大學物理五章

1、上講內(nèi)容：角動量對時間的變化率上講內(nèi)容：角動量對時間的變化率MFrtprtLdddd質(zhì)點角動量的時間變化率等于質(zhì)點所受的質(zhì)點角動量的時間變化率等于質(zhì)點所受的合力矩合力矩1 1、質(zhì)點、質(zhì)點外外MMtLiidd0iiM內(nèi)質(zhì)點系總角動量的時質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系間變化率等于質(zhì)點系所受所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和。內(nèi)力矩只改變質(zhì)點系內(nèi)力矩只改變質(zhì)點系總角動量在系內(nèi)的分總角動量在系內(nèi)的分配，配，不影響不影響總角動量?？偨莿恿俊? 2、 質(zhì)點系質(zhì)點系3 3、定軸剛體、定軸剛體JMz剛體剛體 的的 定軸定軸轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理表明表明：剛體的角加速度與外力對轉(zhuǎn)軸的力矩：剛體的角加速度與外力對轉(zhuǎn)

2、軸的力矩 成正比，與剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。成正比，與剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。m 是物體平動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。?J 是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。?改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體平動狀態(tài)的原因F?zM改變物體繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因?amF例例1:1: 一定滑輪的質(zhì)量為一定滑輪的質(zhì)量為 ，半徑為，半徑為 ，一輕，一輕繩兩邊分別系繩兩邊分別系 和和 兩物體掛于滑輪上，繩不兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。角速度為零，求

3、滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。m1m2mr2m1mrm已知：已知：0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度JMz剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律解：解：在地面參考系中，分別以在地面參考系中，分別以 為研究對象，用隔離法，分別以牛頓為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。mmm,21思考：思考：?2121TTaa 以向下為正方向以向下為正方向1111amTgm(1):1m以向上為正方向以向上為正方向2222amgmT(2):2m2m1mrmm1gT1a1a2T2m2gr+1T2TNmg四個未知數(shù)：四個未

4、知數(shù)：三個方程三個方程 ？,2121TTaaa繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：)4(ra 解得：解得：rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210以順時針方向為正方向以順時針方向為正方向?qū)唽?rTrTmr21221(3) 如圖示，兩物體質(zhì)量分別為如圖示，兩物體質(zhì)量分別為 和和 ，滑輪質(zhì)量，滑輪質(zhì)量為為 ，半徑為，半徑為 。已知。已知 與桌面間的滑動摩擦系與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為數(shù)為 ，求，求 下落的加速度和兩段繩中的張力。下落的加速度和兩段繩中的張力。 1mm2mr2m1m2m1momr解：解：在地面參考系中，選取在地面

5、參考系中，選取 、 和滑輪為研究對和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得：象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得： 1m2m練習練習12m2Tagm2gm2N1m1Tagm1o1T2TxNyN向里向里+列方程如下：列方程如下：ramrrTrTamgmTamTgm22122211121可求解可求解圖6-14mMR 解解 對柱體對柱體,由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律M=J 有有 mg.R=J 這式子對嗎？這式子對嗎？ 錯！此時繩中張力錯！此時繩中張力T mg。 正確的解法是用隔離體法。正確的解法是用隔離體法。練習練習2 質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸的勻質(zhì)柱體可

6、繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細繩，細繩，繩與柱體間無相對滑動，繩與柱體間無相對滑動，繩子下端掛一質(zhì)量為繩子下端掛一質(zhì)量為m的的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。mg 對對m: mg-T=ma對柱：對柱： TR=J 關聯(lián)：關聯(lián)： a=R 解得解得 =2mg/(2m+M)R T=Mmg/(2m+M)TaMgxNyN例例2. 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為的固定光滑

7、軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為 m、長為、長為 l 的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側(cè)繩長差為求當圓盤兩側(cè)繩長差為 s 時，繩的加速度的大小。時，繩的加速度的大小。解：解：在地面參考系中，建立如圖在地面參考系中，建立如圖 x 坐坐標，設滑輪半徑為標，設滑輪半徑為 r 有：有：ox1x2sMABABrxmrxxBBABAAl21,2BB1AAxlmmxlmmrlmmAB21xxsox1x2sMABABrxmCBCA用隔離法列方程用隔離法列方程: (以逆時針方向為正以逆時針方向為正)2221rmMrJJJABABMamTgmA

8、A1JrTrT21amgmTBB221xxsra又：解得：解得：lMmmgsa)21(T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgMgN二二. . 角動量定理的角動量定理的積分形式積分形式積分形式積分形式微分形式微分形式質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)點系定軸剛體定軸剛體LLtMLLtt2121ddLLtMLLtt2121dd外外2121ddtZtJJtMLtMdd ddJtMZLtMdd 外(1) (1) 力矩對時間的積累：力矩對時間的積累：角沖量角沖量定義：定義：21dtttM效果：效果：改變角動量改變角動量(3) (3) 同一式中，同一式中， 等角量要對同一等角量要對同一參考點或同一軸計算。參考點或同一

9、軸計算。,JLMp變化量與變化量與 對應，描述力對時間的累積效應對應，描述力對時間的累積效應21dtttF變化率與變化率與 對應，描述力的瞬時效應對應，描述力的瞬時效應F(2) 比較比較：L變化量與變化量與 對應，描述力矩對時間的累積效應對應，描述力矩對時間的累積效應21dtttM變化率與變化率與 對應，描述力矩的瞬時效應對應，描述力矩的瞬時效應M三三.角動量定理的應角動量定理的應用舉例用舉例旋進旋進(1) (1) 陀螺陀螺1) 1) 若若 ，則在重力矩，則在重力矩 作用下，陀螺將繞垂直于板面作用下，陀螺將繞垂直于板面 的軸轉(zhuǎn)動，即倒地。的軸轉(zhuǎn)動，即倒地。0Lgmrc2) 2) 當當 時，因時

10、，因0LLgmrcLL dtLMdd而LLddtddLgmrcLL重力矩重力矩 將改變將改變 的方向，的方向，而不改變而不改變 的大小。的大小。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn) tdd旋進角速度旋進角速度（2 2） 炮彈的旋進炮彈的旋進crvfgmLLddtddLsinddLL）（sindsindLMtLL(3) (3) 車輪的旋進車輪的旋進： 改變改變 的方向，旋進方向是否改變？的方向，旋進方向是否改變？ 改變配重改變配重G，對旋進有什么影響？，對旋進有什么影響？ 用外力矩加速用外力矩加速( (或阻礙或阻礙) )旋進，會發(fā)生旋進，會發(fā)生 什么現(xiàn)象？什么現(xiàn)象？oLMLLd旋

11、進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質(zhì)的磁化地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質(zhì)的磁化.本節(jié)回顧：本節(jié)回顧：JMz1 1、剛體定軸的轉(zhuǎn)動定律、剛體定軸的轉(zhuǎn)動定律2 2、角動量定理的積分形式、角動量定理的積分形式3、旋進、旋進一、角動量守恒定律一、角動量守恒定律恒量時恒量時恒量時zzyyxxLMLMLM000分量式：分量式：對定軸轉(zhuǎn)動剛體，當對定軸轉(zhuǎn)動剛體，當0軸M時，時，恒量軸L由角動量定理：由角動量定理：當當時，時，0外ML恒矢量恒矢量研究對象：質(zhì)點系研究對象：質(zhì)點系0ddtLM外當質(zhì)點系當質(zhì)點系(或剛體或剛體)所受外力對某參考點所

12、受外力對某參考點(或軸或軸)的力矩的矢的力矩的矢量和（量和（或代數(shù)和或代數(shù)和）為零時，質(zhì)點系）為零時，質(zhì)點系(或剛體或剛體)對該參考點對該參考點(或或軸軸)的角動量守恒。的角動量守恒。角動量守恒定律：角動量守恒定律：1)守恒條件：守恒條件：或或0軸軸M0外外M能否為能否為?0dtM外外2)與動量守恒定律對比：與動量守恒定律對比：當當時，時，0外外ML恒矢量恒矢量p恒矢量恒矢量當當時，時，0外外F彼此獨立彼此獨立. . 一半徑為一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 M 的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動豎直軸轉(zhuǎn)動, , 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，最初人和臺的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，

13、最初人和臺都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周 ( (不計阻力不計阻力) )，相對于，相對于地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？選地面為參考系，設對轉(zhuǎn)軸選地面為參考系，設對轉(zhuǎn)軸人：人：J , ; 臺：臺：J , 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸角動量守恒系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸角動量守恒0JJ2212MRJmRJMm2R人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：MmMt22d人地臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：Mmmt2)2(2d臺地臺地人地地臺人地人臺t d人地t d 臺地人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周：人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周：2ddtt2d2dtMmtMm2角動量守恒定律應用舉例角動量守

14、恒定律應用舉例(1)(1)對于單一剛體：對于單一剛體：J J、 均不變，均不變， 則勻速轉(zhuǎn)動則勻速轉(zhuǎn)動(2) 對于系統(tǒng)對于系統(tǒng): J Ji、 均可以變化，但均可以變化，但 不變不變iiiJ角動量守恒定律適用于以下情況：角動量守恒定律適用于以下情況：(3) 對于變形體：對于變形體： 均可以變化，但均可以變化，但 不變不變,JJ(a)(b)圖3.4.3請看請看: 貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四腳轉(zhuǎn)向地面，當貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四

15、腳轉(zhuǎn)向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動量守么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動量守恒過程。恒過程。見見PCAI課件分析課件分析為什么貓從高處落下時總能四腳著地？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？(4)角動量定理適用于一切轉(zhuǎn)動問題，大至天體，小至角動量定理適用于一切轉(zhuǎn)動問題，大至天體，小至粒子、電子粒子、電子.體操運動員的體操運動員的“晚旋晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水芭蕾、花樣滑冰、跳水.為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？為什么銀河系呈旋臂盤行結(jié)構？為什么銀

16、河系呈旋臂盤行結(jié)構？http:/ 二二. 有心力場中的運動有心力場中的運動物體在物體在有心力有心力作用下的運動作用下的運動力的作用線始終通過某力的作用線始終通過某定點定點的力的力力心力心有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體對力心的角動量守恒。對力心的角動量守恒。應用廣泛，例如：應用廣泛，例如： 天體運動天體運動（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星.） 微觀粒子運動微觀粒子運動（電子繞核運動；原子核中質(zhì)子、中（電子繞核運動；原子核中質(zhì)子、中子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射.）. . P

17、.115 5.15已知已知: 地球地球 R = 6378 km 衛(wèi)星衛(wèi)星 近地近地: L1= 439 km v1 = 8.1 kms-1 遠地遠地: L2= 2384 km 求求 : v2 衛(wèi)星衛(wèi)星 質(zhì)點質(zhì)點 m 地球地球 均勻球體均勻球體o.dFmdmdmdF1dF2對稱性：引力矢量和過地心對稱性：引力矢量和過地心 對地心力矩為零對地心力矩為零衛(wèi)星衛(wèi)星 m 對地心對地心 o 角動量守恒角動量守恒L2mL1衛(wèi)星衛(wèi)星 m 對地心對地心 O角動量守恒角動量守恒11212skm3 . 61 . 8238463784396378vLRLRv2211LRmvLRmv 增加通訊衛(wèi)星的可利用率增加通訊衛(wèi)星的

18、可利用率探險者號衛(wèi)星偏心率高探險者號衛(wèi)星偏心率高近地近地1411skm1038. 3km9 .160vL1252skm1225km1003. 2vL大大充充分分利利用用t遠地遠地小小很很快快掠掠過過tL2mL1復習提要復習提要一一. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量miiimrJrmJd22二二. 角動量角動量 質(zhì)點質(zhì)點 質(zhì)點系質(zhì)點系定軸剛體定軸剛體 vmrLiiiiccvmrvmrLLL自旋自旋軌道軌道JLz三三. 力矩力矩0;iizMFrMFrM內(nèi)內(nèi) 質(zhì)點質(zhì)點21dddttLtMtLM質(zhì)點系質(zhì)點系定軸剛體定軸剛體21dddttLtMtLM外外外外JMz21dttzzLtM五五. 角動量守恒角動量守恒恒恒量

19、量恒恒矢矢量量外外zzLMLM00四四. 角動量定理角動量定理. 乒乓球的自動回滾乒乓球的自動回滾現(xiàn)象：現(xiàn)象：使乒乓球向前運動的同時，以較高的轉(zhuǎn)速使乒乓球向前運動的同時，以較高的轉(zhuǎn)速 “反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)”，則乒乓球過一段時間自動回滾，則乒乓球過一段時間自動回滾。原因：原因： 質(zhì)心平動質(zhì)心平動 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動當平動速度減為零時，當平動速度減為零時，轉(zhuǎn)動角速度尚未減為零。轉(zhuǎn)動角速度尚未減為零。Nmgv00.RCfNmg.RCf0v條件：條件：tmRtJmgRtvmmamgcccdd32dddd2由：由：當：當：gvtvc00時時02300gvRg代入代入得：得：Rv2300得：得：tRggtvvc3

20、200.O1m1R1.O2R2m21020. 如圖所示，質(zhì)量分別為如圖所示，質(zhì)量分別為m1和和m2、半徑為、半徑為R1和和R2的的兩個均勻圓柱的轉(zhuǎn)軸相互平行。最初它們在水平面內(nèi)兩個均勻圓柱的轉(zhuǎn)軸相互平行。最初它們在水平面內(nèi)分別以分別以 和和 沿同一方向轉(zhuǎn)動。平移二軸，使兩圓沿同一方向轉(zhuǎn)動。平移二軸，使兩圓柱體的邊緣接觸，求接觸處無相對滑動時，兩個圓柱柱體的邊緣接觸，求接觸處無相對滑動時，兩個圓柱體的角速度體的角速度 。2021和和10解解: 因摩擦力為內(nèi)力因摩擦力為內(nèi)力,外力過外力過軸軸 , 外力矩為零外力矩為零,則：則：J1 + J2 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒 ，以順時針，以順時針方向為

21、正：方向為正：.O1m1R1.O2R2m212接觸點無相對滑接觸點無相對滑 動動: 22211RR 3212111RmJ 4212222RmJ 聯(lián)立聯(lián)立( (1)、(2)、(3)、(4)式求解，對不對？式求解，對不對？ .O1m1R1.O2R2m212 12211202101JJJJ問題問題: (1) 式中各角量是否對同軸而言？式中各角量是否對同軸而言？ (2) J1 +J2 系統(tǒng)角動量是否守恒？系統(tǒng)角動量是否守恒？0 )2(0 ) 1 (1221FFMOMO為軸為軸為軸為軸系統(tǒng)角動量不守恒！系統(tǒng)角動量不守恒！分別以分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：為研究對象，受力如圖：O2F2O1

22、.F1f1f2對對m1 , m2 ，受力如圖：，受力如圖：選順時針轉(zhuǎn)動為正向，選順時針轉(zhuǎn)動為正向，分別對分別對m1 , m2 應用角動量定理：應用角動量定理：101111d21JJtfRtt202222d21JJtfRtt對對O1:對對O2:222221112121RmJRmJ2211RR無滑動無滑動121202210111)(RmmRmRm221202210112)(RmmRmRmO2F2O1.F1f1f2121020 水平方向：水平方向： Fx = 0 ， px 守恒守恒 mv0 = (m+M)v 對對 O軸：軸： ， 守恒守恒 mv0 l = (m+M)vl0軸M0軸L質(zhì)點質(zhì)點 定軸剛體

23、定軸剛體（不能簡化為質(zhì)點）（不能簡化為質(zhì)點）0vOlmMFxFy(2)軸作用力不能忽略，動量不守恒，軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對但對 O 軸合力矩為零，角動量守恒軸合力矩為零，角動量守恒lvMlmllmv22031(1)OlmM0v質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點柔繩無切向力柔繩無切向力回顧作業(yè)回顧作業(yè)P.85 4 -8vRMmRghmOM mMpMmF2 0;0點角動量守恒對系統(tǒng)不守恒系統(tǒng)軸軸mMFO不計滑輪和繩子的質(zhì)量0軸FA、B、C系統(tǒng)系統(tǒng) 不守恒；不守恒；p0軸MA、B、C系統(tǒng)對系統(tǒng)對 o 軸角動量守恒軸角動量守恒vRmmmRvmmcBABA1回顧練習回顧練習P86 4 -9C BNxNyAo：

24、已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，繩秒，繩不可伸長。求不可伸長。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v = ?：m、M系統(tǒng)水平方向動量守恒系統(tǒng)水平方向動量守恒(F x = 0)豎直方向動量不守恒豎直方向動量不守恒(繩沖力不能忽略繩沖力不能忽略)對對O點軸角動量守恒點軸角動量守恒(外力矩和為零外力矩和為零)OmMv300vvMmmv30sin0或：或：90sin30sin0lMmvlmv得：得： v = 4 ms-1解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒對棒對O的角動量守恒的角動量守恒思考：思考：碰撞前棒對碰撞前棒對O角動量角動量 L=? 碰撞后棒對碰撞后棒對O角動量角動量 =？L. 已知：已知：勻質(zhì)細棒勻質(zhì)細棒 m , 長長 2l ；在光滑水平面內(nèi)以；在光滑水平面內(nèi)以 v 0 平動，與支點平動，與支點 O 完全非彈性碰撞。完全非彈性碰撞。 求：求：碰后瞬間棒繞碰后瞬間棒繞 O 的的v