橢圓問題五點格式迭代法與快速Poisson算法比較

1、蘇州大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）目錄摘要1ABSTRACT2第1章 緒論3 第1.1節(jié) 背景介紹、動機和任務3 第1.2節(jié) 關(guān)于MATLAB4第2章 橢圓方程的五點差分格式5 第2.1節(jié) 橢圓方程的介紹5 第2.2節(jié) 差分格式的建立6 第2.3節(jié) 差分格式解的存在性8 第2.4節(jié)差分格式的求解9第3章 GAUSS-SEIDEL求解及快速POISSON算法的求解11 第3.1節(jié) 迭代法的基本概念11 第3.2節(jié) Gauss-Seidel迭代法11 第3.2節(jié) 快速Poisson算法13第4章 數(shù)值試驗17第5章 總結(jié)23參考文獻24致謝251摘要本文主要討論在橢圓方程五點格式的問題中，分別使用Ga

2、uss-Seidel迭代法與快速Poisson算法對其求解，并對二者求解該線性方程組的速度進行比較。我們都知道，在系數(shù)矩陣是稀疏的大型線性方程組中，迭代法是一個很好的求解該問題的算法，主要是因為給定一個初始向量，通過一定的迭代公式，我們就可以求得之后任意一次迭代的結(jié)果，且運算簡便，但是，對于迭代法所求得的近似解是否收斂于精確解，并且，在線性方程組有快速算法的情況下，迭代法是否還能在求解方程組中占優(yōu)勢，還得我們進一步比較。本文主要是通過比較不同的、不同的步長以及不同的誤差要求，來判斷Gauss-Seidel迭代法與快速Poisson算法的優(yōu)劣。關(guān)鍵詞橢圓方程五點格式、Gauss-Seidel迭代

3、法、快速Poisson算法2AbstractIn this paper , we mainly discusses the solution of the five-point scheme for the elliptic equation by using Gauss-Seidel iteration method and fast Poisson algorithm, and compare the speed of solving the linear equation group. We all know that in the large scale linear equation

4、s with sparse coefficients, the iterative method is a very good algorithm to solve the problem, mainly because given an initial vector, we can obtain the result of any one iteration after a certain iterative formula, and the calculation is simple. However , if the approximate solution obtained by th

5、e iterative method converges to the exact solution, and if there is a fast algorithm in the linear equation group, whether the iterative method can still prevail in solving the equation group, we have to compare it further. This paper is mainly to judge the pros and cons of Gauss-seidel iterative me

6、thod and fast Poisson algorithm by comparing different, different step sizes and different error requirements.Keywordsfive-point scheme for elliptic equation, Gauss-Seidel iterative method, fast Poisson algorithm第1章 緒論第1.1節(jié) 背景介紹、動機和任務本文從橢圓方程五點格式問題出發(fā)，對其分別使用Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法進行求解，并將迭代法與快速算法的速

7、度進行比較，從而深入探究迭代法是否更方便，進而為我們以后的解題拓展新的思路（使用迭代法）。但是，在所查看的文獻中，發(fā)現(xiàn)在關(guān)于此問題上，較少有文獻提及了Gauss-Seidel迭代法或者是快速Poisson算法,更別提是對其進行比較了，而比較Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法對于求解大型線性方程組的快慢，了解迭代法的優(yōu)勢與不足，可以為我們今后考慮問題提供一個指路燈。由于此問題一方面涉及偏微分方程，而另一方面又涉及數(shù)值計算，大多數(shù)文獻都只是考慮了一半的內(nèi)容，因此，探究該問題就顯得特別地重要，主要是因為當所需求解的線性方程組的系數(shù)矩陣是大型的稀疏矩陣時，迭代法是求其解的一個非常重

8、要的方法。因而，探討迭代法對于我們今后解決問題有著切實可行的意義。而，用迭代法與快速算法進行比較，了解迭代法的特點，也為我們改進迭代法作了鋪墊。我們可以從很多文獻中看到，大多數(shù)文獻在關(guān)于橢圓方程五點格式的問題上，主要都是從概念的意義上去理解，很難求得精確解，至少手工很難，故關(guān)于此問題，教給學生的也只是定理上的證明，而沒有直觀的數(shù)據(jù)顯示。而有關(guān)Gauss-Seidel迭代法的文獻，也很少見到有文獻探討橢圓方程五點格式問題的，因而討論橢圓方程五點格式的Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法的比較，就顯得尤為重要。一方面，數(shù)值解比概念上的描述顯得更為直觀、有效，更具有說服力；另一方面

9、，橢圓問題的實現(xiàn)，為我們今后探討其他偏微分方程問題，提供了一個借鑒，即使是大型的線性矩陣，我們也能從數(shù)值解上判斷優(yōu)異，更有利于我們解決一些實際的問題。我們從橢圓方程五點格式入手，主要通過使用Gauss-Seidel迭代法以及使用快速Poisson算法計算不同條件下的誤差，其中主要用到的工具是MATLAB。通過修改不同的步長M2、M1，不同的系數(shù)以及不同的誤差精度，來探究Gauss-Seidel迭代法與快速Poisson算法的優(yōu)劣。第1.2節(jié) 關(guān)于MATLAB目前，在數(shù)學計算中，我們通常使用MATLAB，它與Mathematica以及Maple并稱為三大重要的數(shù)學軟件。在數(shù)值計算方面三者的功能都

10、是首屈一指的，值得我們好好的學習與研究。矩陣是MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位，故矩陣計算成了MATLAB的一個主要的功能，主要是以矩陣計算為基礎(chǔ)進行的工程計算。矩陣的指令表達式與我們?nèi)粘Ｋ鶎W的數(shù)學、工程中常用的形式十分類似，首先，它將數(shù)值計算、可視化和編程等功能集中在一起，即集中在便于我們讀者使用的這樣一個環(huán)境中，并且，在此環(huán)境中我們還可以使用它的繪圖功能和許多個工具箱（Toolbox），其目的是為了協(xié)助我們解決一定的科學和工程計算的問題，因此，MATLAB是一個能夠有效的進行科學研究的數(shù)學軟件，同時具有很強的計算能力，很高的編程效率等特點。除此之外，我們還可以利用MATLAB繪制一些函數(shù)、顯示一

11、些數(shù)據(jù)以及實現(xiàn)各種各樣的算法等。而且，經(jīng)過科學家們的研究，MATLAB也吸收了一些像Maple等軟件的優(yōu)點，使得我們在使用MATLAB解決問題時要比使用其他語言解決問題簡單便捷得多。故，MATLAB現(xiàn)在已經(jīng)成為了國際上認可度很高的高性能科學和工程計算軟件之一，又因為它具有使用簡單且便于擴充的功能，是我們一個很好的學習數(shù)學并進行編程計算的助手，我們今后的編程和數(shù)值計算的學習中都將離不了它。 第2章 橢圓方程的五點差分格式第2.1節(jié) 橢圓方程的介紹說起橢圓型偏微分方程，很多人首先想到的都是在大學數(shù)學課程中學到的一類問題：公式特別地復雜，運算特別地麻煩，證明過程特別地冗長我們往往是只知其然，不知其所

12、以然，這是因為橢圓型方程邊值問題的精確解是不易求得的，通常情況下我們只需要了解如何證明就可以了，而且，有些特殊問題即使求得了它的解析解，但計算往往也很復雜。因此，我們必須善于尋求近似解來求解這類問題。目前看來，比較具有代表性的橢圓型方程當屬二維Poisson方程-2ux2+2uy2=fx,y,x,y,和Laplace方程-2ux2+2uy2=0,x,y,其中，為R2中的一個有界區(qū)域。定解條件通常有如下三類：（1） 第1類邊值條件（Dirichlet邊界條件）u|=x,y,（2） 第2類邊值條件（Neumann邊界條件）u|=1x,y,（3） 第3類邊值條件（Robin邊界條件）un+x,yu|

13、=x,y,其中為的邊界，n為的單位外法向，x,y|0。我們將第2類邊值條件和第3類邊值條件統(tǒng)稱為導數(shù)邊界值條件。我們以二維Poisson方程的定解問題為例研究其有限差分解法，涉及如下三個問題：（1）如何選取網(wǎng)格，將微分方程離散化為差分方程組；（2）差分方程組的解是否存在并且是否具有唯一性以及如何求解相應的差分方程組；（3）當網(wǎng)格橫軸和縱軸的步長無限制地趨于0時，我們求得的差分方程組的近似解是否能夠收斂于微分方程組的精確解。本文中，我們考慮的是二維Poisson方程在Dirichlet邊值條件下的問題 u-u=fx,y,x,y, (2.1.1) u=x,y,x,y, (2.1.2)其中,u=2u

14、x2+2uy2。為簡單起見，只考慮為正方形區(qū)域x,y|0x2,0y2.第2.2節(jié) 差分格式的建立首先，我們把橫軸上的區(qū)間0，2進行M2等分，記h2=2/M2為x方向的步長，且有xi=0+ih2，0iM2，然后，我們把縱軸上的區(qū)間0，2進行M1等分，記h1=2/M1為y方向的步長，且有yj=0+jh1，0jM1。接著，我們用兩簇等距的平行線x=xi， 0iM2，y=yj，0jM1，將區(qū)域劃分成M2M1個小矩形，記兩簇直線的交點為結(jié)點（xi，yj），如圖（2.1）所示。 圖2.1 矩形網(wǎng)格部分記h(xi,yj)|0iM2,0jM1為屬于的結(jié)點，其中，h(xi,yj)|1iM2-1,1jM1-1 被

15、稱為h的內(nèi)結(jié)點，而稱位于上的結(jié)點為邊界結(jié)點，且有h=hh顯然，我們有h=hh。為方便來看，記=(i,j)|( xi,yj) h，=(i,j)|( xi,yj) h記Sh=v|v=vij|0iM2,0jM1為h上的網(wǎng)格函數(shù)設(shè)v=vij|0iM2,0jM1Sh，引進如下記號： Dxvij=1M2(vi+1,j-vij)， Dxvij=1M2(vi,j-vi-1,j), Dyvij=1M1(vi,j+1-vij)， Dyvij=1M1(vi,j-vi,j-1)，x2vij=1M2(Dxvij- Dxvij), y2=1M1(Dyvij-Dyvij)v=max|vij|,稱v為v的無窮范數(shù)。在結(jié)點處考

16、慮邊值問題u-u=fx,y,(x,y) u=x,y,(x,y),則有 uxi,yj-2ux2xi,yj+2uy2xi,yj=fxi,yj,(i,j), (2.2.1) uxi,yj=xi,yj,i,j, (2.2.2)定義h上的網(wǎng)格函數(shù) U=Uij|0iM2,0jM1,其中 Uij= uxi,yj,0iM2,0jM1,引理2.1:如果g(x)C4c-h,c+h,則有g(shù)c=1h2gc+h-2gc+g(c-h)-h212g44,c-h4c+h,由引理（2.1），有2ux2xi,yj=1h22uxi-1,yj-2uxi,yj+uxi+1,yj-h22124uij,yjx4 =x2Uij-h22124

17、uij,yjx4,xi-1ijxi+1,2uy2xi,yj=1h12uxi,yj-1-2uxi,yj+uxi,yj+1-h12124uxi,ijy4 =y2Uij-h12124uxi,ijy4,yi-1ij0。則由（2.2.11）知，存在(i0,j0)使得ui0,j0=M，且ui0-1,j0,ui0+1,j0,ui0,j0-1,ui0,j0+1中至少有一個小于M。考慮（2.2.10）中i,j=i0,j0的等式，有+2h22+2h12ui0,j0=1h22ui0-1,j0+ui0+1,j0+1h12ui0,j0-1+ui0,j0+1將上式兩邊取絕對值，可得+2h22+2h12M1h22ui0-1

18、,j0+ui0+1,j0+1h12ui0,j0-1+ui0,j0+10，所以上式與假設(shè)M0矛盾。故M=0。因而差分格式（2.2.6）-（2.2.7）是唯一可解的。第2.4節(jié)差分格式的求解差分格式（2.2.6），（2.2.7）是以uij|1iM2-1,1jM1-1為未知量的線性方程組。（2.2.6）可以改寫為1h22ui-1,j-1h12ui,j-1+2(1h22+1h12)ui,j-1h22ui+1,j-1h12ui,j+1=fxi,yj, 1iM2-1,1jM2-1, (2.2.12)記uj=u1ju2juM2-1,j,0jM1利用（2.2.7）可將（2.2.12）寫為Duj-1+Cuj+D

19、uj+1=fj,1jM1-1, (2.2.13)其中C=+2(1h22+1h12)1h22 1h22+2(1h22+1h12)1h22 1h22+2(1h22+1h12)1h22 1h22+2(1h22+1h12) D=-1h12 -1h12 -1h12 -1h12,fj=fx1,yj+1h22(x0,yj)fx2,yj fxm-2,yjfxm-1,yj+1h22(xm-2,yj) ,(2.2.3)進一步可以寫為 （2.2.14）由式（2.2.14）我們可以看出，它是一個大型的線性方程組，且系數(shù)矩陣是一個三對角矩陣，并且矩陣的每一行至多有5個非零元素。在數(shù)學上，我們稱這種系數(shù)矩陣為大型的稀疏矩

20、陣，因為該類矩陣中大部分的元素都是0。一般情況下，我們會使用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法或者超松弛迭代法對其求解。顯然，我們可以運用已學的知識證明（2.2.14）的系數(shù)矩陣是對稱正定的。第三章 Gauss-Seidel求解及快速Poisson算法的求解第3.1節(jié) 迭代法的基本概念設(shè)有線性方程組Ax=b，其中，A=aijRnn為非奇異矩陣，接下來，我們研究如何建立解Ax=b的迭代法。首先，將A分裂為A=M-N， （3.1.1）其中，M為一個非奇異矩陣，并且M是可以自由選擇的，目的主要是使得Mx=d容易求其數(shù)值解，在一般的情況下，我們偏向于選擇M為A的某種近似，并且稱M為分裂

21、矩陣。于是，求解Ax=b轉(zhuǎn)化為求解Mx=Nx+b，即，Ax=b求解x=M-1Nx+M-1b，即 x=Bx+f， （3.1.2）于是，我們可以得到構(gòu)造一階的定常迭代法：x0初始向量,x(k+1)=Bx(k)+f,k=0,1, (3.1.3)其中，B=M-1N=M-1M-A=I-M-1A,f=M-1b。稱B=I-M-1A為迭代法的迭代矩陣，選取我們所需的M陣，就得到解Ax=b的各種迭代法。第3.2節(jié) Gauss-Seidel迭代法3.2.1 Gauss-Seidel迭代法的求解首先，我們來考慮一下如下的線性方程組Ax=b， （3.2.1）其中，A=a11a12a21a22a1na2nan1an2a

22、nn, x=x1x2xn, b=b1b2bn,然后，我們把A拆分成三個部分D-L-U.我們通過選取所需的M為系數(shù)矩陣A的下三角部分，即選取M= D-L（下三角矩陣），A=M-N,就得到了使用Gauss-Seidel迭代法求解Ax=b的途徑 x0，初始向量，x(k+1)=Bx(k)+f,k=0,1, （3.2.2）其中B=I-D-L-1A=D-L-1D-L-A=D-L-1UG,f=D-L-1b.稱G=D-L-1U為求解Ax=b的Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣。下面，給出的是使用Gauss-Seidel迭代法求解方程組所得的未知向量的具體某一個分量的計算公式 x(k)=(x1k,xik,

23、xnk)T, 從式（3.2.2）我們可以得到(D-L) xk+1=Uxk+b,或Dxk+1=Lxk+1+Uxk+b，即aiixi(k+1)=bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjk,i=1,2,n.于是，使用Gauss-Seidel迭代法來求解線性方程組Ax=b，具體的迭代法的計算公式如下 x(0)=(x10,xn0)T，初始向量，xi(k+1)=bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjkaii,i=1,2,n;k=0,1,. (3.2.3)通過式（3.2.3）我們可以了解到，當計算所求向量x(k+1)的第i個分量xi(k+1)時，Gauss-Seidel

24、迭代法會利用之前已經(jīng)計算出的前i-1最新分量xjk+1(j=1,2,i-1)，并將其帶入迭代公式中進行計算，且Gauss-Seidel迭代法每迭代一次只需要計算一次矩陣與向量的乘法。對于我們要求解的橢圓方程1h22ui-1,j-1h12ui,j-1+2(1h22+1h12)ui,j-1h22ui+1,j-1h12ui,j+1=fxi,yj, 1iM2-1,1jM2-1, (2.2.12)使用Gauss-Seidel迭代公式（3.2.3），我們就可以得到ui,jk+1=fxi,yj+1h22ui-1,jk+1+1h12ui,j-1k+1+1h22ui+1,jk+1h12ui,j+1k+21h22

25、+1h121iM2-1，1jM1-13.2.2 Gauss-Seidel迭代法的收斂性定理2：解線性方程組Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件是A正定。因為我們所求的橢圓方程中的系數(shù)矩陣A是三對角矩陣，并且A嚴格的對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代法收斂。第3.2節(jié) 快速Poisson算法對于階數(shù)為n的大型線性矩陣Ax=b，不同的方法，復雜度一般不相同。在直接乘法中，求解該方程組所需的復雜度為On3，而用帶狀法或者塊三角形求解，復雜度就變成了On2。通俗意義上講，若m=103(m=n），則直接乘法所需的計算時間以年為單位，而帶狀求法或塊三對角求法的計算時間以小時為單位，

26、可以看出，不同的復雜度對時間的需求差別很大！從而啟發(fā)我們使用一個簡便的算法對于我們求解問題則顯得非常重要。接下來，我們來介紹一個新的更加準確且便捷的快速算法，該算法被稱為快速Poisson算法。這個算法有幾個特點：1、T是對角化的矩陣2、 使用快速正弦變換3、 僅限制于矩形區(qū)域4、 可以擴展到9點方案及雙調(diào)和問題中5、 可以擴展到三維中引理(3.2.1)：若A為三對角矩陣，即：，則A的特征值j=b+2accosjn+1,特征向量xj=ac12sinjn+1ac22sin2jn+1ac32sin3jn+1acn2sinnjn+1n1,考慮Dirichlet邊值問題的標準中心差分格式u-u=fx,

27、y,(x,y), （3.2.1）記=0，10，1，h=1(M+1)是等距網(wǎng)格步長，記=1h2,則數(shù)值格式等價于ui-1,j+ui+1,j+12-2uij+ui,j-1+ui,j+1+12-2uij=fx,y,為書寫簡單，記=2h2，則格式等價于2ui-1,j+ui+1,j+12-uij+2ui,j-1+ui,j+1+12-uij=fx,y,即：ui-1,j+ui+1,j+-2uij+ui,j-1+ui,j+1+-2uij=2fx,y,（3.2.2）記u=u1ju2junj,f=2f1j2f2j2fnj,j=1,2,n 則式（3.2.2）的矩陣形式可寫為TU+UT=F, (3.2.3)由引理（3

28、.2.1）可知Tsj=Ejsj,j=1,2,n其中,Ej=-2+2cosjn+1,sj=sinjn+1,sin2jn+1,sinnjn+1T,記S=s1,s2,sn, E=E1E2En,S=ST,TS=SE,S*S=12hI=n+12I,注：S=ST,但是SEES,SE=(ES)T.由T=TT,則ST=STTT=(TS)T=(SE)T=ETST=ES,因而由（3.2.3）可得等式左右兩邊同時乘上SSTUS+SUTS=SFS因為ST=ES，TS=SE,故有ESUS+SUSE=SFS令V=SUS，從而有EV+VE=SFS=F因為E是對角陣，因而V可解 Vij=Fij(Ei+Ej)進而，我們對V=S

29、US，等式兩邊同時乘上S，則有S2US2=SVS因為S*S=12hI，故而有14h2U=SVS即U=4h2*SVS此時，U即為橢圓方程標準中心差分格式的所求解。具體的算法（一個簡單的快速Poisson算法）如下：1、 h=1m+1;F=fjh,khj,k=1m;S=sinjkhj,k=1m;=sin2jh2j=1m;2、 G=gj,k=SFS;3、 U=uj,kj,k=1m;where uj,k=h4gj,kj+k;4、 V=SUS輸出是在復雜度為On32運算中計算的平方上的離散泊松方程的精確解，而且存儲只需要幾個mm的矩陣。第4章 數(shù)值試驗現(xiàn)在，我們研究橢圓方程問題u-u=fx,y，運用五點

30、差分格式對其求解，即1h22ui-1,j-1h12ui,j-1+2(1h22+1h12)ui,j-1h22ui+1,j-1h12ui,j+1=fxi,yj,u0,0=0, 1iM2-1,1jM2-1, 且該方程的精確解為sinxsiny。即探究橢圓方程 u-2ux2+2uy2=(+22)sinxsiny,0x1,0y1, u0,0=0,對上述橢圓方程五點格式使用我們上面介紹的Gauss-Seidel迭代法，我們可以得到如下的誤差圖（其中圖2中的圈表明的是等高線）： 數(shù)值算例1當=1，M2,M1為變量時對于Gauss-Seidel迭代法，計算時間以及精確解與數(shù)值解的誤差如表（4.1.1）所示：M

31、2M1迭代步數(shù)K計算時間精確解與數(shù)值解之差120202920.0183110.007150509920.2054470.001210010029272.0671903.1918e-04200200938825.4293176.4363e-0530030024483174.6083713.3215e-05對于快速Poisson算法，計算時間與誤差如表（4.1.2）所示：M2M1計算時間精確解與數(shù)值解之差120200.0003980.007150500.0025410.00121001000.0027190.000306932002000.0068357.7503e-055005000.05566

32、11.2475e-05100010000.2580033.1250e-06150015000.6792401.3898e-06從表（4.1.1）和（4.1.2）我們可以看出，當不變時，隨著M2，M1的增加，Gauss-Seidel迭代法的計算時間和迭代步數(shù)都在增加，計算時間增加得尤為明顯，當M2，M1增加到102數(shù)量級時，使用Gauss-Seidel迭代法計算時，我們就會發(fā)現(xiàn)其計算速度就明顯地變得非常慢，比快速Poisson算法慢了103個數(shù)量級，到了300時，計算時間已達到了6分鐘，此時，迭代法便不再適用了。而，雖然快速Poisson算法的計算時間也在增加，但是它的計算時間遠遠沒有Gauss

33、-Seidel迭代法增加地那么快，即使到了103數(shù)量級，計算時間仍然很小，變化不是很明顯。 圖（4.1.2）快速Poisson算法 圖（4.1.1） Gauss-Seidel迭代法 同時，我們也可繪制出，Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法的計算時間隨M2，M1的變化的圖像。我們可以從從圖（4.1.1）了解到，當M2，M1很小時（小于102），Gauss-Seidel迭代法的計算時間很短，肉眼幾乎看不出來差距，這時，利用Gauss-Seidel迭代法是相當有效的，而當M2，M1超過100時，Gauss-Seidel迭代法的迭代時間迅速增長，這時，Gauss-Seidel就不再

34、適合求解此問題了。而從圖（4.2.2）我們可以看到，當M2，M1增大到500時，快速Poisson算法的計算時間仍然小于1s，雖然同M2M120時相比，計算時間增加了很多，但是，比起Gauss-Seidel迭代法，快速Poisson算法所使用的計算時間就顯得非常地短，因而，快速Poisson算法更適合求解橢圓方程，而且，我們可以看到，即便M2M11500時（這時，Gauss-Seidel迭代法已經(jīng)運行的非常非常慢了，大約需要幾十分鐘），快速Poisson算法的計算時間仍然不超過1s。因而，我們可以得出：當M2，M1100時，Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法對于求解橢圓方程

35、均有效，而當M2，M1100時，快速Poisson算法更適合求解橢圓問題。數(shù)值算例2當M2=M1=40，為變量時，對于Gauss-Seidel迭代法，計算時間以及精確解與數(shù)值解之間的誤差如表（4.2.1）所示：迭代步數(shù)K計算時間精確解與數(shù)值解之差15100.0922890.001924820.0789710.001854140.0515060.0016501480.0245545.5258e-04100910.0244483.2034e-04200550.0146711.7412e-04500290.0104457.3570e-051000190.0048433.7525e-055000100

36、.0038657.6629e-061000080.0016883.8351e-06對于快速Poisson算法，計算時間和誤差如表（4.2.2）所示：計算時間精確解與數(shù)值解之差10.0003410.001920.0004140.001850.0003270.0016500.0003225.5300e-041000.0003223.2201e-042000.0003331.7544e-045000.0003277.4167e-0510000.0004023.7800e-0550000.0004207.6787e-06100000.0003233.8469e-06從表（4.2.1）和表（4.2.2）

37、我們可以看出，隨著的增加，Gauss-Seidel迭代法的迭代步數(shù)、計算時間和精確解與數(shù)值解的誤差都在逐漸減少，而，在快速Poisson算法中，計算時間幾乎不隨的變化而變化，穩(wěn)定在0.0003-0.0005之間，但，精確解與數(shù)值解的誤差隨著的增大而減少。因而，在步長不變的情況下，快速Poisson算法仍要明顯地優(yōu)于Gauss-Seidel迭代法。數(shù)值算例3當=1，M2,M1為變量時，考慮快速Poisson算法隨步長的變化（在M2,M1過大時Gauss-Seidel迭代法的迭代時間已遠遠超出了一分鐘，討論便無意義了），計算時間、精確解與數(shù)值解之差如表（4.3.1）所示：M2M1計算時間精確解與數(shù)

38、值解之差15005000.0515901.2475e-05100010000.3174773.1250e-06150015000.8046461.3898e-06200020001.7090117.8203e-07250025002.9979795.0060e-07300030005.1210333.4765e-07350035007.7821052.5550e-074000400010.8464451.9559e-074500450015.1954481.5464e-075000500021.4060051.2518e-07從表（4.3.1）我們可以看出，當不變時，隨著M2,M1的增加，快速

39、Poisson算法的計算時間也在逐漸增加，且，計算時間以類似于x3的函數(shù)形式增長（x3的系數(shù)是251410-10），也可以從圖（4.3.1）與圖（4.3.2）的比較中看出趨勢。圖（4.3.1） 快速Poisson算法的計算時間隨M2,M1的變化圖像 圖（4.3.2） x3的函數(shù)圖像比較圖（4.3.1）和圖（4.3.2）可以看出，當不變時，快速Poisson算法的計算時間隨M2,M1的變化圖像大似接近于x3（有系數(shù)）的函數(shù)圖像。圖（4.3.3）通過對兩邊函數(shù)進行取對數(shù)的形式，可以更加直觀的看出計算時間的變化圖像與x3（有系數(shù)）的函數(shù)圖像擬合程度。其中，紅實線表示的是計算時間的對數(shù)圖像，黑虛線表示

40、的是x3（有系數(shù)） 的對數(shù)圖像。圖（4.3.3）x3(有系數(shù))與計算時間的對數(shù)圖像數(shù)值算例4 對于=1，M2= M1=50,不同的誤差精度要求時，Gauss-Seidel迭代法所需的計算時間以及精確解與數(shù)值解的誤差如表（4.4.1）所示：誤差精度迭代步數(shù)K計算時間精確解與數(shù)值解之差10-67160.2012110.001210-79920.2285930.001210-814380.2841010.001210-919420.3847100.001210-1024470.4810190.001210-1129510.5736960.001210-1234550.6656640.0012 從表（4.4.1）我們可以看出，當和M2、M1均不變時，Gauss-Seidel迭代法的迭代步數(shù)隨著誤差精度的減少而增加，換句話說，隨著誤差精度的要求越來越高時，Gauss-Seidel迭代法的迭代步數(shù)K和計算時間都變得越來越大。第5章 總結(jié)本文研究的是橢圓方程問題，通過對矩形區(qū)域上的帶有Dirichlet邊界條件下的Poisson方程建立五點差分格式，然后，分別利用Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法求解，并對二者從M2、M1，不同的