25從力做的功到向量的數(shù)量積（二）

1、2.5從力做的功到向量的數(shù)量積（二）西安市第八十三中學 胡小權一教學目標：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 二教材分析本節(jié)課是啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質(zhì). 問題。三教學重難點： 重點： 平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.難點：平面向量數(shù)量積的應用四教學方法與手段：啟發(fā)式教學：通過對數(shù)量積概念的理解，引導學生歸納，總結數(shù)量積的運算律。充分體現(xiàn)教師的主導作用與學生的主

2、題作用。五教學過程：一、復習引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3“投影”的概念：作圖C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0時投影為 |b|；當q = 180時投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos

3、q的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = ae =|a|cosq； 2 ab ab = 03 當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = -|a|b|. 特別的aa = |a|2或4cosq = ；5|ab| |a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運算律1交換律：a b = b a證：設a，b夾角為q，則a b = |a|b|cosq，b a = |b|a|cosq a b = b a2數(shù)乘結合律：(a)b =(ab) = a(b)證：若 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b)

4、 =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a

5、+ b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，()（）（結合律不成立）（2），0（消去律不成立）（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）()三、講解范例：例1 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.解：如圖：平行四邊形ABCD中，=|2=而= ，|2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：一方面：0，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.四邊形ABCD是

6、平行四邊形另一方面，由，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得(2)，即，也即ABBC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關鍵是構造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關系.思考：如何利用向量的方法來證明余弦定理？小結：平面向量的運算律六作業(yè)設計與反思作業(yè)設計：P97A組7題，. B組1題教學設計反思平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律是數(shù)量積概念的延伸，這兩方面的內(nèi)容按照創(chuàng)設一定的情景，讓學生自己去探究、去發(fā)現(xiàn)結論,教師明晰后，再由學生或師生共同完成證明。這樣能更清楚地看到數(shù)學法則與法則間的聯(lián)系與區(qū)別,體會法則學習研究的重要性,例題和練習的選擇都是圍繞數(shù)量積的概念和運算律展開的,這能使學生更好在掌握概念法則，數(shù)量積的運算律則是通過和實數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。對于教學中問題情境的