浙江省鎮(zhèn)海中學高中數學(人教版)必修四課件：三角函數模型的簡單應用(共38張PPT)

1、人教人教A版版（必修（必修4） 寧波市鎮(zhèn)海中學 鐘清鐘清2例一：根據圖象建立解析式例一：根據圖象建立解析式 ( (研究溫度隨時間呈周期性變化的問題研究溫度隨時間呈周期性變化的問題) ); ;例二：根據解析式作出圖象例二：根據解析式作出圖象 ( (研究與正弦函數有關的簡單函數研究與正弦函數有關的簡單函數y=|sinx|的圖象及其周期的圖象及其周期) )；例三：將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型例三：將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型 ( (研究樓高與樓在地面的投影長的關系問題研究樓高與樓在地面的投影長的關系問題) )；例四：利用收集到的數據作出散點圖，并根據散點圖進行函數例四

2、：利用收集到的數據作出散點圖，并根據散點圖進行函數 擬合，從而得到函數模型擬合，從而得到函數模型 ( (研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題) )。 第第一一課課時時第第二二課課時時目的：加強用三角函數模型刻畫周期變化現象的學習。目的：加強用三角函數模型刻畫周期變化現象的學習。3 備注：備注：三角函數模型三角函數模型三角函數關系三角函數關系簡單應用簡單應用學以致用，解決生活中的實際問題學以致用，解決生活中的實際問題4教學目標教學目標: :1 1、知識目標：、知識目標：a a通過對三角函數模型的簡單應用的學習，使學生初通過對三角函數模型的簡單應用的學習

3、，使學生初步學會由圖象求解析式的方法；步學會由圖象求解析式的方法；b b體驗實際問題抽象為三角函數模體驗實際問題抽象為三角函數模型問題的過程；型問題的過程；c c體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型型2 2、能力目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的、能力目標：讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數學數學“建模建?！彼枷胨枷?從而培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數形結合、抽從而培養(yǎng)學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力象概括等能力3 3、情感目標：讓學生切身感受數學建模的過程，體驗數學在解決、情感目標：讓學生切身感受數學建

4、模的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神。舍的鉆研精神；培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神。教學重點：教學重點：根據已知圖象求解析式；將實際問題抽象為三角函數模根據已知圖象求解析式；將實際問題抽象為三角函數模型。型。教學難點：教學難點：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數學分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數學關系來建立數學模型，并調動相關學科的知識來解決問題關系來建立數學模型，并調動相關學科的知識來解決問題5函數模型的應用示例 2

5、、心理、生理現象、心理、生理現象 情緒的波動情緒的波動 智力變化狀況智力變化狀況 血壓變化狀況血壓變化狀況 3、地理情景、地理情景 氣溫變化規(guī)律氣溫變化規(guī)律 月圓與月缺月圓與月缺 4、日常生活現象、日常生活現象 漲潮與退潮漲潮與退潮 車輪轉動車輪轉動 峰谷電峰谷電 )0, 0()sin(AxAy正弦函數正弦函數y=sinxy=sinx余弦函數余弦函數y=cosxy=cosx1 1、物理情景、物理情景簡單和諧運動簡單和諧運動星體的環(huán)繞運動星體的環(huán)繞運動67如果在寧波地區(qū)（緯度數約是北緯如果在寧波地區(qū)（緯度數約是北緯30o）的一幢高為）的一幢高為ho的樓房的樓房北面北面蓋一新樓，要使新樓一層蓋一新

6、樓，要使新樓一層正午正午的太陽的太陽全年全年不不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？例題例題2分析：分析：根據根據地理知識地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南，北回歸線之間的地帶。畫出圖形如下，由南，北回歸線之間的地帶。畫出圖形如下，由畫圖易知畫圖易知A B Ch08解：解：圖中、分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回圖中、分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點。要使新樓一層正午的太陽歸線時樓頂在地面上的投影點。要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情況全年不被前面的樓房遮

7、擋，應取太陽直射南回歸線的情況來考慮，依題意兩樓之間的距離應不小于。來考慮，依題意兩樓之間的距離應不小于。根據根據太陽高度角的定義太陽高度角的定義有有 A B Ch0P P910太陽高度角的定義如圖，設地球表面某地緯如圖，設地球表面某地緯度值為度值為 ，正午太陽高度角為正午太陽高度角為 ，此，此時太陽直射緯度為時太陽直射緯度為 那么這三個量之間的關系那么這三個量之間的關系是是當地夏半年當地夏半年 取正值，冬取正值，冬半年半年 取負值。取負值。|90太陽光太陽光9090|90|90地心地心北半球北半球南半球南半球11太陽光直射南半球太陽光太陽光9090|90|90地心地心12解：解：圖中、分別為

8、太陽直射北回歸線、赤道、南回圖中、分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點。要使新樓一層正午的太陽歸線時樓頂在地面上的投影點。要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情況全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情況來考慮，依題意兩樓之間的距離應不小于。來考慮，依題意兩樓之間的距離應不小于。根據根據太陽高度角的定義太陽高度角的定義有有 所以所以 即在蓋樓時，即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當與樓高為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當與樓高1.35倍的間距。倍的間距。 90|3023 26 )| 36 34C （0001.35tantan

9、36 34hhMChc A B Ch0P P1515米米13將實際問題抽象為三角函數模型的一般步聚將實際問題抽象為三角函數模型的一般步聚:理解題意理解題意建立三角建立三角函數模型函數模型求解求解還原解答還原解答14 一半徑為一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面距離水面2m，已知水輪每分鐘轉動已知水輪每分鐘轉動4圈，如果當水輪上點圈，如果當水輪上點P從水中浮現時從水中浮現時開始計算時間。開始計算時間。（1）將點）將點P距離水面的高度距離水面的高度z(m)表示為時間表示為時間t(s)的函數；的函數；（2）點）點P第一次到達最高點大約要多長時間？第一次到達最高點大約

10、要多長時間？例題例題3xy15解解(1)(1)不妨設水輪沿逆時針方向旋轉，建立平面直角坐標系。不妨設水輪沿逆時針方向旋轉，建立平面直角坐標系。 設角設角 。 由由OPOP在在t(s)t(s)內所轉過的角為內所轉過的角為 ， 可知以可知以OxOx為始邊，為始邊，OPOP為終邊的角為為終邊的角為 ， 故點故點P P的縱坐標為的縱坐標為 ，則，則(0)2P Ox 4 22()6015tt 215t 23sin()15t 23sin()215zt 當當t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 . .2sin3 因為 ,所以 . 02 0.73 故所求函數關系式為故所求函數關系式為 . .23sin(0

11、.73)215zt (2)(2)令令 , ,得得 . .23sin(0.73)2515zt 2sin(0.73)115t 取取 , ,解得解得 . .20.73152t 5.5t 即點即點P P第一次到達最高點大約要第一次到達最高點大約要5.5S.5.5S.xy 16小結:1.三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型模型,可以用來研究很多問題可以用來研究很多問題,我們可以通過建立三角函我們可以通過建立三角函數模型來解決實際問題數模型來解決實際問題,如天氣預報如天氣預報,地震預測地震預測,等等等等.2.建立三角函數模型的一般步聚建立三角函數模型

12、的一般步聚:現實問題現實問題 現實模型現實模型 改改造造三角函數模型三角函數模型 抽象抽象 概括概括解析式解析式圖圖 形形三角函數模型的解三角函數模型的解數學數學 方法方法還原還原 說明說明現實模型的解現實模型的解是否符合實際是否符合實際 修改修改17體驗探究體驗探究1 1、你能一刀削出一條正弦曲線嗎？、你能一刀削出一條正弦曲線嗎？ 提示：把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上提示：把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上幾圈，用刀斜著將紙筒削斷，再把卷著的紙展開，幾圈，用刀斜著將紙筒削斷，再把卷著的紙展開，你就會看到：紙的邊緣線是一條波浪形的曲線。你就會看到：紙的邊緣線是一條波浪形的曲線。你知道嗎？你

13、知道嗎？這條曲線就是這條曲線就是正弦曲線正弦曲線！2 2、你能試著針對周圍一些呈周期性變化的現象、你能試著針對周圍一些呈周期性變化的現象編擬一道能用三角函數模型解決它的題嗎？編擬一道能用三角函數模型解決它的題嗎？1819教學目標：教學目標：1 1、知識目標：能正確分析收集到的數據，選擇恰當的三角函數模、知識目標：能正確分析收集到的數據，選擇恰當的三角函數模型刻畫數據所蘊涵的規(guī)律，能根據問題的實際意義，利用模型解釋型刻畫數據所蘊涵的規(guī)律，能根據問題的實際意義，利用模型解釋有關實際問題，為決策提供依據。有關實際問題，為決策提供依據。2 2、能力目標：體會由現實問題選擇數學模型、研究數學模型、解、能

14、力目標：體會由現實問題選擇數學模型、研究數學模型、解決現實問題的數學建模學習過程，使學生逐步養(yǎng)成運用信息技術工決現實問題的數學建模學習過程，使學生逐步養(yǎng)成運用信息技術工具解決實際問題的意識和習慣；具解決實際問題的意識和習慣； 使學生進一步提升對函數概念的完使學生進一步提升對函數概念的完整認識，培養(yǎng)用函數觀點綜合運用知識解決問題的能力整認識，培養(yǎng)用函數觀點綜合運用知識解決問題的能力. .3 3、情感目標：體驗探索和創(chuàng)造過程，從中獲得成功的快樂，體會、情感目標：體驗探索和創(chuàng)造過程，從中獲得成功的快樂，體會學習數學知識的重要性，激發(fā)對數學的興趣和樹立自信心，滲透數學習數學知識的重要性，激發(fā)對數學的興

15、趣和樹立自信心，滲透數學與現實統一和諧之美。學與現實統一和諧之美。教學重點：教學重點：用三角函數模型刻畫潮汐變化的規(guī)律，用函數思想解決用三角函數模型刻畫潮汐變化的規(guī)律，用函數思想解決具有周期變化規(guī)律的實際問題。具有周期變化規(guī)律的實際問題。教學難點：教學難點：對問題實際意義的數學解釋，從實際問題中抽象出三角對問題實際意義的數學解釋，從實際問題中抽象出三角函數模型，并綜合運用相關知識解決實際問題。函數模型，并綜合運用相關知識解決實際問題。20一、設置情境，呈現問題一、設置情境，呈現問題 二、探索實踐，尋找模型二、探索實踐，尋找模型 1、初步認識初步認識 2 2、深入探索、深入探索 三、回歸現實三、

16、回歸現實, ,提出問題提出問題 四、四、練習反饋練習反饋, ,提高能力提高能力 五、總結提煉五、總結提煉, ,延時探究延時探究 教學過程：教學過程：21法國圣米切爾山法國圣米切爾山漲潮漲潮落潮落潮 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。（一）設置情境，呈現問題（一）設置情境，呈現問題 22依據規(guī)定依據規(guī)定, ,當海浪高度高于當海浪高度高于1 1m時才對沖浪愛好者開放。時才對沖浪愛好者開放。23 寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江“

17、“ T ”T ”型結構型結構的交匯點上，地理位置適中，是中國大陸著名的深水良港，分成寧的交匯點上，地理位置適中，是中國大陸著名的深水良港，分成寧波老港區(qū)、鎮(zhèn)海港區(qū)、北侖港區(qū)，寧波港水深流順風浪小。進港航波老港區(qū)、鎮(zhèn)海港區(qū)、北侖港區(qū)，寧波港水深流順風浪小。進港航道水深在道水深在 18.2 18.2 米米 以上，以上，20 20 萬噸以下船舶自由進港，萬噸以下船舶自由進港，25 25 萬噸萬噸 30 30 萬噸船舶可候潮進出港。萬噸船舶可候潮進出港。 241.1.依據規(guī)定依據規(guī)定, ,當海浪高度高于當海浪高度高于1 1m時才對沖浪愛好者開放時才對沖浪愛好者開放, ,請設計一天內從上午到晚上之間請設

18、計一天內從上午到晚上之間, ,開放沖浪場所的具體時開放沖浪場所的具體時間段，有多少時間可供沖浪者進行活動間段，有多少時間可供沖浪者進行活動? ? 2.2.按安全條例規(guī)定，船何時安全進出港按安全條例規(guī)定，船何時安全進出港 上述的變化過程中，哪些量在發(fā)生變化？哪個是自變量？上述的變化過程中，哪些量在發(fā)生變化？哪個是自變量？哪個是因變量？哪個是因變量？ ( (潮汐對輪船進出港口產生什么影響？潮汐對輪船進出港口產生什么影響？) )25 某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：(1)(1)試著用圖形描述這個港口從試著用圖形描述這個港口從0 0時到時到2424時水深的變

19、化時水深的變化情況。（作出這些數據的散點圖情況。（作出這些數據的散點圖, ,并用平滑曲線連接）并用平滑曲線連接） 問題一：問題一：二、探索實踐，尋找模型二、探索實踐，尋找模型 1、初步認識初步認識（2）選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間）選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，給出整點時的水深的近似數值（精確到的函數關系，給出整點時的水深的近似數值（精確到0.001）.26（4） 解：以時間為橫坐標，以水深為縱坐標，在直角坐標系中描解：以時間為橫坐標，以水深為縱坐標，在直角坐標系中描出各點，并用平滑的曲線連接。出各點，并用平滑的曲線連接。 根據圖象，可以考慮用函數根據圖象

20、，可以考慮用函數 刻畫刻畫水深與時間的關系。水深與時間的關系。hxAy)sin(從數據和圖象可以得出：從數據和圖象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，056sin5 . 2xy由由 得得21 2 ,T627y=2.5sin(x/6)+5y=2.5sin(x/6)+502468051015202530時間(小時)水深(米)28問題二：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距問題二：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為離）為4 4米，安全條例規(guī)定至少要有米，安全條例規(guī)定至少要有1.51.5米的安全米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港

21、口能呆多久？口？在港口能呆多久？0.3848Ax 65.6152BAxx1212.3848CAxx17.6152Dx 2 2、深入探索、深入探索 x x3691215182124Oy2465 . 5yABCD29在問題二的條件下，若貨船在港口停留在問題二的條件下，若貨船在港口停留8小時以上，小時以上，則貨船的吃水深度至多是多少？則貨船的吃水深度至多是多少？x x3691215182124Oy246ABCD30 x x3691215182124Oy246ABCD31x x3691215182124Oy246問題三：若某船的吃水深度為問題三：若某船的吃水深度為4 4米，安全間隙為米，安全間隙為1.

22、51.5米，該米，該船在船在2 2：0000開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.30.3米的速度減少，米的速度減少，那么該船在什么時候必須停止卸貨，將船駛向較深的水域。那么該船在什么時候必須停止卸貨，將船駛向較深的水域。6.715Px )2)(2( 3 . 05 . 5xxyP在貨船的安全水深正在貨船的安全水深正好與港口水深相等時，好與港口水深相等時，停止卸貨嗎？停止卸貨嗎？( (三三) )回歸現實回歸現實, ,提出問題提出問題 32 現在該港口提高卸貨效率，使得貨輪的吃水深度以每現在該港口提高卸貨效率，使得貨輪的吃水深度以每小時小時1米的速度減小，問該港口能否一次性接卸吃

23、水深度米的速度減小，問該港口能否一次性接卸吃水深度為為6米的大貨輪？（注：該貨輪空載時的吃水深度為米的大貨輪？（注：該貨輪空載時的吃水深度為1米）米）Oyx?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14( )2.5sin5.56f xxx嘿，有挑戰(zhàn)性嘿，有挑戰(zhàn)性! ( (四四) )練習反饋練習反饋, ,提高能力提高能力 33練習：某海濱浴場的海浪高度練習：某海濱浴場的海浪高度y（米）是時間（米）是時間t（0t24，單位：小時）的函數，下表是測得的某日各時的浪高數據：單位：小時）的函數，下表是測得的某日各時的浪高數據：

24、依據規(guī)定依據規(guī)定, ,當海浪高度高于當海浪高度高于1 1m時才對沖浪愛好者開放時才對沖浪愛好者開放, ,請請設計一天內從上午到晚上設計一天內從上午到晚上(8:00(8:0020:0020:00）之間）之間, ,開放沖浪開放沖浪場所的具體時間段，有多少時間可供沖浪者進行活動場所的具體時間段，有多少時間可供沖浪者進行活動? ? 34小結反思:1.1.三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型模型, ,可以用來研究很多問題可以用來研究很多問題, ,我們可以通過建立三角我們可以通過建立三角函數模型來解決實際問題函數模型來解決實際問題, ,如天氣預報如天

25、氣預報, ,地震預測地震預測, ,等等等等. .2.2.建立三角函數模型的一般步聚建立三角函數模型的一般步聚: :搜集數據搜集數據利用計算機利用計算機作出相應的作出相應的散點圖散點圖進行函數進行函數擬合得出擬合得出函數模型函數模型利用函數利用函數模型解決模型解決實際問題實際問題 ( (五五) )總結提煉總結提煉, ,延時探究延時探究 35（一）閱讀作業(yè)：通讀教材，復習鞏固，思考對具有周期（一）閱讀作業(yè)：通讀教材，復習鞏固，思考對具有周期性實際問題函數處理的方法和手段性實際問題函數處理的方法和手段（二）書面作業(yè)：（二）書面作業(yè)：（三）實踐探究性作業(yè)：（三）實踐探究性作業(yè)：寧波港與潮汐寧波港與潮汐天安門廣場國旗升降時間天安門廣場國旗升降時間36 寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江“ “ T ”T ”型結構型結構的交匯點上，地