金融工程學(xué)課件：ch8 離散時間模型

1、金融工程學(xué)金融工程學(xué) 第第8章章 離散時間模型離散時間模型二叉樹期權(quán)定價方法二叉樹期權(quán)定價方法 二叉樹期權(quán)定價（二叉樹期權(quán)定價（Binomial option Pricing Model）由由Cox,Ross,Rubinstein等人提出，它為期權(quán)定價等人提出，它為期權(quán)定價模型為模型為B-S模型提供一種比較簡單和直觀的方法模型提供一種比較簡單和直觀的方法 二叉樹模型已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)（美式期權(quán)和二叉樹模型已經(jīng)成為建立復(fù)雜期權(quán)（美式期權(quán)和奇異期權(quán)）定價模型的基本手段奇異期權(quán)）定價模型的基本手段 本節(jié)將從本節(jié)將從1期二叉樹，推廣到期二叉樹，推廣到2期二叉樹，并進(jìn)一期二叉樹，并進(jìn)一步擴(kuò)展到步擴(kuò)展到

2、n期二叉樹，并分別討論歐式和美式二期二叉樹，并分別討論歐式和美式二叉樹。叉樹。8.1 單期二叉樹歐式期權(quán)模型單期二叉樹歐式期權(quán)模型 在第二章介紹金融工程基本分析方法的時候，我在第二章介紹金融工程基本分析方法的時候，我們曾經(jīng)介紹過風(fēng)險中性定價方法，由該方法可以們曾經(jīng)介紹過風(fēng)險中性定價方法，由該方法可以方便地討論單期的二叉樹。方便地討論單期的二叉樹。這里的這里的p稱為風(fēng)險中性概率。稱為風(fēng)險中性概率。()()(1)(1)r T tr T tr T ttudr T tudededfeffududepfp f（）（）8.1 單期二叉樹歐式期權(quán)模型單期二叉樹歐式期權(quán)模型(1)r T ttudfepfp f

3、（）這里的這里的p為風(fēng)險中性概率。從上面的等式上我們可為風(fēng)險中性概率。從上面的等式上我們可以發(fā)現(xiàn)：以發(fā)現(xiàn)：（1）衍生證券到期的支付（）衍生證券到期的支付（payoff），以各自的風(fēng)），以各自的風(fēng)險中性概率加權(quán)，得到該證券風(fēng)險中性意義上的期險中性概率加權(quán)，得到該證券風(fēng)險中性意義上的期望值。望值。（2）將該期望值以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，就能得到該）將該期望值以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，就能得到該證券的現(xiàn)值。證券的現(xiàn)值。8.1 單期二叉樹歐式期權(quán)模型單期二叉樹歐式期權(quán)模型 假設(shè)有一個股票買權(quán)合約，到期日為假設(shè)有一個股票買權(quán)合約，到期日為1年，執(zhí)行價格為年，執(zhí)行價格為112美元，股票當(dāng)前的價格為美元，股票當(dāng)前的價格為

4、100美元，無風(fēng)險利率為美元，無風(fēng)險利率為8（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。在到期日股票的價格有兩種（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。在到期日股票的價格有兩種可能：可能：180美元或者美元或者60美元，求期權(quán)的價值？美元，求期權(quán)的價值？su=180sd=60s0p1-pf0 fu=max(0, 180-112)=68fd=max(0, 60-112)=08.1 單期二叉樹歐式期權(quán)模型單期二叉樹歐式期權(quán)模型 由題意可知：由題意可知：u=180/100=1.8， d=60/100=0.6，r=8%， fu=max(0, 180-112)=68，fd=max(0, 60-112)=0，T-t=1 由此，計算風(fēng)險中性概

5、率為由此，計算風(fēng)險中性概率為()0.08 10.60.41.80.6r T tedepud則，該期權(quán)的價值為000.08 1(1)0.4 680.6 025.11r Tudfepfp fe（）股價上升概率是投資者對標(biāo)的股票價格上股價上升概率是投資者對標(biāo)的股票價格上漲可能性大小的主觀判斷。漲可能性大小的主觀判斷。雖然各個人對股價上升概率的信念是不同的，雖然各個人對股價上升概率的信念是不同的，但是在期權(quán)的定價過程中并沒有涉及到，也但是在期權(quán)的定價過程中并沒有涉及到，也就是人們對股價上升概率的分歧并不影響對就是人們對股價上升概率的分歧并不影響對期權(quán)的定價結(jié)果。期權(quán)的定價結(jié)果。投資者最終都一致風(fēng)險中性

6、概率投資者最終都一致風(fēng)險中性概率p，它只取，它只取決于無風(fēng)險利率決于無風(fēng)險利率r，上升因子，上升因子u，下跌因子，下跌因子d以及持有時間以及持有時間T-t等客觀因素。這意味著風(fēng)險等客觀因素。這意味著風(fēng)險中性概率是客觀的。中性概率是客觀的。8.1 單期二叉樹歐式期權(quán)模型單期二叉樹歐式期權(quán)模型8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型由于標(biāo)的資產(chǎn)市場價格是一個連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可由于標(biāo)的資產(chǎn)市場價格是一個連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可能只有能只有1期期2種情形，因此我們做進(jìn)一步為拓展種情形，因此我們做進(jìn)一步為拓展2期情形。期情形。2期二叉樹：若把從當(dāng)前時刻（期二叉樹：若把從當(dāng)

7、前時刻（0）至到期日（）至到期日（T）的時間劃分為）的時間劃分為2個個階段，在每一個階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格只可能取兩種狀態(tài)，階段，在每一個階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格只可能取兩種狀態(tài)，則第則第2階段結(jié)束時候，標(biāo)的資產(chǎn)價格的取值為階段結(jié)束時候，標(biāo)的資產(chǎn)價格的取值為4個。個。dsuusdusdds0susuds200020uuuudududdddsu su ssd sdussu sudssd sd s 第第2期本來有期本來有4種狀態(tài)，但若規(guī)定種狀態(tài)，但若規(guī)定u=1/d，則第，則第2、3兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，可以將其合并兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，可以將其合并8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模

8、型dsuusdusdds0susudsdds0susdsuusudduss00udduu d sssdsu dds0susdsuusudduss2,0s0,0s1,1s1,0s2,2s2,1s8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型為了方便后面的討論，我們將符號做如下規(guī)定：si,j表示第i期，第j個節(jié)點(diǎn)的股價。2,2f2,1f2,0f0,0f22,202,1022,00max(0,)max(0,)max(0,)fu sXfudsXfd sX若執(zhí)行價格為X，由到期時刻2的各個節(jié)點(diǎn)的股票價格，則可求得到期時刻2各個節(jié)點(diǎn)上買權(quán)的支付為：8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型2,

9、0s0,0s1,1s1,0s2,2s2,1s,2redTtpud需要注意的是，需要注意的是，2期二叉樹模型中總時間長度期二叉樹模型中總時間長度T-t，但每一節(jié)，但每一節(jié)的時間長度為的時間長度為 = （T-t）/2，因此計算風(fēng)險中性概率的時長則，因此計算風(fēng)險中性概率的時長則變成為變成為，而不是，而不是T-t。由于各期的由于各期的 相等，因此，計算風(fēng)險中性概率相等，因此，計算風(fēng)險中性概率p的各個參數(shù)的各個參數(shù)r，d和和u都是常數(shù)，因此，都是常數(shù)，因此，p也是常數(shù)，這樣也是常數(shù)，這樣8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型1,12,22,11,02,12,00,01,11,0(1)(1)(

10、1)rrrfpfp fefpfp fefpfp fe8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型1,12,22,11,02,12,0(1)(1)rrfpfp fefpfp fe1,1f1,0f2,2f2,1f2,0f0,0f根據(jù)上圖，我們可以用符號表示二叉樹的貼現(xiàn)公式為,1,11,(1),0,0ri jijijfpfp feiNji 8.2 2期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型 總結(jié)：總結(jié)：2期二叉樹定價的計算步驟期二叉樹定價的計算步驟（1）價格展開：由當(dāng)前的價格計算出第）價格展開：由當(dāng)前的價格計算出第1期的期的2個價格個價格S1,1和和S1,0，然后再由，然后再由S1,1和和S1

11、,0推出第推出第2期的三個價格：期的三個價格：S2,0、S2,1和和S2,2，并求得期權(quán)在，并求得期權(quán)在上述三種價格下的價值，上述三種價格下的價值， f2,0、f2,1和和f2,2（2）由根據(jù)風(fēng)險中性定價法，由）由根據(jù)風(fēng)險中性定價法，由f2,0、f2,1求得求得f1,0， f2,2和和f2, 1求得求得f1,1,再由再由f1,1和和f1,0求得當(dāng)前的求得當(dāng)前的期權(quán)價格期權(quán)價格f0,0定價思路：倒推定價法定價思路：倒推定價法 首先得到首先得到2期節(jié)點(diǎn)的股票價格，從而得到該期的期權(quán)價格。期節(jié)點(diǎn)的股票價格，從而得到該期的期權(quán)價格。 采用風(fēng)險中性定價，通過貼現(xiàn)得到采用風(fēng)險中性定價，通過貼現(xiàn)得到1期節(jié)點(diǎn)

12、的期權(quán)價格。期節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價格。 由由1期期權(quán)價格，通過貼現(xiàn)得到當(dāng)前（期期權(quán)價格，通過貼現(xiàn)得到當(dāng)前（0期）的期權(quán)價格。期）的期權(quán)價格。 另外，由于風(fēng)險中性概率，只取決于另外，由于風(fēng)險中性概率，只取決于r，d和和u，他們，他們都是常數(shù)，因此計算出來的風(fēng)險中性概率都是常數(shù)，因此計算出來的風(fēng)險中性概率都是相同的，也就是說每一期的風(fēng)險中性概率相等。都是相同的，也就是說每一期的風(fēng)險中性概率相等。redpud8.3 N期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型 2期模型可以推廣到期模型可以推廣到N期的場合期的場合假設(shè)當(dāng)前時刻假設(shè)當(dāng)前時刻(t=0)標(biāo)的股票當(dāng)前價格為標(biāo)的股票當(dāng)前價格為S0,以該以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)

13、的期權(quán)在股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)在T時刻到期，因此，時刻到期，因此，持有期為持有期為T我們將這個持有期分為我們將這個持有期分為n期，構(gòu)建期，構(gòu)建n期的二叉樹，期的二叉樹，這樣第這樣第i期，有期，有j次上漲的股價為次上漲的股價為Si,j為為即上漲即上漲j次，下跌次，下跌i-j次。次。,0,0,0jiji jss u diNji 以無收益股票的歐式期權(quán)為例。把該期權(quán)有效以無收益股票的歐式期權(quán)為例。把該期權(quán)有效期劃分成期劃分成n n個長度為個長度為的小區(qū)間，令的小區(qū)間，令 表示在時間表示在時間 期第期第j j個結(jié)個結(jié)點(diǎn)處的歐式買權(quán)的價值，點(diǎn)處的歐式買權(quán)的價值，同時用同時用 表示表示結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn) 處的證券價格

14、處的證券價格，則買權(quán)在，則買權(quán)在(i,j(i,j) )節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)處的價值為處的價值為 如果是賣權(quán)，則其在節(jié)點(diǎn)如果是賣權(quán)，則其在節(jié)點(diǎn)(i,j(i,j) ) 的價值為的價值為 ,0max(,0)jiji jfs u dX(0,0)ijfiNji i0jijs u d),(ji,0max(,0)jiji jfXs u d8.3 N期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型8.3 N期二叉樹歐式期權(quán)模型期二叉樹歐式期權(quán)模型,1,11,(1)0,0,ri jijijfpfp feTtiNjin 然后再按照下面的公式，向前貼現(xiàn)，直到當(dāng)前時刻然后再按照下面的公式，向前貼現(xiàn)，直到當(dāng)前時刻 二叉樹定價中關(guān)鍵是確定二

15、叉樹定價中關(guān)鍵是確定u和和d，它們代表了瞬間，它們代表了瞬間的波動性，若每一節(jié)的長度的波動性，若每一節(jié)的長度，則可以證明如果，則可以證明如果股價的波動率為股價的波動率為，則有，則有,Ttueden8.4 u和和d的計算公式及其原理的計算公式及其原理 二叉樹模型的基本出發(fā)點(diǎn)：假設(shè)資產(chǎn)價格的運(yùn)動二叉樹模型的基本出發(fā)點(diǎn)：假設(shè)資產(chǎn)價格的運(yùn)動是由大量的小幅度二值運(yùn)動構(gòu)成，用離散的隨機(jī)是由大量的小幅度二值運(yùn)動構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動可能遵循的路游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動可能遵循的路徑。徑。 二叉樹模型與風(fēng)險中性定價原理相一致，即模型二叉樹模型與風(fēng)險中性定價原理相一致，即模型中的

16、收益率和貼現(xiàn)率均為無風(fēng)險收益率，資產(chǎn)價中的收益率和貼現(xiàn)率均為無風(fēng)險收益率，資產(chǎn)價格向上運(yùn)動和向下運(yùn)動的實(shí)際概率并沒有進(jìn)入二格向上運(yùn)動和向下運(yùn)動的實(shí)際概率并沒有進(jìn)入二叉樹模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險中性世叉樹模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價。界中的概率，從而為期權(quán)定價。ud1p1-p在風(fēng)險中性世界，股票價格的幾何布朗運(yùn)動方程為在風(fēng)險中性世界，股票價格的幾何布朗運(yùn)動方程為 1(1)tttt dttdsrdtdwsusrdtdwd22222var()()( ()(1)(1) )t dtt dtt dtsE sE spup dpup dr dtedpud將代入上式，

17、整理得到根據(jù)幾何布朗運(yùn)動2var()t dtsdt2222(1)(1) )pup dpup ddt即22()r dtr dteududedt22()1/r dtr dteududedtdudtue證明：當(dāng)時222 ()11r dtr dtr dtdtdtr dtr dtdtr dtdtr dteududeeeeeeee （） 將右式泰勒展開，忽略將右式泰勒展開，忽略1階以上的高階項階以上的高階項22222 1121122 122r dtdtr dtdtr dteeer dtdtr dtdtr dtdtr dtdtr dtr dtdt （）（）（） （）（）（）8.4 u和和d的計算公式及其原理

18、的計算公式及其原理 今后，我們對于今后，我們對于n步二叉樹的計算只要記住步二叉樹的計算只要記住,1/ ,r tteduedu pud0Tttn 為了計算精度足夠高，為了計算精度足夠高，n必須充分大使得必須充分大使得8.5 N期二叉樹美式期權(quán)模型期二叉樹美式期權(quán)模型美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一個非常微小的變化，但是歐式期權(quán)與美式期權(quán)（尤個非常微小的變化，但是歐式期權(quán)與美式期權(quán)（尤其是看跌期權(quán)）價值有很大的不同。其是看跌期權(quán)）價值有很大的不同。值得注意的是：值得注意的是：美式期權(quán)要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)美式期權(quán)要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點(diǎn)上，比

19、較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時點(diǎn)上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價值為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價值。美式期權(quán)沒有解析解，故采用美式期權(quán)沒有解析解，故采用二叉樹二叉樹方法來逼近。方法來逼近。 定價思路：在期權(quán)價格樹上確定期權(quán)在每定價思路：在期權(quán)價格樹上確定期權(quán)在每一個節(jié)點(diǎn)的價值時，都要對持有期權(quán)的價一個節(jié)點(diǎn)的價值時，都要對持有期權(quán)的價格與執(zhí)行期權(quán)的價值加以比較，并選擇其格與執(zhí)行期權(quán)的價值加以比較，并選擇其中的大者作為買權(quán)在該節(jié)點(diǎn)的價值中的大者作為買權(quán)在該節(jié)點(diǎn)的價值,1,11,0,()(1)(

20、)max,0max,0max(),()ri jijijjiji ji ji ji ji jfMpfp fefEXsXs u dXffMfEX8.5 N期二叉樹美式期權(quán)模型期二叉樹美式期權(quán)模型12348.5 N期二叉樹美式期權(quán)模型期二叉樹美式期權(quán)模型 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場其當(dāng)前市場價為價為50元元,波動率為每年波動率為每年40%，無風(fēng)險連續(xù)，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為復(fù)利年利率為10%，該股票，該股票5個月期的個月期的美式美式看跌期權(quán)協(xié)議價格為看跌期權(quán)協(xié)議價格為50元，求該期權(quán)的價元，求該期權(quán)的價值。值。 利用倒推定價法，可以推算出初始結(jié)點(diǎn)處利用倒推定價法，可以推算出初始結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價值為的期權(quán)價值為4.48元。元。 為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段