金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)之時(shí)間序列模型的理論與方法

1、第二講第二講時(shí)間序列模型的理論與方法時(shí)間序列模型的理論與方法第一節(jié)第一節(jié) 時(shí)間序列分析模型的一般描述時(shí)間序列分析模型的一般描述第二節(jié)第二節(jié) 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)整分析與誤差修正模型協(xié)整分析與誤差修正模型第四節(jié)第四節(jié) Granger Granger 因果檢驗(yàn)因果檢驗(yàn)第一節(jié)第一節(jié) 時(shí)間序列分析模型的一般描述時(shí)間序列分析模型的一般描述 時(shí)間序列，就是各種社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標(biāo)按照時(shí)間次序排列起來(lái)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。所謂時(shí)間序列分析模型，就是揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 時(shí)間序列分析模型分確定性模型和隨機(jī)模型兩大類。確定性模型主要有趨勢(shì)

2、模型、季節(jié)模型和指數(shù)平滑法，模型一般不涉及隨機(jī)誤差項(xiàng)。指數(shù)平滑法Eviews軟件有專用語(yǔ)句及對(duì)象。 本課程主要介紹隨機(jī)時(shí)間序列分析模型。1.1 1.1 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型形式隨機(jī)時(shí)間序列分析模型形式 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型分為3種類型：自回歸自回歸模型模型（Auto-regressive Model, AR）、滑動(dòng)平均滑動(dòng)平均模型模型(Moving Average Model, MA)和自回歸滑自回歸滑動(dòng)平均模型動(dòng)平均模型（Auto-regressive Moving Average Model, ARMA)。 理論上看，自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模

3、型(AR)和滑動(dòng)平均模型(MA)是它的特殊情況。 若時(shí)間序列 為它的前期值和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，可以表示為： 則稱該時(shí)間序列 為自回歸序列，該模型為p階自回歸模型，記為AR(p)。參數(shù) 為自回歸參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。隨機(jī)項(xiàng) 為服從0均值、方差為 的正態(tài)分布，且互相獨(dú)立的白噪聲序列。隨機(jī)項(xiàng) 與 不相關(guān)。ty(2.1) 2211tptptttyyyy 12,ptyt2yyytttp12,t 若時(shí)間序列 為它的當(dāng)前與前期的誤差和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，表示為： 則稱該時(shí)間序列 為滑動(dòng)平均序列，該模型為q階滑動(dòng)平均模型，記為MA(q)。參數(shù) 為滑動(dòng)平均參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。 yt(2.2) 2211qtq

4、ttttyyt 12,q 若時(shí)間序列 為它的當(dāng)前與前期的誤差和隨機(jī)項(xiàng)，以及它的前期值的線性函數(shù)，可以表示為： 則稱該時(shí)間序列 為自回歸滑動(dòng)平均序列，該模型為(p,q)階自回歸滑動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)。參數(shù) 為自回歸參數(shù)， 為滑動(dòng)平均參數(shù)，是模型的待估參數(shù)。 yt(2.3) 22112211qtqtttptptttyyyyyt 12,p 12,q1.2 1.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型（隨機(jī)時(shí)間序列分析模型（ARAR、MAMA、ARMAARMA）的識(shí)別）的識(shí)別 對(duì)于ARMA模型，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)之前，需要進(jìn)行模型的識(shí)別。識(shí)別的基本任務(wù)是找出ARMA(p,q)、AR(p)、MA(q)模型的具

5、體特征，最主要的，是確定模型的階，即ARMA(p,q)中的p和q、AR(p)中的p、MA(q)中的q。識(shí)別的方法是利用時(shí)間序列樣本的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)（兩個(gè)重要工具）。 根據(jù)移動(dòng)平均模型 有自協(xié)方差函數(shù)： 其中： 根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，有自相關(guān)函數(shù)：yttttqt q 1122(2.4) 01)(0)1 ()(112222212qkqkkyyErqkqkkqtktk當(dāng)當(dāng)當(dāng)Et 0Ejjtjt()0002當(dāng)當(dāng))5 . 2(01)1/()(01221110qkqkkrrqqkqkkkk當(dāng)當(dāng)當(dāng) 由上式可見(jiàn)，當(dāng)kq時(shí)， 與 不相關(guān)，這種現(xiàn)象稱為截尾截尾，因此，當(dāng)kq時(shí)， 是

6、MA(q)的一個(gè)特征。換句話說(shuō)，可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開(kāi)始一直為0來(lái)判斷MA(q)模型的階。 ytyt kk 0 已知AR(p)為： 故有自協(xié)方差函數(shù)： 有自相關(guān)函數(shù)： 由上式看，AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，稱為拖尾序列拖尾序列。因此自相關(guān)函數(shù)拖尾，是AR(p)序列的一個(gè)特征。 yyyytttptpt1122),()(2211tktpktpktkttktkyyyyEyyEr(2.6) 2211pkpkkrrr)7 . 2( 22110pkpkkkkrr ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)

7、；當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有拖尾拖尾性質(zhì)。 （證明過(guò)程略） 偏自相關(guān)函數(shù)，是隨機(jī)時(shí)間序列模型的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)特征，它是在已知序列值 的條件下， 之間的關(guān)系的度量。 結(jié)論：AR(p)的偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，而ARMA(p,q)與MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的 （證明過(guò)程略）。yyyttt k 121,yyttk, AR(p)模型的識(shí)別 ：若 的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，即kp時(shí)， =0，而且它的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。 MA(q)模型的識(shí)別 ：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后 ，而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是AR(p)序列是

8、滑動(dòng)平均MA(q)序列。 ARMA(p,q)的識(shí)別 ：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則此序列是自回歸滑動(dòng)平均序列。至于模型中p和q的識(shí)別，則要從低階開(kāi)始逐步試探，直到定出合適的模型為止。ytkkkkq0,1.3 1.3 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型（隨機(jī)時(shí)間序列分析模型（ARAR、MAMA、ARMAARMA）的估計(jì)）的估計(jì) 經(jīng)過(guò)模型識(shí)別，確定了時(shí)間序列分析模型的模型結(jié)構(gòu)和階數(shù)，接著就可以對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多，大體上分為3類：最小二乘估計(jì)、矩估計(jì)和利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。MA模型的參數(shù)估計(jì)較為困難，盡量避免高階的MA。 Ev

9、iewsEviews中對(duì)上述模型的參數(shù)估計(jì)不是一般的最小二乘估計(jì)，是非中對(duì)上述模型的參數(shù)估計(jì)不是一般的最小二乘估計(jì)，是非線性形式的，具體過(guò)程略。命令與普通最小二乘估計(jì)線性形式的，具體過(guò)程略。命令與普通最小二乘估計(jì)OLSOLS類似。類似。EviewsEviews中自相關(guān)與偏相關(guān)分析中自相關(guān)與偏相關(guān)分析 建立序列，然后在主菜單中選擇Quick/Series Statistics/Correlogram,根據(jù)提示輸入序列名，選好滯后期，點(diǎn)擊OK即可得到分析圖。 根據(jù)三種模型的特征，再參照結(jié)果圖的提示即可判斷該序列是何種模型。 （過(guò)程見(jiàn)例題）第二節(jié)第二節(jié) 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢

10、驗(yàn)2.1 問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型模型2.2 時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性2.3 平穩(wěn)性的一般檢驗(yàn)平穩(wěn)性的一般檢驗(yàn)2.4 平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)2.5 單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.1 問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型回歸模型1. 常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類型常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-series data)； 截面數(shù)據(jù)截面數(shù)據(jù)(cross-sectiona

11、l data) 平行平行/面板數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見(jiàn)，也是最常用到的數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見(jiàn)，也是最常用到的數(shù)據(jù)。2. 經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸分析經(jīng)典回歸分析暗含暗含著一個(gè)重要著一個(gè)重要假設(shè)假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)“一致一致性性”要求要求被破懷。被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變是非隨機(jī)變量量 放寬該假設(shè)：放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變

12、量，則需進(jìn)一步要求：是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān)不相關(guān) Cov(X, )=0（2）nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收斂：依概率收斂： 第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：)(limnPnxnuxxuxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2第（1）條是OLS估計(jì)的需要如果如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則（則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性一致性”，基于，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也

13、就遇到麻煩。因此：注意：注意：在雙變量模型中：在雙變量模型中： 表現(xiàn)在表現(xiàn)在:兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性有很高的相關(guān)性（有較高的R2)： 例如：例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒(méi)有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中： 情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)仍然通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。系模型進(jìn)行分析

14、，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸虛假回歸”問(wèn)題問(wèn)題 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析模型方法模型方法就是在這樣的情況下，以通過(guò)揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)以通過(guò)揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。2.2 時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 時(shí)間序列分析中首先遇到的問(wèn)題首先遇到的問(wèn)題是關(guān)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性問(wèn)題。 假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程

15、（stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列）生成的，即假定時(shí)間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列三個(gè)條件：滿足下列三個(gè)條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是與時(shí)間與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是與時(shí)間與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只與時(shí)期間隔只與時(shí)期間隔k有關(guān)，有關(guān)，與時(shí)間與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 則稱

16、該隨機(jī)時(shí)間序列是則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該，而該隨機(jī)過(guò)程是一隨機(jī)過(guò)程是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（stationary stochastic process）。）。 例例2.1一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=t ， tN(0,2) 例例2.2另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游隨機(jī)游走（走（random walk），該序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成： Xt=Xt-1+t這里， t是一個(gè)白噪聲。該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的一個(gè)

17、白噪聲序列是平穩(wěn)的。 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+t 由于X0為常數(shù)，t是一個(gè)白噪聲，因此Var(Xt)=t2 即即Xt的方差與時(shí)間的方差與時(shí)間t t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。列。 容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 然而，對(duì)X取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個(gè)白噪聲，則序列 Xt是平穩(wěn)的。 后面將會(huì)看到后面將會(huì)看到: :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如果一

18、個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列它常?？赏ㄟ^(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實(shí)上，事實(shí)上，隨機(jī)游走過(guò)程隨機(jī)游走過(guò)程是下面我們稱之為是下面我們稱之為1 1階自回階自回歸歸AR(1)AR(1)過(guò)程過(guò)程的特例的特例 X Xt t= = X Xt-1t-1+ +t 不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)| |1|1時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列是時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升( 1)1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)-1)，因此是非平穩(wěn)的；因此是非平穩(wěn)的；證明證明:只有當(dāng)只有當(dāng)-1-1 10，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0

19、為均值，為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其中為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。為樣本數(shù)。 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長(zhǎng)度）。 因此:如果計(jì)算的如果計(jì)算的Q Q值大于顯著性水平為值大于顯著性水平為 的的臨界值，則有臨界值，則有1-1- 的把握拒絕所有的把握拒絕所有 k k(k0)(k0)同時(shí)為同時(shí)為0 0的假設(shè)。（比較粗糙的檢驗(yàn)）的假設(shè)。（比較粗糙的檢驗(yàn)） 例例2.3:2.3: mkkLBknrnnQ12)2(也可檢驗(yàn)對(duì)所有也可檢驗(yàn)對(duì)所有k0，自相關(guān)系數(shù)都為，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通的聯(lián)合假設(shè)，這可通過(guò)如下過(guò)如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：(2.10)表表 9

20、9. .1 1. .1 1 一一個(gè)個(gè)純純隨隨機(jī)機(jī)序序列列與與隨隨機(jī)機(jī)游游走走序序列列的的檢檢驗(yàn)驗(yàn) 序號(hào) Random1 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.28

21、0 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.24

22、9 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105

23、 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為該樣本序列的均值為0 0，方差為，方差為0.07890.0789。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 從圖形看：它在其樣本均值它在其樣本均值0 0附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到系數(shù)迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近波動(dòng)且逐漸收

24、斂于附近波動(dòng)且逐漸收斂于0 0。 由于該序列由一隨機(jī)過(guò)程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。該序列為一白噪聲。 根據(jù)Bartlett的理論：kN(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信區(qū)間都將是 可以看出可以看出: :k0k0時(shí)，時(shí)，r rk k的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受因此可以接受 k k( (k0)k0)為為0 0的假設(shè)的假設(shè)。 同樣地，從從Q QLBLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后1717期期的計(jì)算值為的計(jì)算值為26.3826.38，未超過(guò)，未超過(guò)5%5%顯著性水平的臨界值顯著性水平的臨界值27.5827.5

25、8，因此，因此, ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) k k( (k0)k0)都為都為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 因此，該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。 4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 序列Random2是由一隨機(jī)游走過(guò)程 Xt=Xt-1+t 生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第0項(xiàng)取值為0， t是由Random1表示的白噪聲。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.2246

26、81012141618RANDOM2AC 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。（注意：從（注意：從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期的計(jì)算值為期的計(jì)算值為27.189，未超過(guò)，未超過(guò)5%顯著性水平的臨界值顯著性水平的臨界值27.58，可以接受，可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)所有的自相關(guān)系數(shù) k(k0)都為都為0的假設(shè)。的假設(shè)。） 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。 圖形表示出：圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下

27、降到0，但隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢(shì)。2.4 2.4 平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) 對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了通過(guò)圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的。 單位根檢驗(yàn)（單位根檢驗(yàn)（unit root test）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1 1、DFDF檢驗(yàn)檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。也就是說(shuō)，我們對(duì)式 Xt=Xt-1+t （*） 做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說(shuō)隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根單位根。 （*）式可變形式成差分形式： Xt=( -

28、1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過(guò)（*）式判斷是否有 =0。 一般地一般地: : 檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （2.112.11）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式檢驗(yàn)其等價(jià)變形式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （2.122.12）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于0 0 。已證明，（2.11）式中的參數(shù) 11

29、或或 =1=1時(shí)，時(shí)間序列是非時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的平穩(wěn)的; ; 對(duì)應(yīng)于（2.12）式，則是 00或或 = =0。 因此，針對(duì)式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1： 0 上述檢驗(yàn)可通過(guò)上述檢驗(yàn)可通過(guò)OLS法下的法下的t檢驗(yàn)完成。檢驗(yàn)完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗(yàn)無(wú)法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量），即DF分布分布由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)

30、圍繞小于零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過(guò)OLS法估計(jì) X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86

31、 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 注意：在不同的教科書(shū)上有不同的描述，但是注意：在不同的教科書(shū)上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。結(jié)果是相同的。例如：例如：“如果計(jì)算得到的如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕界值的絕對(duì)值，則拒絕=0”的假設(shè)，原序列不的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。存在單位根，為平穩(wěn)序列。 進(jìn)一步的問(wèn)題進(jìn)一步的問(wèn)題：在上述使用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲

32、隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程AR(1)生成的生成的。 但在實(shí)際檢驗(yàn)中但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。 另外另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題。 為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fu

33、ller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗(yàn)）檢驗(yàn)。 2 2、ADFADF檢驗(yàn)檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的：檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的： 模型模型3 中的中的t是時(shí)間變量是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1: 500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2

34、.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.7750

35、3.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.38在Eviews軟件中，ADF檢驗(yàn)的臨界值隨檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量同時(shí)給出，故此表使用價(jià)值甚少。同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過(guò)ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)

36、果拒絕了零假設(shè)，）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；（從統(tǒng)計(jì)意義上看，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；（從統(tǒng)計(jì)意義上看，得到序列平穩(wěn)的結(jié)論是小概率事件發(fā)生，可靠性更得到序列平穩(wěn)的結(jié)論是小概率事件發(fā)生，可靠性更大。）大。）2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问侥Ｐ瓦m當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程：一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程：例例2.4 檢驗(yàn)19782000年間中國(guó)支

37、出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性。GDP數(shù)據(jù)見(jiàn)下表。21101. 150. 10093. 027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26） (1.91) (0.31) (8.94) (-4.95) 1）經(jīng)過(guò)償試，模型3取了2階滯后： 通過(guò)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrange multiplier test）對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)： LM（1）=0.92， LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見(jiàn)不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從從 的系數(shù)看，的系數(shù)看，t臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。臨界值，

38、不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托柽M(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 。2）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分

39、布表中的臨界值，不能拒不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。3)經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階： LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 可斷定中國(guó)支出法可斷定中國(guó)支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的（存在單位根）。（存在單位根）。 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 例2.5：檢驗(yàn)期貨合

40、約收盤(pán)價(jià)的平穩(wěn)性 以上海交易所的銅期貨2021年12月份合約的數(shù)據(jù)為計(jì)算樣本，選擇成交量最大的三個(gè)月（9、10、11）的收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)。經(jīng)Eiews處理，得結(jié)果： 1）DF檢驗(yàn)（滯后期選擇0，進(jìn)入ADF頁(yè)面后選NONE） ADF Test Statistic -42.59855 1% Critical Value -2.6019 5% Critical Value-1.9460 10% Critical Value-1.6187 從DF檢驗(yàn)結(jié)果看，期貨合約價(jià)格序列為平穩(wěn)序列。 2）ADF檢驗(yàn)，滯后期2，有截距項(xiàng)，無(wú)趨勢(shì)變量。 ADF Test Statistic -42.83332 1% Crit

41、ical Value*-3.5478 5% Critical Value-2.9127 10% Critical Value-2.5937 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PRICE) Method: Least Squares Date: 02/20/06 Time: 12:24 Sample(adjusted): 9/05/2021 9/27/2021 10/07/2021 11/29/2021 Included observations: 57 after adjusting endpoints Va

42、riableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. PRICE(-1) -0.9475140.022121-42.833320.0000 D(PRICE(-1)-0.0294910.023002-1.2821220.2054 D(PRICE(-2)-0.0290640.022994-1.2640100.2118 C14458.38333.751343.320820.0000 R-squared 0.971953 Mean dependent var284.5614 Adjusted R-squared0.970365 S.D. dependent var19

43、63.447 從結(jié)果看，ADF統(tǒng)計(jì)量小于1%的臨界值，拒絕存在單位根的零假設(shè)，序列為平穩(wěn)的。從回歸結(jié)果看，截距項(xiàng)參數(shù)估計(jì)的t統(tǒng)計(jì)量為43，說(shuō)明截距項(xiàng)顯著不為0。2.5 單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程 隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為 Xt=t 由于t是一個(gè)白噪聲，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。單整單整 一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列，次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是則稱原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(

44、0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。代表一平穩(wěn)時(shí)間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常如一些價(jià)格指數(shù)常常是是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分，都不能變?yōu)槠降灿幸恍r(shí)間序列，

45、無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為穩(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（非單整的（non-integrated）。 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序列序列，記為，記為I(1)。例例2.6 中國(guó)支出法GDP的單整性。經(jīng)過(guò)試算，發(fā)現(xiàn)例2.4中中國(guó)支出法中國(guó)支出法GDP是是1階階單整的單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=0.75

46、01 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒(méi)有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸虛假回歸或或偽回歸偽回歸（spurious regression）。 如：用中國(guó)的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國(guó)GDP時(shí)間序列作回歸，會(huì)得到較高的R2 ，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過(guò)它們有共同的趨勢(shì)罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量

47、的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸，可以消除這種趨勢(shì)性的影響。然而這種做法，只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是確定性的確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（隨機(jī)性的（stochastic），才會(huì)是有效的。換言之，如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過(guò)引入表示這一確定性趨平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過(guò)引入表示這一確定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出來(lái)。勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出來(lái)。1)如果=1，=0，則（2.13）式成為一帶位移的隨一帶位移的隨機(jī)游走過(guò)程機(jī)游走過(guò)程： Xt=+Xt-1+t （2.14） 根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨

48、勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastic trend）。 2)如果=0，0，則（2.13）式成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過(guò)程： Xt=+t+t （2.15） 根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為確定性趨勢(shì)（確定性趨勢(shì)（deterministic trend）。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過(guò)程： Xt=+t+Xt-1+t （2.13） 其中:t是一白噪聲，t為一時(shí)間趨勢(shì)。 3) 如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。兩種趨勢(shì)。 判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過(guò)ADF檢驗(yàn)中所用的第3個(gè)模型進(jìn)行。 該

49、模型中已引入了表示確定性趨勢(shì)的時(shí)間變量t，即分離出了確定性趨勢(shì)的影響。因此，(1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢(shì)示出隨機(jī)性趨勢(shì); (2)如果沒(méi)有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)如果沒(méi)有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。 隨機(jī)性趨勢(shì)可通過(guò)差分的方法消除隨機(jī)性趨勢(shì)可通過(guò)差分的方法消除 如：對(duì)式Xt=+Xt-1+t 可通過(guò)差分變換為 Xt= +t 該時(shí)間序列稱為差分平穩(wěn)過(guò)程（差分平穩(wěn)過(guò)程（differ

50、ence stationary process）；確定性趨勢(shì)無(wú)法通過(guò)差分的方法消除，而只能確定性趨勢(shì)無(wú)法通過(guò)差分的方法消除，而只能通過(guò)除去趨勢(shì)項(xiàng)消除，通過(guò)除去趨勢(shì)項(xiàng)消除，如：對(duì)式Xt=+t+t可通過(guò)除去t變換為Xt - t =+t該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程（trend stationary process）。）。最后需要說(shuō)明的是，最后需要說(shuō)明的是，趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程代表了一趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程代表了一個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期穩(wěn)定的變化過(guò)程，因而用于進(jìn)行個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期穩(wěn)定的變化過(guò)程，因而用于進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則是更為可靠的。長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則是更為可靠的。 例2.7 一階單整例題：利用基金金泰2021年5月

51、10日到2021年7月2日的周凈值數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)序列是否為單整。1）對(duì)序列作滯后3期的ADF檢驗(yàn)，得：ADF Test Statistic-1.527659 1% Critical Value*-3.4922 5% Critical Value-2.8884 10% Critical Value-2.5809序列非平穩(wěn)。2）對(duì)序列差分值作滯后3期的ADF檢驗(yàn)，得：ADF Test Statistic-4.043469 1% Critical Value*-3.4928 5% Critical Value-2.8887 10% Critical Value-2.5811一階差分后的序列平穩(wěn)，所以該基

52、金凈值序列為一階單整I（1）(可針對(duì)模型討論隨機(jī)性趨勢(shì)或確定性趨勢(shì))。第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)整與誤差修正模型協(xié)整與誤差修正模型3.1 長(zhǎng)期均衡關(guān)系與協(xié)整長(zhǎng)期均衡關(guān)系與協(xié)整3.2 協(xié)整檢驗(yàn)協(xié)整檢驗(yàn)3.3 誤差修正模型誤差修正模型3.1 長(zhǎng)期均衡關(guān)系與協(xié)整長(zhǎng)期均衡關(guān)系與協(xié)整0、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出 經(jīng)典回歸模型經(jīng)典回歸模型（classical regression model）是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于非穩(wěn)定變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會(huì)出現(xiàn)虛假回歸虛假回歸等諸多問(wèn)題。 由于許多經(jīng)濟(jì)變量是非穩(wěn)定的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來(lái)了很大限制。 但是，如果變量之間有著長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是

53、即它們之間是協(xié)整協(xié)整的（的（cointegration)，則，則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的。 例如，例如，中國(guó)居民中國(guó)居民人均消費(fèi)水平人均消費(fèi)水平與與人均人均GDPGDP變量的例子中：變量的例子中： 因果關(guān)系回歸模型要比因果關(guān)系回歸模型要比ARMAARMA模型有更好的預(yù)測(cè)功能，模型有更好的預(yù)測(cè)功能， 其其原因在于原因在于，從經(jīng)濟(jì)理論上說(shuō)，人均GDP決定著居民人均消費(fèi)水平，而且它們之間有著長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的（cointegration）。 經(jīng)濟(jì)理論指出經(jīng)濟(jì)理論指出，某些經(jīng)濟(jì)變量間確實(shí)存在著長(zhǎng)期均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機(jī)制，如果變量在某

54、時(shí)期受到干擾后偏離其長(zhǎng)期均衡點(diǎn)，則均衡機(jī)制將會(huì)在下一期進(jìn)行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài)。 假設(shè)X與Y間的長(zhǎng)期“均衡關(guān)系”由式描述 1 1、長(zhǎng)期均衡、長(zhǎng)期均衡(2.16) 10tttXY式中:t是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。 該均衡關(guān)系意味著該均衡關(guān)系意味著: :給定X的一個(gè)值，Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為0+1X。 在在t-1期末，存在下述三種情形之一：期末，存在下述三種情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在時(shí)期t，假設(shè)X有一個(gè)變化量Xt，如果變量X與Y在時(shí)期t與t-1末期仍滿足它們間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，則Y的相應(yīng)變化量由式給出:(2.17

55、) 1tttvXY式中，vt=t-t-1。 實(shí)際情況往往并非如此實(shí)際情況往往并非如此 如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則Y的變化往往會(huì)比第一種情形下Y的變化Yt大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，則Y的變化往往會(huì)小于第一種情形下的Yt 。 可見(jiàn)，可見(jiàn)，如果如果Yt= =0+1Xt+t正確地提示了正確地提示了X與與Y間的長(zhǎng)間的長(zhǎng)期穩(wěn)定的期穩(wěn)定的“均衡關(guān)系均衡關(guān)系”，則意味著，則意味著Y對(duì)其均衡點(diǎn)的偏離從對(duì)其均衡點(diǎn)的偏離從本質(zhì)上說(shuō)是本質(zhì)上說(shuō)是“臨時(shí)性臨時(shí)性”的。的。 因此，一個(gè)重要的假設(shè)就是一個(gè)重要的假設(shè)就是: :隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) t t必須是平必須是平穩(wěn)序列。

56、穩(wěn)序列。 顯然，如果 t t有隨機(jī)性趨勢(shì)（上升或下降），則會(huì)導(dǎo)致Y對(duì)其均衡點(diǎn)的任何偏離都會(huì)被長(zhǎng)期累積下來(lái)而不能被消除。 式Y(jié)t= =0+1Xt+t中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)也被稱為非均衡誤差非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個(gè)線性組合： (2.18) 10tttXY 因此，如果Yt= =0+1Xt+t式所示的X與Y間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系正確的話，（2.18）式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時(shí)間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 從這里已看到從這里已看到，非穩(wěn)定的時(shí)間序列，它們的線性組合也可非穩(wěn)定的時(shí)間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。能成為平穩(wěn)的。 例

57、如：例如：假設(shè)Yt= =0+1Xt+t式中的X與Y是I(1)序列，如果該式所表述的它們間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系成立的話，則意味著由非均衡誤差（2.18）式給出的線性組合是I(0)序列。這時(shí)我們稱變量稱變量X與與Y是協(xié)整的（是協(xié)整的（cointegrated）。）。 如果序列X1t,X2t,Xkt都是d階單整，存在向量 =(1,2,k)，使得 Zt= XT I(d-b) (2.19) 其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，則認(rèn)為序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)階協(xié)整，記為XtCI(d,b)， 為協(xié)整向量（協(xié)整向量（cointegrated vector）。協(xié)整協(xié)整 在中國(guó)居民人均消費(fèi)與人均

58、在中國(guó)居民人均消費(fèi)與人均GDP的例中的例中，該兩序列都是2階單整序列，而且可以證明它們有一個(gè)線性組合構(gòu)成的新序列為0階單整序列，于是認(rèn)為該兩序列是(2,2)階協(xié)整。 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn): :如果兩個(gè)變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整如果兩個(gè)變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時(shí)，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不階數(shù)相同時(shí)，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整?？赡軈f(xié)整。 三個(gè)以上的變量，如果具有不同的單整階數(shù)，有可三個(gè)以上的變量，如果具有不同的單整階數(shù)，有可能經(jīng)過(guò)線性組合構(gòu)成低階單整變量。能經(jīng)過(guò)線性組合構(gòu)成低階單整變量。 例如，如果存在：)2(),2(),1 (IU

59、IVIWttt并且)0() 1 (IePcWQIbUaVPtttttt那么認(rèn)為： )1 , 1 (,)1 ,2(,CIPWCIUVtttt（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟(jì)意義它的經(jīng)濟(jì)意義在于：在于：兩個(gè)變量，雖然它們具有各自的長(zhǎng)期波動(dòng)規(guī)律，但兩個(gè)變量，雖然它們具有各自的長(zhǎng)期波動(dòng)規(guī)律，但是如果它們是（是如果它們是（d,dd,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個(gè)長(zhǎng)）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)定的比例關(guān)系。期穩(wěn)定的比例關(guān)系。 例如：例如：前面提到的中國(guó)中國(guó)CPC和GDPPC，它們各自都是都是2階階單整單整，并且將會(huì)看到，它們是并且將會(huì)看到，它們是(2,2)(2,2)階協(xié)整階

60、協(xié)整，說(shuō)明它們之間存在著一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)定的比例關(guān)系，從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的意義上講，建立如下居民人均消費(fèi)函數(shù)模型 從協(xié)整的定義可以看出從協(xié)整的定義可以看出:tttGDPPCCPC10變量選擇是合理的，隨機(jī)誤差項(xiàng)一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機(jī)序列），模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟(jì)解釋。 這也解釋了盡管這兩時(shí)間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因。 從這里，我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)到：從這里，我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)到：檢驗(yàn)變檢驗(yàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中是非常重要的。型中是非常重要的。 而且，從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系而且，從變量之間