiàn)方向。這個(gè)力我們稱(chēng)為內(nèi)力。假設(shè)在弧段運(yùn)動(dòng)方向，即ou軸方向上存在外力作用。設(shè)在時(shí)刻t，x點(diǎn)處的外力密度為，其方向垂直于x軸。則小弦段（x,x+x）上所受的外力為：概括起來(lái)就有：在ox軸方向上，弧段所受力的總和為在ou軸方向上，弧段所受力的總和為其中在時(shí)刻t時(shí)x點(diǎn)處的外力密度。弧段在時(shí)刻t沿ou軸方向的加速度為，其質(zhì)量為，所以由Newton第二定律知=因?yàn)榧僭O(shè)弦作微小的橫向振動(dòng)，故振動(dòng)過(guò)程中，弦上的切線(xiàn)傾斜角也很小。這時(shí)有（1）由略去的高于一次方的各項(xiàng)有（

3、2），于是有 兩端除以，再令有 或 （1）若弦不受外力作用，即，則（1）變?yōu)?（2）自由項(xiàng)：方程中與未知函數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng)。方程（1）為非齊次方程，方程（2）為齊次方程。方程（1），（2）稱(chēng)為弦振動(dòng)方程，或一維波動(dòng)方程。同理，我們可以得到二維波動(dòng)方程和三維波動(dòng)方程（鼓膜的振動(dòng)）（三維物體的振動(dòng)，電磁振動(dòng)）定解條件初值條件設(shè)弦在初始時(shí)刻點(diǎn)x的位移為，初始速度為，則u應(yīng)滿(mǎn)足的初值條件邊值條件由物理學(xué)得知，弦在振動(dòng)時(shí)，其端點(diǎn)（以端點(diǎn)x=0為例）所受的約束情況有三種類(lèi)型：（1）固定端點(diǎn)：或。（2）自由端點(diǎn)：，即。（3）彈性支撐端點(diǎn)：即弦的這個(gè)端點(diǎn)固定在一個(gè)與ox軸垂直的彈簧上，則彈性支撐的應(yīng)變力大小為；弦在

4、處沿ou軸方向的張力分力為，故有；而對(duì)于右端點(diǎn)，其所受的彈性支撐力為則彈性支撐的應(yīng)變力大小為；弦的張力沿ou軸方向的分力為，故有；總之，在兩個(gè)端點(diǎn)處都可表示成這里k為彈簧彈性系數(shù)，。2、熱傳導(dǎo)方程熱量傳導(dǎo)問(wèn)題可以歸結(jié)為求物體內(nèi)部“溫度分布”的確定?？紤]三維空間內(nèi)的物體G，假設(shè)其為均勻的且各向同性。設(shè)點(diǎn)處在時(shí)刻t的溫度為。在G內(nèi)任取一封閉曲面S，它所包圍的區(qū)域記為。由熱傳導(dǎo)的Fourier實(shí)驗(yàn)定律知，在t,t+dt時(shí)間內(nèi)，流過(guò)曲面ds的熱量dQ為其中為曲面ds的法向且指向ds的正側(cè)。k為熱傳導(dǎo)系數(shù)。對(duì)于曲面表示其外法方向，故從到時(shí)刻流入曲面內(nèi)部的熱量為區(qū)域內(nèi)溫度升高吸收的熱量為其中c為比熱，為質(zhì)

5、量密度。于是由“熱量守恒”有由Gauss公式有故有 （吸收的熱量） （流入的熱量）因此有 （3）其中，。若物體內(nèi)部有熱源，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)，單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為，則同理易得相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為 （4）其中。如果我們考慮的是細(xì)桿（或是薄板）內(nèi)的傳熱問(wèn)題，則方程變?yōu)?一維熱傳導(dǎo)方程 二維熱傳導(dǎo)方程如果我們考慮的是穩(wěn)恒的溫度場(chǎng)，即與時(shí)間無(wú)關(guān)，溫度分布達(dá)到某種動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，則有，這時(shí)方程（3）變?yōu)?Laplace方程 （5）方程（4）變?yōu)?poisson方程 （6）定解條件若開(kāi)始時(shí)刻物體的溫度分布為，則應(yīng)滿(mǎn)足初值條件邊值條件，分三種情況（1）若傳熱過(guò)程中邊界上的溫度為已知的函數(shù)，則有（2）若傳熱過(guò)程中，

6、物體G與周?chē)橘|(zhì)絕熱，即S上的熱量流量為零，則有（3）若傳熱過(guò)程中，物體G與周?chē)橘|(zhì)之間有熱量交換，以表示鄰接處介質(zhì)的溫度，由Newton冷卻定律知，（流出G的熱量）而單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)G的任一部分邊界流入周?chē)橘|(zhì)的熱量為單位時(shí)間流過(guò)的熱量為二者相等。由及的任意性知即其中。Laplace方程和Poisson方程只有初值條件，沒(méi)有邊值條件。一般而言，邊值條件分為三種 第一邊值條件 第二邊值條件 第三邊值條件邊值條件中的自由項(xiàng)恒為零，則是齊次邊值條件，否則為非齊次邊值條件?；靖拍钇⒎址匠蹋汉形粗瘮?shù)之偏導(dǎo)數(shù)的方程。階數(shù)：方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。線(xiàn)性：若方程中每一項(xiàng)都至多只出現(xiàn)未知

7、函數(shù)或其偏導(dǎo)數(shù)且是一次式，則稱(chēng)這個(gè)方程為線(xiàn)性偏微分方程。古典解：若一個(gè)函數(shù)具有某個(gè)偏微分方程中所出現(xiàn)的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且代入該方程中能使它變成恒等式，則這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為該方程的古典解。定解問(wèn)題：求方程滿(mǎn)足一定的附加條件的解的問(wèn)題，稱(chēng)為定解問(wèn)題。這里的附加條件稱(chēng)為定解條件。對(duì)于不同的方程，不同的情況，定解條件的類(lèi)型也不同，不能一概而論。定解問(wèn)題中，若只有初值條件，則稱(chēng)為初值問(wèn)題或Cauchy問(wèn)題。定解問(wèn)題中，若只有邊值條件，則稱(chēng)為邊值問(wèn)題。定解問(wèn)題中，若既有初值條件又有邊值條件，則稱(chēng)為混合問(wèn)題。定解問(wèn)題的適定性解的存在性解的唯一性解的穩(wěn)定性：定解條件及方程中的參數(shù)有微小變化時(shí)，解也只有微小的變動(dòng)。否則定解條件中的微小誤差，導(dǎo)致求出的解產(chǎn)生巨大的變化，這個(gè)解就不能很好地反映實(shí)際情況。適定性：一個(gè)定解問(wèn)題存在唯