一個中學(xué)數(shù)學(xué)建模的簡要案例--------教育儲蓄問題

1、一個中學(xué)數(shù)學(xué)建模的簡要案例-教育儲蓄問題 我們以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為背景, 介紹一個數(shù)學(xué)建模的教學(xué)的設(shè)計,它的問題設(shè)計是利用“教育儲蓄”的素材，學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)列和數(shù)列求和的知識。它的教學(xué)目的是：使學(xué)生初步了解用數(shù)學(xué)建模方法解決生活中實際問題的過程，體會所學(xué)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)理論由于它的一般性和抽象性所帶來的應(yīng)用的廣泛性。培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注并能發(fā)現(xiàn)生活中常見現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)因素、數(shù)學(xué)問題，主動應(yīng)用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去概括、抽象、解決問題的意識。由于教育儲蓄問題的特殊性，可以用這個問題來學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)、應(yīng)用等差、等比數(shù)列的通項、求和等知識。教與學(xué)的過程一種參考設(shè)計是：請學(xué)生個人或組成小組，利用課余時間調(diào)查有關(guān)“教

2、育儲蓄”的資料，事先可以讓學(xué)生討論需要了解的信息是什么，主要途徑：網(wǎng)上主題詞檢索、各大銀行直接詢問。 以往的應(yīng)用題常常是“沒有源頭”的， 所需解決問題的信息都是已知的， 不多不少，沒有信息尋求、選擇、加工的過程。而解決實際問題的第一步應(yīng)該是從尋求有關(guān)信息開始。讓學(xué)生交流、互相啟發(fā)補充擴展他們?nèi)〉玫男畔?。重點確認以下信息： 教育儲蓄的適用對象：（在校中小學(xué)學(xué)生）， 儲蓄類型和特點：（是“零存整取”的形式，但享受“整存整取”的利率，不扣利息稅。），最低起存金額：（人民幣50元）， 每戶存款本金的最高限額（人民幣2萬元），支取方式：（到3年期或到六年期，憑學(xué)校開出的在學(xué)證明一次支取本息），銀行現(xiàn)行的

3、各類、各檔存款利率：（略），零存整取、整存整取的本息計算方法。 學(xué)生常常出現(xiàn)的問題是信息尋求時“丟三拉四”，用互相交流的方式常?？梢愿纳七@一點；同時，合作學(xué)習(xí)，合作解決問題的意識，也是我們特別要培養(yǎng)的東西。 3 請學(xué)生提出擬解決的問題，根據(jù)問題，在教師帶領(lǐng)下，尋找適用的數(shù)學(xué)工具，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如有：（1） 依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期（3年）或6年時一次可支取本息共多少錢？（等差數(shù)列求和，公式應(yīng)用模型）。（2） 依教育儲蓄的方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期（3年）或6年時一次可支取本息共多少錢？（公式模型的一般化）。 （3） 依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3

4、年，到期（3年）時一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少錢？（比較方知優(yōu)劣）。（4） 欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元，每月應(yīng)存入多少錢？（5） 欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計a萬元，每月應(yīng)存入多少錢？(特殊到一般)（6） 依教育儲蓄的方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到4年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少錢？（7） 依教育儲蓄的方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到b年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少錢？(分段函數(shù)的模型,一般化)（8） （開放題）：不用教育儲蓄的方式, 而用其他的儲蓄形式 , 以每月可存100元, 6年后

5、使用為例, 探討以現(xiàn)行的利率標準可能的最大收益, 將得到的結(jié)果與教育儲蓄比較.（可以涉及到等比數(shù)列、遞推關(guān)系、單調(diào)性應(yīng)用、不等式比較等許多知識）（9） （開放題）：學(xué)生自己設(shè)計的其他計算題（如自己設(shè)立指標，計算并比較3年期和6年期的教育儲蓄的相對收益的大??；設(shè)計一項專項儲蓄方案等; 設(shè)計一個回報率更高的投資方案等。）（10） (開放題): 將問題解決過程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型(等差數(shù)列或復(fù)利增長模型)進一步抽象出來, 看看它還有怎樣的應(yīng)用?（11） 4. 學(xué)生交流計算的結(jié)果和他們發(fā)現(xiàn)和提出的新問題. 可以讓學(xué)生報告小組的討論結(jié)果并分工寫成解題報告或小論文。教師應(yīng)特別注意學(xué)生在求解過程中提出的新問題，

6、如有可能可以利用這些問題形成新的問題求解的循環(huán)。教師注意及時給予鼓勵和肯定性的評價和進一步工作的建議，也可以通過學(xué)生之間質(zhì)疑、答辯、評價來實現(xiàn)數(shù)學(xué)之外的教育功能。 5 對這個素材進行教學(xué)設(shè)計時的建議： 注重問題情景的創(chuàng)設(shè)，盡可能使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模解決教育儲蓄問題的完整過程，特別是數(shù)據(jù)采集，問題設(shè)計，一般化的討論，結(jié)果交流和評價等環(huán)節(jié)盡可能讓學(xué)生參與。 注意計算器、計算機工具的使用，特別是在求數(shù)值解的過程中。 淡化對等差, 等比數(shù)列一般性質(zhì)的過度講解與討論，圍繞問題的解決的需求介紹等差, 等比數(shù)列的相關(guān)知識。鼓勵學(xué)生自己圍繞問題尋求相關(guān)的知識。 鼓勵學(xué)生的合作學(xué)習(xí)、取長補短。注意設(shè)計開放的“結(jié)尾

7、”，給學(xué)生思考的空間，鼓勵學(xué)生提出自己的問題和有創(chuàng)意的解法。24 數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略與教學(xué)建議新的數(shù)學(xué)課程標準中，數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不再單獨設(shè)置，而是滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中。高中階段至少各應(yīng)安排一次較為完整的數(shù)學(xué)建?；顒?。 在中學(xué), 特別是高中階段, 可以針對學(xué)生的不同發(fā)展水平，分層次開展多樣的數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?；顒印Ｐ问娇梢允嵌喾N多樣的，常見的主要有以下三種： (1) 結(jié)合正常的課堂教學(xué)，在部分環(huán)節(jié)上“切入”應(yīng)用和建模的內(nèi)容， (2) 以數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模為主題的課外的活動， (3) 數(shù)學(xué)建模選修課程。 中學(xué)生興趣廣泛，好動。利用這一特點，我

8、們可以把應(yīng)用和建模的內(nèi)容做得活動性更強一些。問題的設(shè)計也可以更開放一些，這樣可以給更多的學(xué)生施展才華的機會，特別是一些學(xué)業(yè)成績不很好的學(xué)生在活動中常常可以揚長避短，做出很好的結(jié)果。教師在對這些學(xué)生的鼓勵中可以很好地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。活動可以以個人或小組為單位，在教師的參與和指導(dǎo)下，用課外完成定時的作業(yè)、成品展示交流、數(shù)據(jù)與結(jié)果的報告、現(xiàn)場的比賽等形式進行。建模過程中要強調(diào)發(fā)展學(xué)生們的主體意識、合作意識, 鼓勵學(xué)生們能動地參與建模的各個環(huán)節(jié)，主動地提問題、想問題、找問題、合作學(xué)習(xí)、優(yōu)勢互補、發(fā)揮特長、合作解決問題。建模教學(xué)中特別提倡采用小組學(xué)習(xí)、集體討論、論文報告答辯等以學(xué)生自主實踐活動為主體

9、的教學(xué)模式。中學(xué)中開展數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?；顒拥年P(guān)鍵是尋找一批適合學(xué)生參與的“好的問題”, 教師在選擇這些問題時，應(yīng)特別注意以下幾點：（1） 應(yīng)努力選擇與學(xué)生的生活實際相關(guān)的問題，并減少對問題不必要的人為加工和刻意雕琢。（2） 數(shù)學(xué)建模問題的應(yīng)努力表現(xiàn)出建模的全過程，而不僅僅是問題本身的解決。（3） 數(shù)學(xué)建模選用的問題最好有較為寬泛的數(shù)學(xué)背景、有不同的層次以便于不同水平學(xué)生的參與, 并注意問題的可擴展性和開放性。（4） 應(yīng)鼓勵學(xué)生在問題分析解決的過程中使用計算工具和成品工具軟件。（5） 提倡教師自己動手、因地制宜地收集、編制、改造數(shù)學(xué)應(yīng)用或建模問題， 以更適合學(xué)生的使用，并根據(jù)所教學(xué)生的實際情況采取

10、適當?shù)慕虒W(xué)或?qū)W習(xí)策略。教師把握教學(xué)目標時應(yīng)立足于“做”而不是講，立足于學(xué)生對問題的分析，對解決問題過程的理解，而不以僅僅有正確的解答為滿足。要讓學(xué)生在問題、困難、挑戰(zhàn)、挫折、取勝的交替體驗中；在選擇、判斷、協(xié)作、交流的輪換操作中; 經(jīng)歷一個個學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué), 進而發(fā)現(xiàn)問題, 走向新的學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程。從而培養(yǎng)能力、激發(fā)興趣、形成學(xué)生主動學(xué)習(xí)的良性循環(huán)。要盡可能地通過數(shù)學(xué)建?；顒樱瑸楸M可能多的學(xué)生提供參與解決實際問題的機會，及時鼓勵這種參與。盡可能使學(xué)生通過問題解決的過程獲得成功感，即使問題尚未真正解決。數(shù)學(xué)建模的成果可以為學(xué)生建立一種更表現(xiàn)學(xué)生素質(zhì)的評價體系。建模過程應(yīng)為不同水平的學(xué)生都提

11、供體驗成功的機會，真正把篩子變成泵。實際上數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程（或者更自然地說是師生一起學(xué)和做的過程）更有利于發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)好的問題環(huán)境, 激發(fā)學(xué)生自主地探索解決問題的積極性和創(chuàng)造性上; 學(xué)生的主體作用體現(xiàn)在問題的探索、發(fā)現(xiàn)、解決的深度和方式盡量由學(xué)生自主控制和完成。它體現(xiàn)了教學(xué)過程由以教為主到以學(xué)為主的重心的轉(zhuǎn)移。課堂的主活動不應(yīng)都是教師的講授, 而應(yīng)是學(xué)生自主的自學(xué)、討論、調(diào)查、探索、解決問題。教師平等地參與學(xué)生的探索、學(xué)習(xí)活動。在教學(xué)的組織中體現(xiàn)“學(xué)法”，把教和學(xué)融為一體。數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和實踐也應(yīng)促進了課本內(nèi)外其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。同學(xué)們在解決問

12、題的困惑和克服困難的過程中體會到了數(shù)學(xué)理論知識的作用。 教師要在自己的視野內(nèi)努力尋找適合于自己所教學(xué)生的數(shù)學(xué)建模問題，做好每個問題解決過程的記錄，學(xué)生成功的經(jīng)驗和自己在挫折中得到的教訓(xùn)對于今后的數(shù)學(xué)建模的教學(xué)設(shè)計有重要的價值，親身實踐、及時反思總結(jié)這也是教師由數(shù)學(xué)建模的生手到行家的有效途徑。 評價學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中的表現(xiàn)時，要重過程、重參與。不要苛求數(shù)學(xué)建模過程的嚴密、結(jié)果的準確。評價內(nèi)容應(yīng)關(guān)注以下幾個方面：創(chuàng)新性。 問題的提出和解決的方案有新意?，F(xiàn)實性。 問題來源于學(xué)生的現(xiàn)實。 真實性。 確實是學(xué)生本人參與制作的，數(shù)據(jù)是真實的。 合理性。 建模過程中使用的數(shù)學(xué)方法得當，求解過程合乎常理。有效性。 建模的結(jié)果有一定的實際意義。以上幾個方