第十章第三節(jié)三重積分習題課

1、曲面方程：( , ),( , )zf x yx yDD:有界閉區(qū)域求曲面的面積 AMAdzdnxyzSo設光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd(見P99)故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即xzxyzyAdd

2、)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd曲面面曲面面積積221xyDAffd其中其中D是曲面在坐標面是曲面在坐標面z=0上的投影區(qū)域上的投影區(qū)域求曲面面積的步驟：求曲面面積的步驟：（1）求曲面在坐標面）求曲面在坐標面z=0上的投影區(qū)域上的投影區(qū)域D（2）在區(qū)域）在區(qū)域D上計算二重積分：上計算二重積分：221xyDAffd同理可得同理可得設曲面的方程為：設曲面的方程為：( , )xg y z曲面面積公式為：曲面面積公式為：221

3、()()yzDxxAdydzyz設曲面的方程為：設曲面的方程為：( , )yh z x曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()()zxDyyAdzdxzx球面的面積A為上半球面面積的兩倍 解 例1 求半徑為R的球的表面積 222yxRxxz 222yxRxxz 222yxRyyz 所以 22)()(12222yzxzARyx dxdyyxRRRyx2222222 200222RRddR 球心在原點的上半球面的方程為222yxRz 而 20224 4RRRR 反常積分222002RrdrRdRr2204RR Rraaxz y0222ayx 222azx 設圓柱面為設圓柱面為的的面面積積。被被另

4、另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圓圓柱柱的的底底半半徑徑為為兩兩相相同同正正圓圓柱柱的的軸軸互互相相a例例2.2.考慮第一卦限考慮第一卦限例例2.2.D22xaz aa.xz y0 DyxxaaSdd28a 22xay xayxaad axdaaxoyD.22221xaazzyx .222ayx 222azx 設圓柱面為設圓柱面為.的的面面積積。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圓圓柱柱的的底底半半徑徑為為兩兩相相同同正正圓圓柱柱的的軸軸互互相相azzxya222yxazaaxyx221練習練習. .求球面求球面2222azy

5、x含在柱面含在柱面axyx22中的那部分面積中的那部分面積.解：解：S為所截曲面為所截曲面的面積，的面積，1S為為在第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面1的面積的面積.1在在 面上的投影為：面上的投影為： xoy,:22axyxDxy)0,(yx,cos0 ,20:aDxy即即由對稱性得由對稱性得dxdyzzSxyDyx2214xyDdxdyyxaa2224cos0220142adada) 2(22axyO a a2例例3.3. 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面積積 被被圓圓柱柱面面錐錐面面 xyxyxz xyzo1 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面積積 被被圓圓柱柱面面錐錐面面 x

6、yxyxz 1xyzo1.例例3.xyzo11D 02 :22zxyxDS DyxQPSdd22 yxxxzP 其中其中22yxyyzQ DyxSdd 2 . 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面積積 被被圓圓柱柱面面錐錐面面 xyxyxz 例例4.例例6.6.a立立體體的的整整個個表表面面積積所所圍圍成成與與旋旋轉轉拋拋物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz yxzo例例6.6.xyzoDS =1S2S 共同的共同的 D : azyxyxaz2322222a2 zayx 即即2S2S2S1S.1S.立立體體的的整整個個表表面面積積所所圍圍成成與與旋旋轉轉拋拋物物面面半半球球

7、面面 2 3 22222azyxyxaz 小小 結結dDD 一一、利利用用可可以以求求平平面面圖圖形形 的的面面積積. .( , )ddDf x yv 二二、利利用用或或可可以以求求立立體體的的體體積積. .三三、利利用用二二重重積積分分的的元元素素法法求求曲曲面面面面積積：曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()() d dxyDzzSx yxy 設曲面的方程為：設曲面的方程為： ( , )( , ),xyzf x yx yD 則則第十章習題課第十章習題課一、重積分計算的基本方法一、重積分計算的基本方法 二、重積分計算的基本技巧二、重積分計算的基本技巧 三、重積分的應用三、重積分的應用 一

8、、重積分計算的基本方法一、重積分計算的基本方法1. 選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內到外: 面、線、點)3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法例例1 計算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標cosR原式cos022dRR2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0R2222d例例2. 把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分,其中由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域

9、為:原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域 .xyzzD1zD2例例3 .計算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中是兩個球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一先二后一” 計算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R二、重積分計算的基本技巧二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對稱性簡化計算3. 消去被積函數(shù)絕對

10、值符號 利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不過重積分的情況比較復雜，在運用對稱性是過重積分的情況比較復雜，在運用對稱性是要兼顧要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用不可誤用對對 DdxdyyxfI),(若若D關于關于 x 軸對稱軸對稱時時當當),(),() 1 (yxfyxf 0 I時時當當),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D關于關于 y 軸對稱軸對稱時時當當),()

11、,() 1 (yxfyxf 0 I時時當當),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若若D關于關于原點原點對稱對稱時時當當),(),() 1(yxfyxf 0 I時時當當),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(若若 D 關于關于直線直線 y = x 對稱對稱例例4. 計算二重積分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對稱性.yox1DyxxIDdd20

12、dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22圍成 .yxeyxDyxdd122(2) 積分域如圖:o1yx11D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對稱性 , 得.,),()1(.,積積分分為為零零三三重重的的奇奇函函數(shù)數(shù)時時是是關關于于當當被被積積函函數(shù)數(shù)平平面面對對稱稱關關于于如如果果積積分分區(qū)區(qū)域域一一般般地地zzyxfxOy 其它情形依此類推其它情形依此類推. .三重積分計算的簡化三重積分計算的簡化.,),()2(分分的的兩兩倍倍的的三三重重積積平平面面上上方方的的半

13、半個個閉閉區(qū)區(qū)域域在在積積分分為為三三重重的的偶偶函函數(shù)數(shù)時時是是關關于于當當被被積積函函數(shù)數(shù)xOyzzyxf 設有空間閉區(qū)域設有空間閉區(qū)域0,| ),(22221zRzyxxyx22222( , , )|,0,0,0 x y xxyzRxyz 則有（則有（ ）12( )4Axdvxdv12( )4Bydvydv12( )4Czdvzdv12()4DxyzdvxyzdvC. 1:d222 zyxvez，計計算算例例6 解解法法，故故采采用用先先二二后后一一為為圓圓域域的的函函數(shù)數(shù)，截截面面被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為2221)(zyxzDz 1d2dvevezz 10)(ddd2zeyxzzD 1

14、02d)1(2zezz .2 所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算22221d)(yxzyxzvzx 例例7 解解利用柱面坐標利用柱面坐標奇奇函函數(shù)數(shù)，的的為為面面為為對對稱稱，關關于于xxzyxfyoz ),(. 0d vx有有 vzvzxdd)(2122020zdzdd.8 2a2a0 xz yaraz 2azr 2.L)( aazyx 求求曲曲面面 所圍體積所圍體積 與與 yxaz razzar2 2聯(lián)立聯(lián)立柱面坐標柱面坐標用哪種坐標？用哪種坐標？ azarL ：解得交線解得交線例例8.8.例例8.8.2a0 xz ya.L razazr2 2聯(lián)立聯(lián)立D arzD0 :.raz 2

15、azr 2 DraarzrrV22ddd arrarra0220d)2(d.365a )( aazyx 求求曲曲面面柱面坐標柱面坐標用哪種坐標？用哪種坐標？ azarL ：解得交線解得交線. 所圍體積所圍體積 與與 yxaz 所所截截的的有有限限部部分分的的面面積積被被圓圓錐錐面面求求圓圓柱柱面面 xzyzzy 2xzy例例9.9.o例例9.9.xzy2問題：問題：曲面向哪個坐標面投影？曲面向哪個坐標面投影？. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面積積被被圓圓錐錐面面求求圓圓柱柱面面 xzyzzy oxzy2 xzyzzy 聯(lián)立聯(lián)立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 22 , 2 :2 zzxDxz. xzDxzzxyySddDxz.