正方形與全等模型含答案[共93頁(yè)]

1、正方形與全等模型1（垂直相等） 如圖，在正方形 ABCD 中（1）若點(diǎn) E、F 分別在 AB 、AD 上，且 AE=DF 試判斷 DE 與 CF 的數(shù)量及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若 P、Q、M 、N 是正方形 ABCD 各邊上的點(diǎn)， PQ 與 MN 相交，且 PQ=MN ，問(wèn)PQMN 成立嗎？為什么？2（三垂） 如圖，直線MN 不與正方形的邊相交且經(jīng)過(guò)正方形 ABCD 的頂點(diǎn) D，AM MN 于 M ，CNMN 于 N，BRMN 于 R（1）求證： ADM DCN ：（2）求證： MN=AM+CN ；（3）試猜想 BR 與 MN 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想3（三垂） 如圖， 在平的直角坐標(biāo)

2、系中， 直線y=2x+2 與 x軸、y軸分別相交于點(diǎn) A、B，四邊形 ABCD 是正方形，曲線y= 在第一象限經(jīng)過(guò)點(diǎn) D求雙曲線表示的函數(shù)解析式4 （三垂） 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，直線l1，l2，l3 分別通過(guò)A ，B，C 三點(diǎn)，且 l1l2 l3，若 l1 與 l2 的距離為5，l2 與 l3 的距離為7，則正方形 ABCD 的面積等于（ ）A70 B74 C144 D1485（三垂） 如圖在平面直角坐標(biāo)系中正方形 OABC 的邊OC，OA 分別在 x軸正半軸上和 y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) B 在雙曲線y=上，直線y=kxk（k0）交 y軸與 F（1）求點(diǎn) B、E 的坐標(biāo)；（2）連接

3、BE，CF 交于 M 點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù) k，使得 BECF？若存在，求出 k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）F 在線段 OA 上，連 BF，作 OM BF 于 M ，AN BF 于 N，當(dāng) F 在線段 OA 上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與 O、A 重合），的值是否變化若變化，求出變化的范圍；若不變，求其值6（對(duì)角互補(bǔ)） 已知：如圖，正方形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) OE、F 分別是邊 AB 、BC 上的點(diǎn)，若 AE=4cm ，CF=3cm，且 OEOF，則 EF 的長(zhǎng)為 _ cm7（對(duì)角互補(bǔ)） 在圖 1 到圖 3 中，點(diǎn) O 是正方形 ABCD 對(duì)角線 AC 的中點(diǎn)， MPN 為直角

4、三角形， MPN=90 正方形 ABCD 保持不動(dòng)， MPN 沿射線 AC 向右平移，平移過(guò)程中 P 點(diǎn)始終在射線 AC 上，且保持 PM 垂直于直線AB 于點(diǎn) E，PN 垂直于直線 BC 于點(diǎn) F（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合時(shí)， OE 與 OF 的數(shù)量關(guān)系為 _ ；（2）如圖 2，當(dāng) P 在線段 OC 上時(shí)，猜想 OE 與 OF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對(duì)你的猜想結(jié)果給予證明；（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P 在 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)， OE 與 OF 的數(shù)量關(guān)系為 _ ；位置關(guān)系為 _ 8（對(duì)角互補(bǔ)） 如圖，正方形 ABCD 中，AC 是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)

5、 B，直角頂點(diǎn) P在射線 AC 上移動(dòng)，另一邊交 DC 于 Q（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) Q 在 DC 邊上時(shí)，猜想并寫出 PB 與 PQ 所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) Q 落在 DC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想并寫出 PB 與 PQ 滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想9（對(duì)角互補(bǔ)） 如圖，正方形 ABCD ，點(diǎn) P 是對(duì)角線AC 上一點(diǎn)，連接 BP，過(guò)P 作 PQBP，PQ 交 CD 于 Q，連接 BQ 交 AC 于 G，若 AP= ，Q為CD 中點(diǎn)，則下列結(jié)論： PBC= PQD； BP=PQ； BPC=BQC ； 正方形 ABCD 的面積是 16；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A4 B3

6、 C2 D110（對(duì)角互補(bǔ)） 如圖1，直角 EPF 的頂點(diǎn)和正方形 ABCD 的頂點(diǎn) C 重合，兩直角邊PE，PF 分別和 AB ，AD 所在的直線交于點(diǎn) E 和 F易得 PBE PDF，故結(jié)論“PE=PF”成立；（1）如圖2，若點(diǎn) P 在正方形 ABCD 的對(duì)角線AC 上，其他條件不變， （1）中的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由；（2）如圖（ 3）將（ 2）中正方形 ABCD 改為矩形 ABCD 其他條件不變，若 AB=m ，BC=n ，直接寫出 的值11（對(duì)角互補(bǔ)） 如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形 ABCD ，Q為CD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， AQ 交 BD 于點(diǎn) M ，過(guò)M 作 MN AQ交 BC 于點(diǎn) N，

7、作 NPBD 于點(diǎn) P，連接 NQ，下列結(jié)論： AM=MN ； MP= BD ； BN+DQ=NQ ；為定值其中一定成立的是（ ）A B C D 12（等角共頂點(diǎn)） （1）如圖 ，ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ，點(diǎn) D為BC邊上一點(diǎn)（與點(diǎn) B、C 不重合），連接 AD ，以 AD為一邊且在 AD 的右側(cè)作正方形 ADEF 可猜想線段 CF，BD 之間的數(shù)量關(guān)系是 _ ，位置關(guān)系是 _ ；（2）當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖 ，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，給出證明，如果不成立，說(shuō)明理由13（等角共頂點(diǎn)） 已知點(diǎn) O為正方形 ABCD 的中心， M為射線OD 上一

8、動(dòng)點(diǎn) （M 與點(diǎn) O，D 不重合），以線段 AM為一邊作正方形 AMEF ，連接 FD（1）當(dāng)點(diǎn) M 在線段 OD 上時(shí)（如圖1），線段 BM 與 DF 有怎樣的數(shù)量及位置關(guān)系？請(qǐng)判斷并直接寫出結(jié)果；（2）當(dāng)點(diǎn) M 在線段 OD 的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由14（等角共頂點(diǎn)） 以ABC 的各邊， 在邊BC 的同側(cè)分別作三個(gè)正方形 他們分別是正方形 ABDI ，BCFE，ACHG ，試探究：（1）如圖中四邊形 ADEG 是什么四邊形？并說(shuō)明理由（2）當(dāng) ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADEG 是矩形？（3）當(dāng) ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADEG 是正

9、方形？15（等角共頂點(diǎn)） 在直角三角形 ABC 中，C=90，BC=2，以 AB為邊作正方形 ABDE ，連接 AD 、BE 交 O，CO= ，則AC 的長(zhǎng)為（ ）A2 B3 C4 D16（等角共頂點(diǎn)） 如圖，已知正方形 ABCD ，點(diǎn) E 是 BC 上一點(diǎn)，以 AE為邊作正方形 AEFG （1）連接 GD，求證： ADG ABE ；（2）連接 FC，求證： FCN=45 ；（3）請(qǐng)問(wèn)在 AB邊上是否存在一點(diǎn) Q，使得四邊形 DQEF 是平行四邊形？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由17（等角共頂點(diǎn)） 如圖 1，2，四邊形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)直角三角尺的一條直角

10、邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn) E 在 AB 邊上滑動(dòng)（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A，B 重合），另一條直角邊與 CBM 的平分線 BF 相交于點(diǎn) F（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 邊的中點(diǎn)， N 為 AD 邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過(guò)測(cè)量 DE，EF 的長(zhǎng)度，猜想 DE 與 EF 滿足的數(shù)量關(guān)系是 _ ； 請(qǐng)證明你的上述猜想（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 邊上的任意位置時(shí)，猜想此時(shí) DE 與 EF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論18（對(duì)角互補(bǔ)分半） 已知，四邊形 ABCD 是正方形， MAN=45 ，它的兩邊 AM 、AN 分別交 CB、DC 與點(diǎn) M 、N，連接 MN ，作 AH MN ，垂足為點(diǎn) H（

11、1）如圖 1，猜想 AH 與 AB 有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）如圖 2，已知 BAC=45 ，AD BC 于點(diǎn) D，且 BD=2 ，CD=3，求 AD 的長(zhǎng)；小萍同學(xué)通過(guò)觀察圖 發(fā)現(xiàn)， ABM 和AHM 關(guān)于 AM 對(duì)稱，AHN 和ADN 關(guān)于 AN 對(duì)稱， 于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖 進(jìn)行翻折變換，解答了此題你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問(wèn)題嗎？19（對(duì)角互補(bǔ)分半） （1）如圖 ，在正方形 ABCD 中， AEF 的頂點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在 BC，CD 邊上，高 AG 與正方形的邊長(zhǎng)相等，求 EAF 的度數(shù)（2）如圖 ，在 RtABD 中，BAD=90 ，AB=AD ，點(diǎn) M ，N

12、是 BD 邊上的任意兩點(diǎn)， 且MAN=45 ，將ABM繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90至ADH 位置，連接 NH，試判斷 MN ，ND ，DH 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）在圖 中，連接 BD 分別交 AE，AF 于點(diǎn) M ，N，若 EG=4，GF=6，BM=3 ，求 AG，MN 的長(zhǎng)20（對(duì)角互補(bǔ)分半） 如圖，將邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD 沿著折痕 EF 折疊，使點(diǎn) B 落在邊 AD 的中點(diǎn) G 處，那么四邊形 BCFE 的面積等于 _ ；若 GH 與 CD 交點(diǎn)為 I，那么 GBI=_ .21（等角共頂點(diǎn)拓展） 如圖， 四邊形 ABCD 是正方形， 以 CG 為一邊在正方形 ABCD 外

13、作正方形 CEFG，連接 BG ，DE猜想圖中線段 BG 、DE 的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由22（等角共頂點(diǎn)拓展） 如圖， 正方形 ABDE 和 ACFG 是以 ABC 的 AB 、AC 為邊的正方形， P、Q 為它們的中心，M 是 BC 的中點(diǎn)，試判斷 MP 、MQ 在數(shù)量和位置是有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論23如圖所示，四邊形 ABCD 為正方形， BEF 為等腰直角三角形（ BFE=90 ，點(diǎn) B、E、F 按逆時(shí)針順序） ，P為 DE 的中點(diǎn)，連接 PC、PF（1）如圖（ 1），E 點(diǎn)在邊 BC 上，則線段 PC、PF 的數(shù)量關(guān)系為 _ ，位置關(guān)系為 _ （不需要證明）（2）如圖（ 2）

14、，將BEF 繞 B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ 045），則線段 PC、PF 有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明（3）如圖（ 3），E 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖中的位置，其它條件不變，完成圖（ 3），則線段 PC、PF 有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論，不需要證明24（等角共頂點(diǎn)拓展） 如圖甲， 操作： 把正方形 CGEF 的對(duì)角線， CE 放在正方形 ABCD 的邊 BC 的延長(zhǎng)線上 （CGBC），取線段 AE 的中點(diǎn) M （1）探究線段 MD 、MF 的位置及數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案即可；（2）將正方形 CGEF 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45（如圖乙） ，令 CG=2BC 其他條件不變，結(jié)論是否發(fā)生

15、變化，并加以證明；（2）將正方形 CGEF 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖丙） ，其他條件不變探究：線段 MD ，MF 的位置及數(shù)量關(guān)系，并加以證明【鞏固練習(xí)】25已知點(diǎn) E 是正方形 ABCD 外的一點(diǎn)， EA=ED ，線段 BE 與對(duì)角線 AC 相交于點(diǎn) F，（1）如圖 1，當(dāng) BF=EF 時(shí)，線段 AF 與 DE 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）如圖 2，當(dāng) EAD 為等邊三角形時(shí)，寫出線段 AF、BF 、EF 之間的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明26如圖 1，四邊形 ABCD 為正方形， E 在 CD 上，DAE 的平分線交 CD 于 F，BGAF 于 G，交 AE 于 H（1）如圖 1，D

16、EA=60 ，求證： AH=DF ；（2）如圖 2，E 是線段 CD 上（不與 C、D 重合）任一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)： AH 與 DF 有何數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖 3，E 是線段 DC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若 F 是ADE 中與 DAE 相鄰的外角平分線與 CD 的交點(diǎn)，其它條件不變，請(qǐng)判斷 AH 與 DF 的數(shù)量關(guān)系（畫圖，直接寫出結(jié)論，不需證明） 27在直角坐標(biāo)系中，直線 y=2x+4 交 x 軸于 A，交 y 軸于 D（1）以 A 為直角頂點(diǎn)作等腰直角 AMD ，直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 _（2）以 AD 為邊作正方形 ABCD ，連 BD，P 是線段 BD 上（不與 B、D 重合）的一點(diǎn)，

17、在 BD 上截取 PG= ，過(guò) G 作 GFBD ，交 BC 于 F，連 AP 則 AP 與 PF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）在（ 2）中的正方形中，若 PAG=45，試判斷線段 PD、PG、BG 之間有何關(guān)系，并證明你的結(jié)論28如圖， 一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn) P 在正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC 所在的直線上滑動(dòng)， 并使得一條直角邊始終經(jīng)過(guò) B 點(diǎn)（1）如圖 1，當(dāng)直角三角形的另一條直角邊和邊 CD 交于 Q 點(diǎn)， = _ ；（2）如圖 2，當(dāng)另一條直角邊和邊 CD 的延長(zhǎng)線相交于 Q 點(diǎn)時(shí)， = _ ；（3）如圖 3 或圖 4，當(dāng)直角頂點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到 AC 或

18、CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖 3 或圖 4 中任選一種情形，求 的值，并說(shuō)明理由29已知，如圖在正方形 OADC 中，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0，4），點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 4，0），CD 的延長(zhǎng)線交雙曲線 y=于點(diǎn) B（1）求直線 AB 的解析式；（2）G 為 x 軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)連接 CG，過(guò) G 作 GECG 交直線 AB 于 E求證 CG=GE；（3）在（ 2）的條件下，延長(zhǎng) DA 交 CE 的延長(zhǎng)線于 F，當(dāng) G 在 x 的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)問(wèn) 的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明你的理由30如圖，四邊形 ABCD 位于平面直角坐標(biāo)系的第一象限， B、C 在 x 軸上，

19、A 點(diǎn)函數(shù) 上，且 AB CD y 軸，AD x 軸，B（1，0）、C（3，0）（1）試判斷四邊形 ABCD 的形狀；（2）若點(diǎn) P 是線段 BD 上一點(diǎn) PEBC 于 E，M 是 PD 的中點(diǎn)，連 EM 、AM 求證： AM=EM ；（3）在圖（ 2）中，連接 AE 交 BD 于 N，則下列兩個(gè)結(jié)論： 值不變； 的值不變其中有且僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選擇正確的結(jié)論證明并求其值參考答案與試題解析一選擇題（共 16 小題）1如圖，在正方形 ABCD 中（1）若點(diǎn) E、F 分別在 AB 、AD 上，且 AE=DF 試判斷 DE 與 CF 的數(shù)量及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若 P、Q、M 、N 是正

20、方形 ABCD 各邊上的點(diǎn)， PQ 與 MN 相交，且 PQ=MN ，問(wèn)PQMN 成立嗎？為什么？考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)專題： 探究型分析： （1）由已知易得DAE CDF，故有 DE=CF （2）由點(diǎn) N，Q分別向 AB ，AD作垂線， 構(gòu)造兩直角三角形全等，由角的等量代換，易得QPMN 解答： 解：（1）在正方形 ABCD 中，AD=DC ，AE=DF ，EAD= FDC，所以EAD FDC，故 DE=CF ， EDA= FCD，又 DCF+ DFC=90， ADE+ DFC=90， DGF=90 即 DECF（2）由點(diǎn) N，Q分別向 AB ，AD作垂線，PQ=MN ，RN=SQ， MNR

21、 QPS（HL ）， PQS=MNR，又1+PQS=90，所以1+MNR=90，即 MN PQ點(diǎn)評(píng)： 解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì) 注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用， 搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率2如圖，直線MN 不與正方形的邊相交且經(jīng)過(guò)正方形 ABCD 的頂點(diǎn) D，AM MN 于 M ，CN MN 于 N，BRMN于 R（1）求證： ADM DCN ：（2）求證： MN=AM+CN ；（3）試猜想 BR 與 MN 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題；探究型分析： 此題分三問(wèn)進(jìn)行，三問(wèn)都與三角

22、形全等直接相關(guān)， 所以要緊扣三角形全等的判定方法進(jìn)行思考（1）要證ADM DCN，由于它們都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD 是正方形有 AD=DC ，再找一個(gè)條件即可， 而由圖形很容易分析得出ADM= DCN；（2）的關(guān)鍵是合理添加輔助線，通過(guò)等量代換等到結(jié)論；（3）首先結(jié)合前面的結(jié)論再結(jié)合圖形合理猜想， 然后再結(jié)合前面的結(jié)論認(rèn)真推理，細(xì)致證明即可解答： （1）證明：AM MN 于點(diǎn) M ，CNMN于點(diǎn) N（已知）， AMD= DNC=90（垂直的定義） MAD+ MDA=180 90=90（三角形內(nèi)角和定理） 四邊形ABCD 是正方形（已知）， ADC=90 ，AD=DC M

23、DA+ NDC=180 90=90（平角的定義） MAD+ MDA= NDC+ NCD MAD= NDC在 AMB 和DNC 中， AMD= DNC，MAD= NDC，AD=DC ， AMD DNC （AAS ）（2）證明：由（1）AMD DNC，AM=DN ，MD=NC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）MD+DN=AM+CN即MN=AM+CN （3）猜想BR=MN 證明如下：作 AEBR 于EBRMN ，CNMN （已知）BRCN（垂直于同一直線的兩條直線平行） 1=2（兩直線平行同位角相等）又四邊形ABCD 是正方形AB BC，DCBC， ABE= DCN=90 1，在 ABE 和DCN 中，AB

24、=DC ，ABE= DCN，AEB= DNC=90 ABE DCN（AAS ）由（ 1）ADM DCN ABE ADMAM=AE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又 AEMR ，AM ER，BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN 點(diǎn)評(píng)： 此題三問(wèn)緊密相連， 第一問(wèn)正確解出后， 后兩問(wèn)就順理成章求出來(lái)了3如圖，在平的直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+2 與 x軸、 y軸分別相交于點(diǎn) A 、B，四邊形 ABCD 是正方形，曲線y= 在第一象限經(jīng)過(guò)點(diǎn) D求雙曲線表示的函數(shù)解析式考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題專題： 探究型分析：過(guò)點(diǎn) D 作DEx軸于點(diǎn)E，先由直線y=2x+2 與 x軸，y軸相交于點(diǎn)A、B 求出

25、 OB及 OA 的長(zhǎng)，再由全等三角形的判定定理得出AOB DEA，故可得出 D點(diǎn)坐標(biāo)， 再由待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式解答： 解：過(guò)點(diǎn) D 作DEx軸于點(diǎn)E，直線y=2x+2 與 x軸， y軸相交于點(diǎn) A 、B，當(dāng) x=0時(shí)，y=2，即 OB=2；當(dāng) y=0時(shí)，x=1 ，即 OA=1 ，四邊形ABCD 是正方形， BAD=90 ，AB=AD BAO+ DAE=90 ADE+ DAE=90 ， BAO= ADE， AOB= DEA=90 ， AOB DEA ，DE=AO=1 ，AE=BO=2 ，OE=3，DE=1 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（3，1）把（3，1）代入 y= 中，得 k=3，故反比

26、例函數(shù)的解析式為：y= 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題， 涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線， 構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵4如圖，四邊形 ABCD 是正方形，直線l1，l2，l3 分別通過(guò)A ，B， C 三點(diǎn)，且 l1l2l 3，若 l1 與 l2 的距離為5，l2 與 l3 的距離為7，則正方形 ABCD 的面積等于（ ）A70 B74 C144 D148考點(diǎn) ： 勾股定理； 全等三角形的判定與性質(zhì)； 正方形的性質(zhì)分析： 畫出 L 1 到 L2，L2 到 L3 的距離，分別交 L2，L 3于 E， F，通過(guò)證明ABE BCF，得出 BF

27、=AE ，再由勾股定理即可得出結(jié)論解答： 解：過(guò)點(diǎn) A 作AE l1，過(guò)點(diǎn) C作 CFl 2， CBF+ BCF=90，四邊形 ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD ， DAB= ABC=BCD= CDA=90 ， ABE+ CBF=90，l 1l2l3， ABE= BCF，在 ABE 和BCF 中， ABE BCF（AAS ）（畫出 L1 到 L2，L2到 L3 的距離，分別交 L2，L 3于 E， F）BF=AE ，2 2BF +CF =BC2，BC42=52 2+7 =7故面積為74故選B點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形面積的求解方法，能夠熟練掌握

28、5如圖在平面直角坐標(biāo)系中正方形 OABC 的邊OC，OA 分別在 x軸正半軸上和 y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) B 在雙曲線y=上，直線y=kxk（k0）交 y軸與 F（1）求點(diǎn) B、E 的坐標(biāo)；（2）連接 BE，CF 交于 M 點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù) k，使得 BECF？若存在，求出 k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）F 在線段 OA 上，連 BF，作 OM BF 于 M ，AN BF 于 N，當(dāng) F 在線段 OA 上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與 O、A 重合），的值是否變化若變化，求出變化的范圍；若不變，求其值考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題專題： 開(kāi)放型分析： （1）把正方形的面積用 B 點(diǎn)坐標(biāo)表示求解；（2）用分析法求解

29、 根據(jù)直線解析式的特點(diǎn)，求 k 只需求滿足條件時(shí) OF 的長(zhǎng)；（3）探索：， ，代換后得結(jié)論為 1，所以不變化解答： 解：（1）根據(jù)題意，設(shè) B（x，x），B 在 y= 的圖象上，x 2=4，x=2，根據(jù)圖形得 B（2，2），E 在 X軸上，kxk=0，x=1，即 E（1，0）；（2）假設(shè)存在k，使 BECF， OCF=CBECOF= BCE，OC=CB OCF CBEOF=CE=1k=1；（3） =1證明： 由已知條件易證：OMF BNA，ANF BNA， ，= = =1點(diǎn)評(píng)： 此題運(yùn)用了分析法解題探究，綜合性很強(qiáng)， 檢驗(yàn)學(xué)生自主創(chuàng)新能力6（2008?安順）已知：如圖，正方形 ABCD 中，

30、對(duì)角線AC 和 BD 相交于點(diǎn) OE、F 分別是邊AB 、 BC 上的點(diǎn)，若 AE=4cm ，CF=3cm，且 OEOF，則EF 的長(zhǎng)為 5 cm考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)； 勾股定理專題：計(jì)算題分析：連接 EF，作OM AB 于點(diǎn)M ，根據(jù)條件可以證明OED OFC，則OE=OF，CF=DE=3Ccm ，則AE=DF=4 ，根據(jù)勾股定理得到EF=5cm解答： 解：連接 EF，作 OM AB 于點(diǎn) M ，OD=OC ，OEOF EOD+ FOD=90 正方形ABCD COF+DOF=90 EOD= FOC而ODE= OCF=45 OFC OED，OE=OF ，CF=DE=3

31、cm ，則AE=DF=4 ，根據(jù)勾股定理得到EF=5cm故答案為5點(diǎn)評(píng)： 根據(jù)已知條件以及正方形的性質(zhì)求證出兩個(gè)全等三角形是解決本題的關(guān)鍵7在圖 1 到圖 3 中，點(diǎn) O 是正方形 ABCD 對(duì)角線 AC 的中點(diǎn)， MPN 為直角三角形， MPN=90 正方形 ABCD保持不動(dòng)， MPN 沿射線 AC 向右平移，平移過(guò)程中 P 點(diǎn)始終在射線 AC 上，且保持 PM 垂直于直線 AB 于點(diǎn) E，PN 垂直于直線 BC 于點(diǎn) F（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合時(shí)， OE 與 OF 的數(shù)量關(guān)系為 OE=OF ；（2）如圖 2，當(dāng) P 在線段 OC 上時(shí)，猜想 OE 與 OF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系

32、與位置關(guān)系？并對(duì)你的猜想結(jié)果給予證明；（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P 在 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)， OE 與 OF 的數(shù)量關(guān)系為 OE=OF ；位置關(guān)系為 OEOF 考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)； 全等三角形的判定與性質(zhì)； 矩形的判定與性質(zhì)； 平移的性質(zhì)分析： （1）根據(jù)利用正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可判定四邊形 BEOF為正方形， 從而得到結(jié)論；（2）當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn) P 的位置時(shí)，可以通過(guò)證明四邊形 BEPF 為矩形來(lái)得到兩條線段的數(shù)量關(guān)系；（3）繼續(xù)變化，有相同的關(guān)系，其證明方法也類似解答： （1）解 ：OE=OF（相等）；（ 1 分）（2）解：OE=OF，OEOF（； 3 分）證明：連接 BO ，

33、在正方形ABCD 中，O 為AC 中點(diǎn)，BO=CO ，BOAC ，BCA= ABO=45，（4 分）PFBC，BCO=45 ， FPC=45，PF=FC正方形ABCD ，ABC=90 ，PFBC，PEAB ， PEB=PFB=90 四邊形 PEBF是矩形，BE=PF （ 5分）BE=FC OBE OCF，OE=OF ，BOE= COF，（7 分） COF+BOF=90， BOE+ BOF=90， EOF=90 ，OEOF（8分）（3）OE=OF（相等），OEOF（垂直）（10分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)， 解題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題， 化動(dòng)為靜，還要大膽的猜想8如圖，正方形 ABCD 中，

34、AC 是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，直角頂點(diǎn) P 在射線AC 上移動(dòng)，另一邊交 DC 于 Q（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn) Q 在 DC邊上時(shí)，猜想并寫出 PB 與 PQ 所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn) Q 落在 DC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想并寫出 PB 與 PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想考點(diǎn) ： 正方形的判定與性質(zhì)； 全等三角形的判定與性質(zhì)分析： （1）過(guò)P作PEBC，PFCD，證明RtPQF RtPBE，即可；（2）證明思路同（ 1）解答： （1）PB=PQ，證明：過(guò)P 作PEBC，PFCD，P，C為正方形對(duì)角線AC 上的點(diǎn)，PC 平分DCB ，DCB=90 ，

35、PF=PE，四邊形 PECF為正方形， BPE+QPE=90，QPE+QPF=90， BPE=QPF，Rt PQF RtPBE，PB=PQ ；（2）PB=PQ，證明：過(guò)P 作PEBC，PFCD，P，C為正方形對(duì)角線AC 上的點(diǎn)，PC 平分DCB ，DCB=90 ，PF=PE，四邊形 PECF為正方形， BPE+QPE=90，QPE+QPF=90， BPE=QPF，Rt PQF RtPBE，PB=PQ 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形， 角平分線的性質(zhì)， 以及全等三角形判定與性質(zhì) 此題綜合性較強(qiáng)， 注意數(shù)形結(jié)合思想9如圖，正方形 ABCD ，點(diǎn) P 是對(duì)角線AC 上一點(diǎn)，連接 BP，過(guò)P 作 PQBP，

36、PQ 交 CD 于 Q，連接 BQ 交 AC于 G，若 AP= ，Q為CD 中點(diǎn)，則下列結(jié)論： PBC= PQD； BP=PQ； BPC=BQC ； 正方形 ABCD 的面積是 16；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A4 B3 C2 D1考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析： 根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，則四邊形共圓， 根據(jù)圓周角定理得出BPC= BQC，根據(jù)PBC= PQD，過(guò)P 作PMAD 于 M ，PEAB 于 E，PFDC 于 F，則E、P、F 三點(diǎn)共線， 推出正方形 AEPM ，根據(jù)勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1 ，證BEP PFQ，推出PE=FQ=1 ，BP=PQ，

37、求出DQ、DC，即可解答： 解：四邊形ABCD 是正方形，BCQ=90 ，PQPB，BPQ=90，BPQ+BCQ=180，B、C、Q、P四點(diǎn)共圓，PBC=PQD，BPC= BQC， 正確； 正確；過(guò)P作PMAD于 M ，P EAB于 E，PFDC于 F，則 E、P、F 三點(diǎn)共線，四邊形ABCD 是正方形，AB=AD=DC=BC ，DAC= BAC，DAB=90 ，MAE= PEA= PMA=90，PM=PE，四邊形AMPE 是正方形，AM=PM=PE=AE ，AP= ，在 RtAEP中，由勾股定理2 2得：AE+PE =（ ）2，解得：AE=AM=PE=PM=1 ，DF=1 ，設(shè)AB=BC=C

38、D=AD=a，則 BE=PF=a1，BEP=PFQ=BPQ=90， BPE+EBP=90，EPB+FPQ=90， EBP=FPQ，在 BEP 和PFQ 中， BEP PFQ（ASA ），PE=FQ=1 ，BP=PQ，正確；DQ=1+1=2 ，Q為CD 中點(diǎn)，DC=2DQ=4 ，正方形ABCD 的面積是 44=16， 正確；故選A 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)和判定， 全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)， 有一定的難度10如圖1，直角 EPF 的頂點(diǎn)和正方形 ABCD 的頂點(diǎn) C 重合，兩直角邊PE，PF 分別和 AB ，AD

39、 所在的直線交于點(diǎn) E 和 F易得 PBE PDF，故結(jié)論“PE=PF”成立；（1）如圖2，若點(diǎn) P 在正方形 ABCD 的對(duì)角線AC 上，其他條件不變， （1）中的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由；（2）如圖（ 3）將（ 2）中正方形 ABCD 改為矩形 ABCD 其他條件不變，若 AB=m ，BC=n ，直接寫出 的值考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；垂線； 全等三角形的判定與性質(zhì)分析： （1）過(guò)點(diǎn) P 分別作 AB 、AD 的垂線， 垂足分別為G、H，有材料提供的證明思路可證明PGE PHF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)： 對(duì)應(yīng)邊相等可得：PE=PF；（2）有（ 1）證題思路可知方形 ABCD 改為矩形 AB

40、CD 其他條件不變， 則PGEPHF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)： 對(duì)應(yīng)邊的比值相等可得： 的比值解答： 解：（1）成立證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn) P 分別作 AB 、AD 的垂線， 垂足分別為G、H，則 GPH=90，PG=PH，PGE=PHF=90， EPF=90， 1=2， PGE PHF，PE=PF；（2）點(diǎn)評(píng)： 本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何題， 考查了正方形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、 全等三角形的判定以及性質(zhì)， 三角形相似的條件和性質(zhì)及進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)能力，還考查按要求畫圖能力11如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形 ABCD ，Q 為 CD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， AQ 交 BD 于點(diǎn) M ，過(guò) M 作 MN AQ 交 BC

41、于點(diǎn) N，作 NPBD 于點(diǎn) P，連接 NQ ，下列結(jié)論： AM=MN ； MP= BD ； BN+DQ=NQ ； 為定值其中一定成立的是（ ）A B C D 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)； 確定圓的條件專題： 動(dòng)點(diǎn)型分析： 由題可知 A ，B，N，M 四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得出ANM= NAM=45 ，由等角對(duì)等邊知，AM=MN ，故 正確；由同角的余角相等知，HAM= PMN，所以RtAHM RtMPN ，即可得出結(jié)論，故 正確；先由題意得出四邊形 SMWB是正方形，進(jìn)而證出AMS NMW，因?yàn)锳S=NW ，所以AB+BN=SB+BW=2BW ，而B(niǎo)W ：BM=1 ：，所以= =

42、，故 正確因?yàn)锽AN+ QAD=NAQ=45 ，在 NAM 作AU=AB=AD ，且使BAN= NAU，DAQ= QAU，所以ABN UAN，DAQ UAQ，有UAN= UAQ=90，BN=NU ，DQ=UQ ，即可得出結(jié)論，故 正確；解答： 解：如圖：作AU NQ 于 U，連接 AN ，AC， AMN= ABC=90 ，A ，B，N，M四點(diǎn)共圓， NAM= DBC=45 ，ANM= ABD=45 ， ANM= NAM=45 ，由等角對(duì)等邊知，AM=MN ，故 正確由同角的余角相等知，HAM= PMN，Rt AHM RtMPNMP=AH= AC= BD ，故 正確，如圖，作MSAB ，垂足為S

43、，作MW BC，垂足為W，點(diǎn) M 是對(duì)角線BD 上的點(diǎn)，四邊形SMWB 是正方形，有MS=MW=BS=BW ， AMS NMW ，AS=NW ，AB+BN=SB+BW=2BW ，BW ：BM=1 ：， = =，故 正確 BAN+ QAD= NAQ=45，在 NAM 作AU=AB=AD ，且使BAN= NAU，DAQ= QAU， ABN UAN ，DAQ UAQ，有UAN= UAQ，BN=NU ，DQ=UQ ，點(diǎn) U 在 NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ ，故 正確故選D點(diǎn)評(píng)： 本題利用了正方形的性質(zhì)， 四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理， 等腰直角三角形的性質(zhì)， 全等三角形的判定和性質(zhì)求解12（

44、1）如圖 ，ABC 中， AB=AC ，BAC=90 ，點(diǎn) D為BC邊上一點(diǎn)（與點(diǎn) B、C 不重合），連接 AD ，以AD為一邊且在 AD 的右側(cè)作正方形 ADEF 可猜想線段 CF，BD 之間的數(shù)量關(guān)系是 相等 ，位置關(guān)系是 垂直 ；（2）當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖 ，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，給出證明，如果不成立，說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)； 等腰直角三角形專題： 幾何綜合題分析： （1）可通過(guò)證明三角形 ABD和三角形 ACF全等來(lái)實(shí)現(xiàn) 因?yàn)锳D=AF ，AB=AC ，只要證明BAD= CAF即可，BAD=90 DAC= FAC，這樣

45、就構(gòu)成了全等三角形判定中的 SAS，ABD ACF，因此 BC=CF ，B= ACF ，因?yàn)锽+ ACB=90，那么ACF+ACD=90，即 FCBC，也就是FCBD （2）當(dāng)點(diǎn) D 在BC 的延長(zhǎng)線上時(shí) 的結(jié)論仍成立 由正方形ADEF 的性質(zhì)可推出DAB FAC，所以CF=BD ，ACF= ABD結(jié)合BAC=90 ，AB=AC ，得到BCF= ACB+ACF=90度即 CFBD 解答： 解：（1）CF 與BD 的數(shù)量關(guān)系是： CF=BD ；位置關(guān)系是：CFBD ；故答案為：相等、垂直（2）當(dāng)點(diǎn) D 在BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)（ 1）中的結(jié)論仍成立（ 5分）理由如下：由正方形 ADEF得 AD=AF

46、 ，DAF=90 BAC=90 ， DAF= BAC， DAB= FAC，又 AB=AC ， DAB FAC，（ 4 分）CF=BD ，ACF= ABD（6 分） BAC=90 ，AB=AC ， ABC=45 ， ACF=45 ， BCF=ACB+ACF=90 即 CFBD 點(diǎn)評(píng)： 本題中綜合考查了正方形的性質(zhì)， 全等三角形的判定等知識(shí)，關(guān)鍵是證明三角形全等， 判定兩個(gè)三角形全等， 先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形， 然后再根據(jù)三角形全等的判定方法， 看缺什么條件， 再去證什么條件13已知點(diǎn) O為正方形 ABCD 的中心， M為射線OD 上一動(dòng)點(diǎn)（ M 與點(diǎn) O，D 不重合），以線段 AM

47、為一邊作正方形 AMEF ，連接 FD（1）當(dāng)點(diǎn) M 在線段 OD 上時(shí)（如圖1），線段 BM 與 DF 有怎樣的數(shù)量及位置關(guān)系？請(qǐng)判斷并直接寫出結(jié)果；（2）當(dāng)點(diǎn) M 在線段 OD 的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題；探究型分析： （1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出AF=AM ，AD=AB ，F(xiàn)AM= DAB=90，推出FAD= MAB，證FAD MAB，推出BM=DF ，F(xiàn)DA= ABD=45，求出ADB=45 即可；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)求出AF=AM ，AD=AB ，F(xiàn)AM= DAB=90，推出FAD= MAB，證FAD MAB，推出BM=DF ，F(xiàn)DA= ABD