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文檔簡介
1、導(dǎo)體與電介質(zhì)習(xí)題 9-1 一塊很大的帶電金屬薄板,其電荷一塊很大的帶電金屬薄板,其電荷面密度為面密度為,離金屬板為,離金屬板為d處有一質(zhì)量為處有一質(zhì)量為m、電荷量為電荷量為-q的點(diǎn)電荷從靜止釋放,計(jì)算電荷的點(diǎn)電荷從靜止釋放,計(jì)算電荷的加速度及落到板上時(shí)的速度和時(shí)間。的加速度及落到板上時(shí)的速度和時(shí)間。(忽略重力和(忽略重力和-q 對金屬板上電荷分布的影對金屬板上電荷分布的影響)響) dm-q解:解:aFmq=E20eqam=20eqam=v=2ad20eqdm=tv=a=20eqdm20eqm.=40eqmd 9-2 有一塊很大的帶電金屬板及一小球,有一塊很大的帶電金屬板及一小球,已知小球的質(zhì)量
2、為已知小球的質(zhì)量為m =1.010-3g,帶有電,帶有電荷量荷量q =2.010-8C,小球懸掛在一絲線的,小球懸掛在一絲線的下端,平衡時(shí)懸線與金屬板面間的夾角為下端,平衡時(shí)懸線與金屬板面間的夾角為300,如圖所示。試計(jì)算帶電金屬板上的電,如圖所示。試計(jì)算帶電金屬板上的電荷面密度荷面密度 。m+q+=5.010-9(C/m2) 解:解:qTgm=cosEqqT=sin20eq=tgqgm20eq=tgqgm20eq=mg qTF 9-3 證明在靜電平衡時(shí),導(dǎo)體表面某面證明在靜電平衡時(shí),導(dǎo)體表面某面元元S所受的靜電力為所受的靜電力為: 22=FS ene0 面元外側(cè)場強(qiáng)可視為面元面元外側(cè)場強(qiáng)可視
3、為面元S在外側(cè)所產(chǎn)在外側(cè)所產(chǎn)生的場強(qiáng)和導(dǎo)體其余部分電荷所產(chǎn)生的場生的場強(qiáng)和導(dǎo)體其余部分電荷所產(chǎn)生的場強(qiáng)強(qiáng)E1之和,即:之和,即:證:在導(dǎo)體表面取面元證:在導(dǎo)體表面取面元SE1+ESE=ESE=e0面元外側(cè)場強(qiáng)為:面元外側(cè)場強(qiáng)為:面元上電荷面密度為:面元上電荷面密度為:內(nèi)側(cè)場強(qiáng):內(nèi)側(cè)場強(qiáng):E=0內(nèi)內(nèi)面元面元S還將在內(nèi)側(cè)所產(chǎn)生場強(qiáng)還將在內(nèi)側(cè)所產(chǎn)生場強(qiáng)=ESES且且 SE1+ESE=內(nèi)內(nèi)=0E1ES= 在靜電平衡時(shí),內(nèi)側(cè)的合場強(qiáng)(導(dǎo)體內(nèi)在靜電平衡時(shí),內(nèi)側(cè)的合場強(qiáng)(導(dǎo)體內(nèi)部)應(yīng)為零。部)應(yīng)為零。E1ES=12E=FS E122=Se0 9-4 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m、面積為、面積為S 的均質(zhì)薄金的均質(zhì)薄
4、金屬盤屬盤 ,放置在一無限大導(dǎo)體平板上,平板,放置在一無限大導(dǎo)體平板上,平板水平放置水平放置,最初盤和平板都不帶電,然后逐最初盤和平板都不帶電,然后逐漸使它們帶電。問電荷面密度增加到何值漸使它們帶電。問電荷面密度增加到何值時(shí),金屬盤將離開平板。時(shí),金屬盤將離開平板。 Egmq=解:解:S=2e02=S2e0=gmS2e0gmS2e0使金屬板離開的條件為:使金屬板離開的條件為: 9-5 在一無限大接地導(dǎo)體平板附近有一在一無限大接地導(dǎo)體平板附近有一點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q,它離板面的距離為,它離板面的距離為 d。求導(dǎo)體表。求導(dǎo)體表面上各點(diǎn)的感應(yīng)電荷面密度面上各點(diǎn)的感應(yīng)電荷面密度 。 qqd 解:因?yàn)閷?dǎo)體是一
5、等勢面??梢栽O(shè)想若在解:因?yàn)閷?dǎo)體是一等勢面。可以設(shè)想若在左側(cè)對稱位置上放置一帶電量為左側(cè)對稱位置上放置一帶電量為-q的點(diǎn)電荷,的點(diǎn)電荷,那么由這兩個點(diǎn)電荷所形成的電場在板上仍那么由這兩個點(diǎn)電荷所形成的電場在板上仍然為一等勢面,即用然為一等勢面,即用-q去代替板上的感應(yīng)電去代替板上的感應(yīng)電荷,所產(chǎn)生的場是是一樣的。荷,所產(chǎn)生的場是是一樣的。qqdrq+Eqr2e04p+=E=qr2e04p=2qcos2qcosE= E+表面表面qqdrq+E+E表面表面E=Se0s=E dS.EScos1800表面表面=e0E表面表面=e0qr2e02pqcos=qd22pqcos3=rqcosdE表面表面 9
6、-6 半徑為半徑為r1 、 r2 (r1 R1),通過其中心的平,通過其中心的平面把它一分為二,其中一半是空氣,另一半面把它一分為二,其中一半是空氣,另一半充滿相對電客率為充滿相對電客率為er 的電介質(zhì)。試證明其電的電介質(zhì)。試證明其電容等于用相對電容率為容等于用相對電容率為全部電容器的電容。全部電容器的電容。2er1+的電介質(zhì)充滿的電介質(zhì)充滿解:解:2CrerR1e02p=R2R1R2+=C2C02Cr+=R1e04pR2R1R2er12erR1e04p=R2R1R2=+er12ere0R12p=R2R1R2C0空氣空氣erR1e02p=R2R1R2Cr介質(zhì)介質(zhì)2C0R1e02p=R2R1R2
7、按題意按題意兩只電容器相當(dāng)于并聯(lián)兩只電容器相當(dāng)于并聯(lián)與與Cr比較可得:比較可得: 9-22 一個可變電容器,由于某種原因使一個可變電容器,由于某種原因使所有動片相對定片都產(chǎn)生了一個相對位移,所有動片相對定片都產(chǎn)生了一個相對位移,使得兩個相鄰的極板間隔之比為使得兩個相鄰的極板間隔之比為1:2,問,問電容器的電容與原來的相比改變了多少?電容器的電容與原來的相比改變了多少? 解:設(shè)原來相鄰動片與定片之間的距離解:設(shè)原來相鄰動片與定片之間的距離為為d ,相對面積為,相對面積為S。2C=C0Sde02=動動片片定定片片設(shè)定片有設(shè)定片有n片,動片有片,動片有(n-1)片。片。將兩片定片之間插入一動片作為一
8、個單元。將兩片定片之間插入一動片作為一個單元。共有共有(n-1)單元。單元。每個單元相當(dāng)于兩個相同的每個單元相當(dāng)于兩個相同的電容器并聯(lián),其電容為:電容器并聯(lián),其電容為:2C=C0Sde02=+C=C1C2+2=Sde034d3Se0=4Sde09=4Sde0C=CC(n-1)4Sde0動動片片定定片片變化后每個單元的電容為:變化后每個單元的電容為:每個單元電容的改變?yōu)椋好總€單元電容的改變?yōu)椋赫麄€電容器電容的改變?yōu)椋赫麄€電容器電容的改變?yōu)椋?9-23 兩塊相互平行的大金屬板,板面積兩塊相互平行的大金屬板,板面積均為均為S ,間距為間距為d 用電源使兩板分別維持在電用電源使兩板分別維持在電勢勢V
9、和零電勢,現(xiàn)將第三塊相同面積而厚度和零電勢,現(xiàn)將第三塊相同面積而厚度可略的金屬板插在兩板的正中間,已知該可略的金屬板插在兩板的正中間,已知該板上原帶有電荷量板上原帶有電荷量 q ,求該板的電勢。,求該板的電勢。 解:未插入帶電導(dǎo)體片時(shí),解:未插入帶電導(dǎo)體片時(shí),AB間場強(qiáng)都為間場強(qiáng)都為E1Ud=2 Sqe0E2=+EBC=E1E2+=2 SUqde0+=12U2 Sqde0=d12EBCU插入帶電導(dǎo)體片后,插入帶電導(dǎo)體片后,AB間場強(qiáng)變?yōu)殚g場強(qiáng)變?yōu)?9-24 一平板電容器(極板面積為一平板電容器(極板面積為S 間距為間距為d)中充滿兩種介質(zhì)(如圖),設(shè)兩種介質(zhì)在)中充滿兩種介質(zhì)(如圖),設(shè)兩種介
10、質(zhì)在極板間的面積比極板間的面積比(S1/S2)=3,試計(jì)算其電容。,試計(jì)算其電容。如兩電介質(zhì)尺寸相同,電容又如何?如兩電介質(zhì)尺寸相同,電容又如何? e1e2 解:設(shè)第一種介質(zhì)所占面積為解:設(shè)第一種介質(zhì)所占面積為S1 ,第二,第二種介質(zhì)所占面積為種介質(zhì)所占面積為S-S1 。dC1e1=S1()dC2e2=S S1=+C1C2C+e1()de2=S1e2S2+e1()de2S34=C=S1S12當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)=S1S34當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)e1()de2S2=C+兩個電容器并聯(lián)兩個電容器并聯(lián)e1e2 9-25 平板電容器(極板面積為平板電容器(極板面積為S 間距為間距為d)中間有兩層厚度各為)中間有兩層厚度各為d1
11、和和d2(d1=d1+d1 )、電容率各為電容率各為e1和和e2的電介質(zhì),試計(jì)算其電容。的電介質(zhì),試計(jì)算其電容。如如d1=d2 ,則電容又如何?,則電容又如何?e1e2解:相當(dāng)于兩個電容器串聯(lián)解:相當(dāng)于兩個電容器串聯(lián)d1C1e1=SC2=d2e2S+Ce1=e2Sd1d2e1e22=d1d2d()+Ce1=e2Sde1e22若若e1e2 9-26 一平行板電容器的電容為一平行板電容器的電容為100pF,極板的面積為極板的面積為100cm2,極板間充滿相對電,極板間充滿相對電容率為容率為5.4的云母電介質(zhì),當(dāng)極板上電勢差的云母電介質(zhì),當(dāng)極板上電勢差為為50V時(shí),求:時(shí),求: (1)云母中的場強(qiáng))
12、云母中的場強(qiáng)E; (2)電容器極板上的自由電荷;)電容器極板上的自由電荷; (3)云母介質(zhì)面上的極化面電荷;)云母介質(zhì)面上的極化面電荷; =1.1104(V/m) 解:解: (1)dCe=SdCe=SU=dEU=CeSere0U=CS5010010-12=5.48.8510-1210010-4 =10010-1250=5.010-9(C) ()=ser11S=()er11QS=sQQU=C(2) ()=ser11s(3)()=115.4510-9=4.110-9(C) 9-27 有兩塊平行板,面積各為有兩塊平行板,面積各為100cm2,板上帶有板上帶有8.910-7C的等值異號電荷,兩板的等值
13、異號電荷,兩板間充以介電物質(zhì),已知介質(zhì)內(nèi)部電場強(qiáng)度為間充以介電物質(zhì),已知介質(zhì)內(nèi)部電場強(qiáng)度為1.4106Vm,求:,求: (1)介質(zhì)的相對電容率;)介質(zhì)的相對電容率; (2)介質(zhì)面上的極化面電荷。)介質(zhì)面上的極化面電荷。=7.2解:解:(1)Eere0=sSQere0=SEQere0=8.910-7=1.41068.8510-1210010-4 ()=117.28.910-7=7.710-7(C) =()er11QQ(2) 9-28 在一平行板電容器的兩板上帶有等在一平行板電容器的兩板上帶有等值異號的電荷,兩板間的距離為值異號的電荷,兩板間的距離為5.0mm,充以充以er =3的介質(zhì),介質(zhì)中的電
14、場強(qiáng)度為的介質(zhì),介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為1.0106 Vm,求:,求: (1)介質(zhì)中的電位移矢量;)介質(zhì)中的電位移矢量; (2)平板上的自由電荷密度;)平板上的自由電荷密度; (3)介質(zhì)中的極化強(qiáng)度;)介質(zhì)中的極化強(qiáng)度; (4)介質(zhì)面上的極化電荷面密度;)介質(zhì)面上的極化電荷面密度; (5)平行板上自由電荷及介質(zhì)面上極化電)平行板上自由電荷及介質(zhì)面上極化電荷所產(chǎn)生的那一部分電場強(qiáng)度。荷所產(chǎn)生的那一部分電場強(qiáng)度。 =3.08.8510-121.0106=2.710-5(C/m2) EDere0=解解:3()=112.710-5=1.810-5(C/m2) =2.710-58.8510-12=3.0106
15、(V/m) (2)=sD2.710-5(C/m2) =3.0106-1.0106 =2.0106(V/m) (1)P= ()=ser11s(3)(4)=E0e0s(5)(6)=EE0E 9-29 兩板相距為兩板相距為5.0mm的平板電容器,的平板電容器,板上帶有等值異號的電荷,電荷的面密度為板上帶有等值異號的電荷,電荷的面密度為20mCm2,兩板間平行于板面放置兩片電,兩板間平行于板面放置兩片電介質(zhì),一為介質(zhì),一為2.0mm厚,相對電客率為厚,相對電客率為3,另,另一為一為3.0mm厚,相對電容率為厚,相對電容率為4,求:,求:(1)各介質(zhì)中的電位移矢量;)各介質(zhì)中的電位移矢量;(2)各介質(zhì)中
16、的電場強(qiáng)度;)各介質(zhì)中的電場強(qiáng)度;(3)各介質(zhì)面上的極化電荷面密度。)各介質(zhì)面上的極化電荷面密度。 解:解:(1)20mC/m2D=sE1er1e0=D=2010-63.08.8510-12=7.5105(V/m) E2er2e0=D=2010-64.08.8510-12=5.7105(V/m) ()=s111er1s()=11320=13.3(mC/m2) ()=s211er2s()=11420=15(mC/m2) (2)(3) 9-30 在半徑為在半徑為R 的金屬球之外包有一的金屬球之外包有一層均勻介質(zhì)層(見圖),外半徑為層均勻介質(zhì)層(見圖),外半徑為R設(shè)電設(shè)電介質(zhì)的相對電容率為介質(zhì)的相對
17、電容率為er ,金屬球的電荷量為,金屬球的電荷量為Q,求:,求: (1)介質(zhì)層內(nèi)、外的場強(qiáng)分布;)介質(zhì)層內(nèi)、外的場強(qiáng)分布; (2)介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢分布;)介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢分布; (3)金屬球的電勢。)金屬球的電勢。 RR解:解:(1)D dSs=Q.r 24p=QDr 2ere04p=QE內(nèi)內(nèi)r 2e04p=QE外外()rR rR()rR rRR()=+rRRE內(nèi)內(nèi)dr.E外外dr.U內(nèi)內(nèi)(2)()+Rere04p=Qer1R1UR(3)RR 9-31 半徑為半徑為R0的導(dǎo)體球帶有電荷的導(dǎo)體球帶有電荷Q ,球外有一層均勻電介質(zhì)的同心球殼,其內(nèi)外球外有一層均勻電介質(zhì)的同心球殼,其內(nèi)外半徑分別
18、為半徑分別為R1和和R2 ,相對電容率為,相對電容率為er (見(見圖),求:圖),求: (1)介質(zhì)內(nèi)外的電場強(qiáng)度)介質(zhì)內(nèi)外的電場強(qiáng)度E和電位移和電位移D; (2)介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度)介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度P和表面上的極化和表面上的極化電荷面密度電荷面密度 。R2R0R1erQ解:解:r 2ere04p=QE內(nèi)內(nèi)Qr 2e04p=E外外()er1r 2er4p=QsR2()er1R2er4p=Q2 rR2()rR2 rR1=+C1C22+C1C22U0串聯(lián)時(shí)串聯(lián)時(shí)=WW串串W并并+=12U2()+C1C224C1C2C1C2()=+12U2()C1C22C1C20結(jié)論結(jié)論:電量和能量都是并聯(lián)時(shí)大電量和
19、能量都是并聯(lián)時(shí)大. 9-39 半徑為半徑為2.0cm的導(dǎo)體球,外套同心的導(dǎo)體球,外套同心的導(dǎo)體球殼,殼的內(nèi)外半徑分別為的導(dǎo)體球殼,殼的內(nèi)外半徑分別為4.0cm和和5.0cm,球與殼之間是空氣,殼外也是空氣,球與殼之間是空氣,殼外也是空氣,當(dāng)內(nèi)球的電荷量為當(dāng)內(nèi)球的電荷量為3.010-8C時(shí),時(shí), (1)這個系統(tǒng)儲藏了多少電能?)這個系統(tǒng)儲藏了多少電能? (2)如果用導(dǎo)線把殼與球聯(lián)在一起,結(jié)果)如果用導(dǎo)線把殼與球聯(lián)在一起,結(jié)果如何?如何? =1.810-4(J) WdVE2e0=12解:解: (1)在內(nèi)殼空氣中及殼外空氣中場強(qiáng)為在內(nèi)殼空氣中及殼外空氣中場強(qiáng)為2Qr e04p=EQ2e032p2=d
20、Vr 44pr 2Q2e032p2=drr 4R2+Q2e08p=drr 2R1drr 2R3+Q2e08p=R11R21R31=8.110-4(J) (2)若用導(dǎo)線將球與殼相連聯(lián)若用導(dǎo)線將球與殼相連聯(lián),電荷將移電荷將移Q2e08p=drr 2R3WdVE2e0=12Q2e08p=R31.到殼外表面。到殼外表面。 9-40 一空氣電容器充電后切斷電源,然一空氣電容器充電后切斷電源,然后灌入煤油,問電容器的能量有何變化?如后灌入煤油,問電容器的能量有何變化?如果在灌油時(shí)電容器一直與電源相連,能量又果在灌油時(shí)電容器一直與電源相連,能量又如何變化?如何變化? CC0er=解:解:(1)若切斷電源再注
21、入煤油,電量不變?nèi)羟袛嚯娫丛僮⑷朊河?,電量不變W=Q212 C2e0=C0Q2WerW=C C0er=W=U212C =Wer(2)若與電源相聯(lián)再注入煤油,電壓不變?nèi)襞c電源相聯(lián)再注入煤油,電壓不變 9-41 兩個相同的空氣電容器,其電容都兩個相同的空氣電容器,其電容都是是0.9010-9F,都充電到電壓各為,都充電到電壓各為900V后后斷開電源,把其中之一浸入煤油斷開電源,把其中之一浸入煤油(er =2)中,中,然后把兩個電容器并聯(lián),求:然后把兩個電容器并聯(lián),求: (1)侵入煤油過程中損失的靜電場能:)侵入煤油過程中損失的靜電場能: (2)并聯(lián)過程中損失的靜電場能。)并聯(lián)過程中損失的靜電場能。
22、=3.6510-4(J) 解:解:(1)每只電容器原來能量為每只電容器原來能量為W0=U212C00.910-9(900)2 =12W0erW=3.65210-4=1.8310-4(J) =1.8210-4(J) W=W0W注入煤油電容器的能量為注入煤油電容器的能量為Q=U2C0()=+er1C0C()W=12U2C02()+er1C0=+er14W0 (2)若并聯(lián),切斷電源,總電量不變?nèi)舨⒙?lián),切斷電源,總電量不變=2.3410-4(J) W= W0W2=+er14W02=+14223.6510-4 9-42 一平行板電容器有兩層介質(zhì)一平行板電容器有兩層介質(zhì),er1 =4,er2 =2 ,厚度
23、為厚度為d1=2.0mm,d2=3.0mm,極板面積為極板面積為S=40cm2,兩極板間電壓為兩極板間電壓為200V。計(jì)算。計(jì)算。 (1)每層介質(zhì)中的電場能量密度;)每層介質(zhì)中的電場能量密度; (2)每層介質(zhì)中的總電能;)每層介質(zhì)中的總電能; (3)用式告)用式告(1/2)qU算電容器的總電能。算電容器的總電能。 解:解: (1)設(shè)介質(zhì)設(shè)介質(zhì)1中場強(qiáng)為中場強(qiáng)為E2,介質(zhì)介質(zhì)2中場強(qiáng)為中場強(qiáng)為E2Ud2E2+=d1E1E2=E1er1er2Ud2+d1=E1er1er2=2.5104(V/m) =E1E2er1er2=5.0104(V/m) =D1D2=e0E1er1=4.08.8510-122
24、.5104=8.8510-7(C/m2) 由上兩式解得由上兩式解得=128.8510-72.5104=1.1110-2(J/m3) =w2D2E212=128.8510-75.0104=2.2210-2(J/m3) =W2w2V2=2.2210-24010-43.010-3=2.6610-7(J) =W1w1V1=1.1110-24010-42.010-3=8.8810-8(J) =w1D1E112(2)=8.8510-74010-4 (C) =DS=123.5410-9200=3.5410-9(C) qU12=W=qsS=3.5410-7(J) 9-43 電容電容C1=4mF的電容器在的電容器在800V的電的電勢差下充電,然后切斷電源,并將此電容器勢差下充電,然后切斷電源,并將此電容器的兩個極板分別和原來不帶電、電容為的兩個極板分別和原來不帶電、電容為C2=6mF的兩極板相連,求:的兩極板相
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