第二節(jié)統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識

1、機械可靠性設(shè)計機械可靠性設(shè)計機械可靠性設(shè)計第一章 機械可靠性設(shè)計概述第二章 機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)第三章 可靠性設(shè)計基本方法第四章 機械系統(tǒng)的可靠性分析第五章 機械系統(tǒng)的故障分析第六章 機械零件的疲勞強度可靠度分析基礎(chǔ)5概率論的基本概念、 隨機事件與事件間的關(guān)系機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)隨機事件“不可預(yù)言的事件”、事件或事件發(fā)生的事件、事件與事件同時發(fā)生的事件、 頻率與概率做次實驗，隨機事件共發(fā)生次，則：隨機事件出現(xiàn)的頻率為：Nn隨機事件出現(xiàn)的概率為：NnlimPN基礎(chǔ)6、概率運算機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)CP(AB)=P(B)P(AB) =P(A)P(BA)若P(A B)=P(A)，則A與B相互獨立，且P(AB

2、)=P(A)P(B) CP(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)若P(AB)=，則A與B互不相容，且P(AB)=P(A)P(B) 二、概率分布與數(shù)字特征 f xx概率密度函數(shù)、概率分布0)(xf1)(dxxfxdxxfxF)()(ba)()(dxxfbxaP1)(0 xF基礎(chǔ)7機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)、數(shù)字特征 均值(期望)反映隨機變量取值集中的位置，常用或E(x)表示。定義：dxxxfxE)()(性質(zhì)：)()(xcEcxE)()()(yExEyxE)()()(yExExyEx、y為任意隨機變量x、y為相互獨立的隨機變量在可靠性設(shè)計中，E(x)可表示平均強度、平均應(yīng)力、平均壽命在常規(guī)設(shè)計中引入的物

3、理量，多數(shù)就是E(x)。基礎(chǔ)8機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ) 方差衡量隨機變量取值的分散程度，用D(x)、2表示。定義：dxxfxExxD)()()(2)(xD標準差、均方差性質(zhì)：0)(cD)()(2xDccxD)()()(yDxDyxDx、y為相互獨立的隨機變量基礎(chǔ)9機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ) 變異系數(shù)CC是一個無量綱的量，表示了隨機變量的相對分散程度。金屬材料的變異系數(shù)（參考）拉伸強度極限B0.05拉伸屈服極限S0.07疲勞極限-10.08焊接結(jié)構(gòu)疲勞極限-10.10鋼材的彈性模量E0.03鑄鐵的彈性模量E0.04布氏硬度HBS0.05斷裂韌性KIC0.07基礎(chǔ)10機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ) 偏度（Skewness

4、Sk)3332/3)()()()(1xkxExEdxxfxExxDS3333)(3)()(xxkxExExESSk = 0 對稱分布Sk 0 正偏分布Sk 0 負偏分布基礎(chǔ)11機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)三、可靠性分析中的常用分布、 指數(shù)分布基礎(chǔ)11機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)、 指數(shù)分布xexf)( x0概率密度函數(shù)：xexF1)(累積分布函數(shù)：若xt（壽命），則t指數(shù)分布，反映了偶然因素導(dǎo)致失效的規(guī)律。平均壽命E(t)=/（MTBF)， 為失效率。指數(shù)分布常用于描述電子產(chǎn)品的失效規(guī)律，由于為常數(shù)，指數(shù)分布不適于描述按耗損規(guī)律失效的問題，機械零件的失效常屬于這一類型。基礎(chǔ)11-例機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)關(guān)于指數(shù)分布的

5、討論()()P TttTt 相關(guān)公式：上述推導(dǎo)表明，若產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，則表明該產(chǎn)品是“永遠年輕” 的。()1tF Tte tttee（）（）()()()P Ttt TtP Tt ()()P TttP Tt () te()P Tt ( )()tR teP TtP(AB)=P(B)P(AB) =P(A)P(BA)指數(shù)分布的應(yīng)用例： 設(shè)某一計算機的錯誤率是恒定的，即每連續(xù) 工作500小時發(fā)生一次錯誤。設(shè)有一需要5小 時才能正確通過的程序，試問該機解決這個問題的可靠度是多少？該機的瞬時錯誤率為多少？ 解：其平均壽命為 MTBF500小時故障率 為t（）11tt0.002/500（ ）= =錯誤

6、數(shù) 小時可靠度為t0.002 5RtR5ee0.99-（ ）= （ ）=基礎(chǔ)12機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)、正態(tài)分布（高斯分布）222x21)(exfx概率密度函數(shù)：累積分布函數(shù)：dxexFx222x21)(記為：),(2Nx),(Nx或，是一種二參數(shù)分布)(xE為均值)(2xD為方差f(x)x1 31 21= 32 1分布形態(tài)為對稱分布基礎(chǔ)13機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)當， 時，為標準正態(tài)分布。2221)(xexdxxxxe2221)(-2-3=032N(0,)68.26%95.44%99.73%3 準則：超過距均值3距離的可能性太小，認為幾乎不可能（或靠得?。?。若：L=300.06mmN(,)則： 30m

7、m =0.063=0.02mm自然界和工程中許多物理量服從正態(tài)分布，可靠性分析中，強度極限、尺寸公差、硬度等已被證明是服從正態(tài)分布。采用正態(tài)分布計算過于麻煩，故將它變換為標準正態(tài)分布形式。引進一標準正態(tài)變量z, 令tz則， ，正態(tài)分布函數(shù)形式變?yōu)椋菏Ц怕示捅硎緸椋?這樣，對應(yīng)某一z值就有一失效概率值 ，這樣就可以通過查標準正態(tài)分布表來求解失效概率。dtdz221( )2zzzdze221( )()2zzzzdze( ) z例例有一個鋼制結(jié)構(gòu)件，據(jù)實驗有BN(，)， 均值B =400MPa，變異系數(shù)c=0.08。求： max =300MPa時，結(jié)構(gòu)件的失效概率？要求可靠度R=0.9977時，

8、max = ？。解： PF=P(B max )= P(B 300)40008. 0400300()(BBmax100009)125. 3( PF1R=10.99770.00230023. 0)(BBmax83. 2BBmaxMPa30983. 2BBmax基礎(chǔ)14機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)、對數(shù)正態(tài)分布若：),(lnLLNxy，則稱x服從對數(shù)正態(tài)分布可記為：),(LLLNx222)(lnLL21)(Lxexxf概率密度函數(shù)為：f(x)x大量的疲勞失效規(guī)律服從對數(shù)正態(tài)分布，如疲勞壽命的分布。3NNN疲勞極限大致服從正態(tài)分布基礎(chǔ)15機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)、威布爾分布（Weibull）010)(xxexxxf0

9、01)()(xxxxedxxfxF形狀參數(shù)；尺度參數(shù)；x0位置參數(shù)；=0.5=3.6=5=1 x0=0 x =1 f (x)=2形狀參數(shù)不同的影響基礎(chǔ)16機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ) f (x) x =2 x0=0=1=2=3尺寸參數(shù)不同的影響 f (x) x =2=1x0取不同的值位置參數(shù)不同的影響基礎(chǔ)17機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)威布爾分布的數(shù)字特征)11 (0 xx)11 ()21 (222x3331)11 ( 2)21 (3)31 (xkxS式中：()為Gamma函數(shù)，01)(dyeyxyx威布爾分布是一簇分布，適應(yīng)性很廣。因源于對結(jié)構(gòu)疲勞規(guī)律的分析，因而是在機械可靠性設(shè)計中生命力最強的分布。在疲勞強度

10、研究中的威布爾分布定義式 在疲勞強度的研究中，在描述疲勞壽命N的隨機分布規(guī)律時，如果用 00a0 x=N,=N ,(NN )x這時威布爾分布的概率密度函數(shù)可以表達為 0a01N NNN0a0a0NNf(N)eNNNNN壽命隨機變量形狀參數(shù)aN尺度參數(shù)或特征壽命0N位置參數(shù)或稱最小保證壽命010)(xxexxxf失效分布函數(shù)、可靠度函數(shù)及失效率函數(shù)分別為 0a0N NNNF(N)=1-e0a0N NNNR(N)=e-10a0a0NN(N)=()NNNN 例: 某零件的壽命經(jīng)試驗證實，服從威布爾分 布。已知形狀參數(shù) 2，最小壽命 5010N 循環(huán)，特征壽命 54 10aN 循環(huán)。試求該零件運行51

11、0循環(huán)的可靠度和失效率。解：求可靠度 20a0N N100000 1000NN5400000 1000R(10 )=ee0.9494% 求失效率 5-10a0a02-1NN(10 )=()NNNN2100000 1000()400000 1000 400000 10002990001()=0.000001243()399000 399000循環(huán)滾動軸承的壽命L服從二參數(shù)的威布爾分布，)(1)(LeLF其失效概率為：)()(LeLR可靠度為：其中：=1.5(ISO/R286)基礎(chǔ)18機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)目前國家標準中采用下列方法計算滾動軸承的可靠度101LaLn其中，L10為基本額定壽命（可靠度為

12、90%)Ln為可靠度R=1-n%的軸承壽命a1為軸承的可靠性系數(shù)，其值按下表?。?-n%909596979899a110.620.530.440.330.21關(guān)于a1的推導(dǎo)：11010)(10)9 . 0ln/(9 . 0ln)(1 . 01)(10LLLFLe1)(%)1ln(%1)(nLnLFnnLne111019 . 0ln%)1ln(9 . 0ln%)1ln(&nLnLan基礎(chǔ)19機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)例：已知某軸承L106000小時，求R=94%、95.5%時的壽命，以及Ln=3000小時的可靠度。解：R=94%時，小時。7 .4207600070128. 070128. 09 . 0ln94. 0ln5 . 111nLa小時。26.3455600057588. 057588. 09 . 0ln955. 0ln5 . 111nLa當R=95.5%時，1011019 . 0lnln9 . 0ln%)1ln(LLRLnLnn%3435.9603725. 09 . 0ln60003000ln5 . 1RRLn=3000小時時，基礎(chǔ)20機械可靠性設(shè)計基礎(chǔ)四、可靠性分析分布的確定實際應(yīng)用中，多為引用理論分布，在引用分布時應(yīng)考慮：、物理意義電產(chǎn)品多用指數(shù)分布、疲勞壽命用對數(shù)正態(tài)分布，建議機械產(chǎn)品多用威布爾