三角形全等的證明專題與初中數(shù)學(xué)定理公式匯編_第1頁
三角形全等的證明專題與初中數(shù)學(xué)定理公式匯編_第2頁
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文檔簡介

1、作者:su.15整理su.15 豆丁網(wǎng)-歡迎大家更多內(nèi)容盡在三角形全等的證明專題三角形全等是證明線段相等,角相等最基本、最常用的方法,這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段相等的特征,還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢?(1)條件充足時(shí)直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時(shí),常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等,而從近年的中考題來看,這類試題難度不大,證明兩個(gè)三角形的條件比較充分只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形,結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等例1 已知:如圖1,ceab于點(diǎn)e,bdac于點(diǎn)

2、d,bd、ce交于點(diǎn)o,且ao平分bac那么圖中全等的三角形有_對(duì)(2)條件不足,會(huì)增加條件用判別方法此類問題實(shí)際是指條件開放題,即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分,需要補(bǔ)充使三角形全等的條件解這類問題的基本思路是:執(zhí)果索因,逆向思維,逐步分析,探索結(jié)論成立的條件,從而得出答案例2 如圖2,已知ab=ad,1=2,要使abcade,還需添加的條件是(只需填一個(gè))_(3)條件比較隱蔽時(shí),可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個(gè)三角形全等時(shí),當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí),可通過添加輔助線作為橋梁,溝通邊或角的關(guān)系,使條件由隱變顯,從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等例3 已知:如圖3,

3、ab=ac,1=2求證:ao平分bac分析:要證ao平分bac,即證bao=bco,要證bao=bco,只需證bao和bco所在的兩個(gè)三角形全等而由已知條件知,只需再證明bo=co即可(4)條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時(shí),會(huì)通過構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問題中,往往不能直接證明一對(duì)三角形全等,一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形 例4 已知:如圖4,在rtabc中,acb=90,ac=bc,d為bc的中點(diǎn),cead于e,交ab于f,連接df求證:adc=bdf說明:常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種:涉及三角形的中線問題時(shí),常采用延長中線一倍的方法,構(gòu)造出一對(duì)全等三角形;涉及角平分線問題時(shí),

4、經(jīng)過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線,可以得到一對(duì)全等三角形;證明兩條線段的和等于第三條線段時(shí),用“截長補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對(duì)全等三角形(5)會(huì)在實(shí)際問題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí),形成解決簡單實(shí)際問題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問題,體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念,應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視例5 要在湖的兩岸a、b間建一座觀賞橋,由于條件限制,無法直接度量a,b兩點(diǎn)間的距離請(qǐng)你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案(1)畫出測(cè)量圖案(2)寫出測(cè)量步驟(測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示) 圖5 (3)計(jì)算a、b的距離(寫出求解或推理過程,結(jié)果用字母表示)分析:可

5、把此題轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)三角形全等第(1)題,測(cè)量圖案如圖5所示第(2)題,測(cè)量步驟:先在陸地上找到一點(diǎn)o,在ao的延長線上取一點(diǎn)c,并測(cè)得oc=oa,在bo的延長線上取一點(diǎn)d,并測(cè)得od=ob,這時(shí)測(cè)得cd的長為,則ab的長就是第(3)題易證aobcod,所以ab=cd,測(cè)得cd的長即可得ab的長解:(1)如圖6示(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)a、b的一點(diǎn)o,在ao的延長線上取一點(diǎn)c,并測(cè)得ocoa,在bo的延長線上取一點(diǎn)d,并測(cè)得odob,這時(shí)測(cè)出cd的長為,則ab的長就是(3)理由:由測(cè)法可得oc=oa,od=ob又cod=aob,codaobcd=ab=(注意書寫格式和書寫過程,一定要嚴(yán)謹(jǐn)!

6、) 圖6 評(píng)注:本題的背景是學(xué)生熟悉的,提供了一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì),重點(diǎn)考查了學(xué)生的操作能力,培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)練習(xí)1已知:如圖,d是abc的邊ab上一點(diǎn),abfc,df交ac于點(diǎn)e,de=fe 求證:ae=ce2如圖,在abc中,點(diǎn)e在bc上,點(diǎn)d在ae上,已知abd=acd,bde=cde求證:bd=cd 3用有刻度的直尺能平分任意角嗎?下面是一種方法:如圖所示,先在aob的兩邊上取op=oq,再取pm=qn,連接pn、qm,得交點(diǎn)c,則射線oc平分aob你能說明道理嗎? 4如圖,abc中,ab=ac,過點(diǎn)a作gebc,角平分線bd、cf相交于點(diǎn)h,它們的延長線分別交ge于點(diǎn)e、g試

7、在圖10中找出3對(duì)全等三角形,并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明 5已知:如圖,點(diǎn)c、d在線段ab上,pc=pd請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使圖中存在全等三角形,并給予證明所添?xiàng)l件為_,你得到的一對(duì)全等三角形是_ 7如圖,在abd和acd中,ab=ac,b=c求證:abdacd 8如圖14,直線ad與bc相交于點(diǎn)o,且ac=bd,ad=bc求證:co=do9已知abc,ab=ac,e、f分別為ab和ac延長線上的點(diǎn),且be=cf,ef交bc于g求證:eg=gf 10已知:如圖16,ab=ae,bc=ed,點(diǎn)f是cd的中點(diǎn),afcd求證:b=e 11如圖17,某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃

8、店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是( )(a)帶和去 (b)帶去 (c)帶去 (d)帶去 12有一專用三角形模具,損壞后,只剩下如圖中的陰影部分,你對(duì)圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后,就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具,并說明其中的道理 初中數(shù)學(xué)定理 公式匯編一、數(shù)與代數(shù)1 數(shù)與式(1) 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的性質(zhì):實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是a,實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是(a0);實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值:正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),絕對(duì)值大的反而小。二次根式:積與商的方根的運(yùn)算性質(zhì):(a0,b0);(a0,b0);二次根式的性質(zhì):(2)整式與分式同底數(shù)冪的乘法法則:同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,即(m、n為正整

9、數(shù));同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即(a0,m、n為正整數(shù),mn);冪的乘方法則:冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘,即(n為正整數(shù));零指數(shù):(a0);負(fù)整數(shù)指數(shù):(a0,n為正整數(shù));平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方,即;完全平方公式:兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍,即;分式分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變,即;,其中m是不等于零的代數(shù)式;分式的乘法法則:;分式的除法法則:;分式的乘方法則:(n為正整數(shù));同分母分式加減法則:;異分母分式加減法則:;2 方程

10、與不等式一元二次方程(a0)的求根公式:一元二次方程根的判別式:叫做一元二次方程(a0)的根的判別式:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;方程沒有實(shí)數(shù)根;一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:設(shè)、是方程 (a0)的兩個(gè)根,那么+=,=;不等式的基本性質(zhì):不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變;3 函數(shù)一次函數(shù)的圖象:函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù),k0)的圖象是過點(diǎn)(0,b)且與直線y=kx平行的一條直線;一次函數(shù)的性質(zhì):設(shè)y=kx+b(k0),則當(dāng)k0

11、時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k0,則當(dāng)x0時(shí)或x0時(shí),y分別隨x的增大而減??;如果k0時(shí)或x0時(shí),拋物線開口向上,當(dāng)a0時(shí),如果,則y隨x的增大而減小,如果,則y隨x的增大而增大;當(dāng)a0時(shí),如果,則y隨x的增大而增大,如果,則y隨x的增大而減小;二、空間與圖形1 圖形的認(rèn)識(shí)(1)角角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等,角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上。(2)相交線與平行線同角或等角的補(bǔ)角相等,同角或等角的余角相等;對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等垂線的性質(zhì):過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;直線外一點(diǎn)有與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中,垂線段最短;線段垂直

12、平分線定義:過線段的中點(diǎn)并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線;線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線;平行線的定義:在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線;平行線的判定:同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;平行線的特征:兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線。(3)三角形三角形的三邊關(guān)系定理及推論:三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;三角形的內(nèi)角和定理:三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于;三

13、角形的外角和定理:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)的和;三角形的外角和定理推理:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角;三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)(內(nèi)心);三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)(外心);三角形中位線定理:三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;全等三角形的判定:邊角邊公理(sas)角邊角公理(asa)角角邊定理(aas)邊邊邊公理(sss)斜邊、直角邊公理(hl)等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩個(gè)底角相等;等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)等腰三角形的判定:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形;直角三角形的性質(zhì):直角三角形的

14、兩個(gè)銳角互為余角;直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理);直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;直角三角形的判定:有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形;如果三角形的三邊長a、b 、c有下面關(guān)系,那么這個(gè)三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。(4)四邊形多邊形的內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和等于(n3,n是正整數(shù));平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對(duì)邊相等;平行四邊形的對(duì)角相等;平行四邊形的對(duì)角線互相平分;平行四邊形的判定:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平行

15、且相等的四邊形是平行四邊形。矩形的性質(zhì):(除具有平行四邊形所有性質(zhì)外)矩形的四個(gè)角都是直角;矩形的對(duì)角線相等;矩形的判定:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;菱形的特征:(除具有平行四邊形所有性質(zhì)外菱形的四邊相等;菱形的對(duì)角線互相垂直平分,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形的判定:四邊相等的四邊形是菱形;正方形的特征:正方形的四邊相等;正方形的四個(gè)角都是直角;正方形的兩條對(duì)角線相等,且互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的判定:有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;有一組鄰邊相等的矩形是正方形。等腰梯形的特征:等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

16、等腰梯形的判定:同一底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形;兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。平面圖形的鑲嵌:任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面;(5)圓點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)p到圓心o的距離為d):點(diǎn)p在圓上,則d=r,反之也成立;點(diǎn)p在圓內(nèi),則dr,反之也成立;圓心角、弦和弧三者之間的關(guān)系:在同圓或等圓中,圓心角、弦和弧三者之間只要有一組相等,可以得到另外兩組也相等;圓的確定:不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓;垂徑定理(及垂徑定理的推論):垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條??;平行弦夾等?。簣A的兩條平行弦所夾的弧相等;圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù);圓

17、心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦的弦心距相等;推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等;圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半;圓周角定理的推論:直徑所對(duì)的圓周角是直角,反過來,的圓周角所對(duì)的弦是直徑;切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,這一點(diǎn)到兩切點(diǎn)的線段相等,它與圓心的連線平分兩切線的夾角;弧長計(jì)算公式:(r為圓的半徑,n是弧所對(duì)的圓心

18、角的度數(shù),為弧長)扇形面積:或(r為半徑,n是扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù),為扇形的弧長)弓形面積(6)尺規(guī)作圖(基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓)作一條線段等于已知線段,作一個(gè)角等于已知角;作已知角的平分線;作線段的垂直平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線;(7)視圖與投影畫基本幾何體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖);基本幾何體的展開圖(除球外)、根據(jù)展開圖判斷和設(shè)別立體模型;2.圖形與變換圖形的軸對(duì)稱軸對(duì)稱的基本性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸平分;等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對(duì)稱圖形;圖形的平移圖形平移的基本性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等;圖形的旋轉(zhuǎn)圖

19、形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等;平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形(邊數(shù)是偶數(shù))、圓是中心對(duì)稱圖形;圖形的相似比例的基本性質(zhì):如果,則,如果,則相似三角形的設(shè)別方法:兩組角對(duì)應(yīng)相等;兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等;三邊對(duì)應(yīng)成比例相似三角形的性質(zhì):相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例;相似三角形的周長之比等于相似比;相似三角形的面積比等于相似比的平方;相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等;相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例;相似多邊形的面積之比等于相似比的平方;圖形的位似與圖形相似的關(guān)系:兩個(gè)圖形相似不一定是位似圖形,兩個(gè)位似圖形一定是相似圖形;rtabc中,c=,sina=,cosa=, tana=,cota=特殊角的三角函數(shù)值:sincostan1cot1三、概率與統(tǒng)計(jì)1統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集方法、數(shù)據(jù)的表示方法(統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖)(1)總體與樣本所要考察對(duì)象的全體叫做總體,其中

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