第二章隨機(jī)變量及其分布

1、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二章隨機(jī)變量及其分布第二章隨機(jī)變量及其分布n基本思想基本思想將樣本空間數(shù)量化將樣本空間數(shù)量化, ,即用數(shù)值來表示試驗(yàn)的結(jié)果即用數(shù)值來表示試驗(yàn)的結(jié)果n 有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示. .例如例如: 在擲骰子試驗(yàn)中在擲骰子試驗(yàn)中,結(jié)果可用結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示來表示 例如例如: 擲硬幣試驗(yàn)擲硬幣試驗(yàn),其結(jié)果是用漢字其結(jié)果是用漢字“正面正面”和和“反面反面”來表來表示的示的可規(guī)定可規(guī)定: 用用 1表示表示 “正面朝上正面朝

2、上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”n 有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化4.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量n 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)于每一，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn) ，均有唯一的實(shí)數(shù)，均有唯一的實(shí)數(shù) 與與之對(duì)應(yīng)，稱之對(duì)應(yīng)，稱 為樣本空間為樣本空間上上的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。( )X( )XX( )XR例例1從裝有三個(gè)白球（記為從裝有三個(gè)白球（記為1,2，3號(hào)）與兩個(gè)黑球號(hào)）與兩個(gè)黑球（記為（記為4,5號(hào)）的袋中任取兩個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變

3、量號(hào)）的袋中任取兩個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量X表示表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)。在以下兩種情形下，取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)。在以下兩種情形下，X是如何表示的？是如何表示的？（1 1）觀察取出的兩個(gè)球的顏色）觀察取出的兩個(gè)球的顏色 （2 2）觀察取出的兩個(gè)球的號(hào)碼。）觀察取出的兩個(gè)球的號(hào)碼。解解 (1)(1)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件取出兩個(gè)白球 12取出兩個(gè)黑球 3取出一個(gè)白球與一個(gè)黑球 12345123201X取出第i號(hào)球與第j號(hào)球 （i,j） (15)ij , i j(2)(2)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件, ,31 ,3,450 ,5, 5i ji ji jjjX

4、i j 2且 1 i且 1 i且 4 in用隨機(jī)變量表示事件用隨機(jī)變量表示事件XL 如在擲骰子試驗(yàn)中，用如在擲骰子試驗(yàn)中，用X X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), ,則則 A=“ A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可表示為：可表示為： X=2X=2 X=4X=4 X=6X=6 B=“B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于”可表示為：可表示為： X 4X 4 或或XX 3 3 P(A)=P(X=2 X=4 X=6)P(B)=P(X 4)=P(X 3)A|X( )L 也可以是等式或是不等式。也可以是等式或是不等式。XL =P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)

5、設(shè)X X為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量, ,則對(duì)任意實(shí)數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x， Xx 是一個(gè)隨機(jī)事件，稱是一個(gè)隨機(jī)事件，稱為為分布函數(shù)分布函數(shù)定義域定義域?yàn)闉椋ǎ?；）；值域值域?yàn)闉椋?。，。F(x)F(x)是一個(gè)是一個(gè)普通的函數(shù)普通的函數(shù)！Distribution Functionn 分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義( )xxFP X分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)n單調(diào)不減性單調(diào)不減性n非負(fù)有界性非負(fù)有界性 0 F(x) 1 0 F(x) 1 ()lim( )0,()lim( ) 1xxFF xFF x 12xx若12,()()F xF x則()FP X 不可能事件不可能事件()FP X 必然事件必然事件n右連

6、續(xù)性右連續(xù)性000(0)lim( )()xxF xF xF x反之，具有上述四個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的反之，具有上述四個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該四個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)分布函數(shù)。故該四個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。n規(guī)范性規(guī)范性21( )1F xx是不是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？是不是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？不是不是 因?yàn)橐驗(yàn)?lim( )0 xF x函數(shù)函數(shù) 21 (0)( )1 1 (0)xG xxx可作為分布函數(shù)可作為分布函數(shù)例例2設(shè)一袋中，依次有標(biāo)著設(shè)一袋中，依次有標(biāo)著1、2、2、2、3、3數(shù)字的數(shù)字的6個(gè)球，個(gè)球，從中任取一球，令從中任取一球，

7、令X表示所取球上的數(shù)字，求表示所取球上的數(shù)字，求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 解解X可能取的值為可能取的值為1,2，3，且，且1(1)6P X 1(2),2P X 1(3),3P X 當(dāng)當(dāng)x-1時(shí)，時(shí)，Xx是一個(gè)不可能事件，故是一個(gè)不可能事件，故( )()0,F xP Xx當(dāng)當(dāng)-1 x2時(shí)，時(shí)，X x=X=1， 故故( )()(1)F xP XxP X 1,6 當(dāng)當(dāng)2 x3時(shí)，時(shí)，X x =X=1X=2， 故故( )()(1)(2)F xP XxP XP X 2,3 當(dāng)當(dāng)3 x時(shí)，時(shí)，Xx是一個(gè)必然事件，故是一個(gè)必然事件，故( )()1,F xP Xx即，即，X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0,1,1

8、/6,12,( )2/3,23,1,3.xxF xxx ( )()F xP Xx 分布函數(shù)表示事件的概率分布函數(shù)表示事件的概率n P(Xb)=F(b)n P(aa)=1 P (Xa) =1 - F(a)n P(Xb)n P(Xb)n P(Xb)=F(b-0)=1-F(b-0)=F(b)F(b-0)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 稱此式為稱此式為X X的的分布律（列）分布律（列）或或概率分布概率分布（Probability distribution),1,2,kkP Xkxp 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而，而取值取值 的概率為的概率為X12,nx xxk

9、xkp即即一、離散型隨機(jī)變量的分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X的概率分布的概率分布全面表達(dá)了全面表達(dá)了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各個(gè)值的概率情況值以及取各個(gè)值的概率情況 p1 ， p2 ， p K P x1， x2， xk， X離散隨機(jī)變量分布律的表格表示法離散隨機(jī)變量分布律的表格表示法n 公式法公式法,1,2,kkP Xxpkn 表格法表格法1)01,2,kpk12)1kkp性質(zhì)性質(zhì) 例例3 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 P（X= xi） = pi i = 1、2、 其中其中 0 p 1 ，求，求 p 值。值。解：解：11()iiP

10、 Xx 1iip 1pp 1.2pP461例例4 設(shè)袋中有設(shè)袋中有5個(gè)球，編號(hào)分別為個(gè)球，編號(hào)分別為 1、2、5，從中同時(shí)取出，從中同時(shí)取出3個(gè)球，以個(gè)球，以X表示取出球的最小號(hào)碼，求表示取出球的最小號(hào)碼，求X的分布律與分布函數(shù)。的分布律與分布函數(shù)。 解：解：X的所有可能取值為的所有可能取值為1,2，3，且由古典概率公式可得，且由古典概率公式可得(1)P X 35C24C3,5 (2)P X 35C23C3,10 (3)P X 35C11,10 即即X的分布律為的分布律為 X 1 2 3 P（X= xi） 0.6 0.3 0.1 故，故，X的分布函數(shù)的分布函數(shù)( )()F xP Xx 1,12

11、,23,3.xxxx 0,(1)P X 0.6, (1)(2)P XP X0.9, 1,一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 XP（X= xk）pk, k1, 2, 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 :( )kkk xxF xP Xxp 例例2中，得到中，得到X的分布律為的分布律為求求 取得的球上的數(shù)字是非負(fù)的概率取得的球上的數(shù)字是非負(fù)的概率P (0X) =P(X= 2)+P(X=3)n分布律確定事件的概率分布律確定事件的概率取得的球上的數(shù)字是非負(fù)的取得的球上的數(shù)字是非負(fù)的X0X=2X=3=1/2+1/3=5/6二、二、 幾種常見的離散型分布幾種常見的離散型分布 1p p P 0 1 X

12、則稱則稱X X服從服從參數(shù)為參數(shù)為p 的二點(diǎn)分布或的二點(diǎn)分布或(0-1)(0-1)分布分布, ,背景背景樣本空間可劃分為樣本空間可劃分為兩種結(jié)果兩種結(jié)果的情況都可以的情況都可以用兩點(diǎn)分布來描述。用兩點(diǎn)分布來描述。如：上拋一枚硬幣。如：上拋一枚硬幣。 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為: 0,1,2.,(1);kkn knP XkC pknp 其中其中0 0 p 1, 0, 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布XP( ) 服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X X； 候車的旅客數(shù)候車的旅客數(shù)Y;Y; 礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)礦井在某段時(shí)

13、間發(fā)生事故的次數(shù); ; 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目 體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測(cè)值的平均值求出。n 舉例舉例例例10在一個(gè)放射性物質(zhì)的試驗(yàn)中，共觀察了在一個(gè)放射性物質(zhì)的試驗(yàn)中，共觀察了N=2608次，每次次，每次觀察的時(shí)間為觀察的時(shí)間為7.5秒，并記錄到達(dá)指定區(qū)域內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。秒，并記錄到達(dá)指定區(qū)域內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。放射粒子數(shù)放射粒子數(shù)i觀察次數(shù)觀察次數(shù)Ni頻率頻率fi概率概率pi0123456789105720338352553240

14、82731394527160.02190.07780.14690.20130.20400.15640.10470.05330.01720.01040.00610.02090.08070.15620.20150.19490.15090.09730.05380.02600.01120.0066總計(jì)總計(jì)260811觀察到有i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的次數(shù)為Ni,則 iiNfN表示有i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的頻率，而pi=P(i;3.870)表示參數(shù)為 3.870, Xi的概率 例例11設(shè)每分鐘通過某交通道口的汽車流量設(shè)每分鐘通過某交通道口的汽車流量X服從泊松分布，服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)無汽車通過與恰有一輛汽車通過的概率相等，

15、且已知在一分鐘內(nèi)無汽車通過與恰有一輛汽車通過的概率相等，求一分鐘內(nèi)至少有兩輛汽車通過的概率。求一分鐘內(nèi)至少有兩輛汽車通過的概率。解解：設(shè)：設(shè) XP（），）， 由由 P（X=0）= P（X=1），知），知 01,0!1!ee 故有故有 = 1 ， 因此所求概率為因此所求概率為 P（X2） = 1P（X=0） P（X=1） 0110!1!ee 112.e 實(shí)際應(yīng)用中實(shí)際應(yīng)用中當(dāng)當(dāng)n n較大較大,p,p較小，較小，npnp適中時(shí)，即適中時(shí)，即可用泊松公式近似替換二項(xiàng)概率公式可用泊松公式近似替換二項(xiàng)概率公式ekppCkknkkn!)1 (二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似The Poisson Ap

16、proximation to the Binomial Distributionnpn幾何分布幾何分布若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 則稱則稱X服從服從幾何分布幾何分布。P(X=k)= 1,1,2,kpqk 其中p+q=1,0p1 例例12在一個(gè)貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為在一個(gè)貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為p，失，失敗的概率為敗的概率為q=1-p(0p1),設(shè)試驗(yàn)進(jìn)行到第設(shè)試驗(yàn)進(jìn)行到第X次才出現(xiàn)成功，求次才出現(xiàn)成功，求X的分布律。的分布律。X的取值為的取值為1,2，且相應(yīng)的概率為，且相應(yīng)的概率為 P4711 1,1,2,kP Xkpqk ( )( )xF xf t dt

17、4.3 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量n 定義定義 設(shè)設(shè)X為一隨機(jī)變量，分布函數(shù)為為一隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x),若存若存在非負(fù)實(shí)函數(shù)在非負(fù)實(shí)函數(shù) f (x) , 使對(duì)任意實(shí)數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，有，有則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量， f (x) 稱為稱為X 的的概率密概率密度函數(shù)度函數(shù),簡稱簡稱概率密度或密度函數(shù)概率密度或密度函數(shù).Probability density function p.d.f.一、概率密度函數(shù)的定義一、概率密度函數(shù)的定義二、概率密度函數(shù)的性質(zhì)二、概率密度函數(shù)的性質(zhì)(),0,xf x 1 1、非負(fù)性、非負(fù)性( )1f x dx2 2、規(guī)范性、規(guī)范性( )f x

18、()1PX 可以根據(jù)這兩個(gè)性質(zhì)來判斷一個(gè)函數(shù)是不是某個(gè)可以根據(jù)這兩個(gè)性質(zhì)來判斷一個(gè)函數(shù)是不是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。2112( )xxPxXxfx dx1x2x3 3、密度函數(shù)在區(qū)間上的積分密度函數(shù)在區(qū)間上的積分 = = 隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率4 4、密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系、密度函數(shù)和分布函數(shù)的關(guān)系積分關(guān)系積分關(guān)系導(dǎo)數(shù)關(guān)系導(dǎo)數(shù)關(guān)系( )( )xF xf x dx( )( )( )fxF xf xx若在 處連續(xù)，則0()( )( )limxF xxF xf xx 0limxP xXxxx 概率密度概率密度f(x)不是隨機(jī)變量不是隨機(jī)

19、變量X取值取值x的概率的概率,而是而是X在點(diǎn)在點(diǎn)x的概率的概率分布的密集程度分布的密集程度,f(x)的大小能反映出的大小能反映出X取取x的附近的值的概率的附近的值的概率大小大小.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)處處連續(xù)P（X=a）=0P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aX2).解解：X的密度函數(shù)的密度函數(shù)( )f x 0,0,x ,xxe 0.x P(X1) F（1）112e ，P(X2)1P(X2) 1F（2）23e 。例例14設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 2,02,( )0,cxxf x 其其

20、他他. . 求：求：1、 c 的值；的值； 2、F(x)； 3、P（1X1） 。 解：解：1、因?yàn)橐驗(yàn)?( )f x dx 0( )f x dx 220cx dx 23013cx8,3c 3,.8c 所所以以t0220( )f x dx 2( )f x dx ( )( )xF xf t dt 2、t02積分區(qū)域：積分區(qū)域：（,x xtt02xxxt02t02 0,x 02,x2. x 0 xdt 00dt 10 xdt 30,0,1,02,81,2.xxxx （1）（2）（3）0238xt dt 3、P（1X1） F（1）F（1） 1/8.或利用密度函數(shù)求概率：或利用密度函數(shù)求概率：P（1X1

21、）11( )f x dx 12038x dx 13018x 1.8 1、均勻分布、均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為1()0axbfxba其 它則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間 （a，b）上服從均勻分布記為）上服從均勻分布記為 X U (a, b) xbbxaabaxaxxF,1,0)(n 定義定義n 分布函數(shù)分布函數(shù)三、三、 幾種常用的連續(xù)型分布幾種常用的連續(xù)型分布 0 a bx X“等可能等可能”地取區(qū)間（地取區(qū)間（a,b）中的值，這里的）中的值，這里的“等可等可能能”理解為：理解為：X落在區(qū)間（落在區(qū)間（a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是

22、相同的?；蛘哒f的可能性是相同的?；蛘哒f它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。 0 a bx（） c d ( )1dcdcP cXdf x dxdcdxbaban 意義意義例例1515102102電車每電車每5 5分鐘發(fā)一班，在任一時(shí)刻分鐘發(fā)一班，在任一時(shí)刻 某一乘某一乘客到了車站。求乘客候車時(shí)間不超過客到了車站。求乘客候車時(shí)間不超過2 2分鐘的概率。分鐘的概率。 解：解：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X為候車時(shí)間，則為候車時(shí)間，則X服從（服從（0，5）上的均勻）上的均勻分布，即分布，即220012(2)( )55P Xf

23、 x dxdxX XU U（0 0，5 5），），則則X的密度函數(shù)的密度函數(shù)1,05,( )50,xf x 其其他他. .故所求概率為故所求概率為例例1616設(shè)設(shè)K在在-1-1，55上服從均勻分布，求方程上服從均勻分布，求方程2210 xKx 有實(shí)根的概率。有實(shí)根的概率。解解：方程有實(shí)數(shù)根：方程有實(shí)數(shù)根 2440K 即即 1,K 而而 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 K1 ( 15)( )60 xf x 其它故所求概率為故所求概率為 1121( )( )3P Kf x dxf x dx2 2、指數(shù)分布、指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為0( )(000 xexf xx

24、為常數(shù)）00( )10 xxF xex( )XEn 定義定義n 分布函數(shù)分布函數(shù)則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. .例例14 設(shè)打一次電話所用時(shí)間設(shè)打一次電話所用時(shí)間XE（0.2），（單位：分），若），（單位：分），若剛好有人先你進(jìn)入公用電話亭（只有一臺(tái)電話），求剛好有人先你進(jìn)入公用電話亭（只有一臺(tái)電話），求:（1）你等待時(shí)間超過）你等待時(shí)間超過5分鐘的概率，分鐘的概率，（2）你等待時(shí)間在）你等待時(shí)間在5分鐘到分鐘到10分鐘的概率。分鐘的概率。解解：因?yàn)椋阂驗(yàn)?XE（0.2），故其密度函數(shù)為），故其密度函數(shù)為 0.20.20( )0 xexf x 其其他他故所求概率分

25、別為故所求概率分別為 (1)P（X5）= 0.250.2xedx 0.25xe 1,e (2)P（5X10）= 100.250.2xedx 100.25xe 12.ee3 3、正態(tài)分布、正態(tài)分布n若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為，的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。記為記為2( ,)XN 22()21( )2txF xedtx ， - - 22()21( ) -2xf xex ，n分布函數(shù)為分布函數(shù)為 (1) 單峰對(duì)稱單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對(duì)稱對(duì)稱；(p43) (2)f()maxf(x)12 n正態(tài)分布的幾個(gè)特性正態(tài)分布的幾個(gè)特性：(3

26、) 的大小直接影響概率的分布的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻越小，曲線越陡峻，。，。正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布分布3,0.53,13,1.5( )x xn標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(0,1)XN 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布221( ) 2xxex ，- 性質(zhì)性質(zhì)密度函數(shù)密度函數(shù)221( )2xxxedx 分布函數(shù)分布函數(shù)b()P Xb ( )b 當(dāng)當(dāng)b0時(shí)，時(shí)，( )b 的值可由表查得的值可由表查得(0,0)ab( )x x(0)0.5()1 ( )x x()P aX 1()1( )P Xaaa( )x x()() aP X

27、a()P Xa1( ),0a aa a例例1515(0,1)XN ，求，求P（X1.5），），P（X1.68）解解(1.5)P X (1.5) 0.9332 1.68PX 2 (1.68)1 2 0.953510.907 2 ( )1PXaa ()( )( )1PaXbba 定理：定理：若若2( ,)XN ，對(duì)，對(duì)X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得XX 則則(0,1)XN 而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的函數(shù)值可以查表求得。而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的函數(shù)值可以查表求得。例例16162(1,2 ),XN (2.2),( 1.65.8)P XPX求求(2.2)P X 10.62XP (0.6)P X 0.7257 ( 1.65.8)PX11.32.42XP (2.4)(1.3)1 0.99180.903210.895解解解解 PkXkXPkk ( )()kk ( )1( )kk 2 ( )1k 例例1717設(shè)設(shè)2( ,),XN 內(nèi)的概率，這里內(nèi)的概率，這里k=1,2,3,求求X落在區(qū)間（落在區(qū)間（k, +k ）(33 )PX2 (3)10.9974 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=3時(shí)，時(shí)， 本題結(jié)果稱為本題結(jié)果稱為3 3 原則原則. . 在工程應(yīng)用中，在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為通常認(rèn)為 ，忽略，忽略 的