高數(shù) 高等數(shù)學(xué) 微分練習(xí)題及答案詳解(南風(fēng)暖心)

1、高數(shù) 高等數(shù)學(xué) 微分練習(xí)題及答案詳解(南風(fēng)暖心)第二節(jié) 微分2.1 微分的概念一、微分概念的引入在實(shí)際測(cè)量中，由于受到儀器精度的限制，往往會(huì)產(chǎn)生誤差。例如x0為準(zhǔn)確數(shù)，實(shí)際測(cè)量出是x*x0x為x0的近似數(shù)，由此產(chǎn)生的誤差為x相應(yīng)產(chǎn)生的函數(shù)值的誤差yf(x0x)f(x0)，往往需要估計(jì)y的值。如果f(x0x)，f(x0)計(jì)算很復(fù)雜。因此計(jì)算y也很麻煩或者實(shí)際中只知道近似數(shù)x*與誤差x，又如何估計(jì)y?假設(shè)f(x)存在，則f(x)，有 f(x)，0，于是 yf(x0)xx，而 (1)即 x0(x)(x0)因此，當(dāng)x很小時(shí)， yf(x0)x在實(shí)際中如果不知道x0，只知道x*，由x0，x*相差很小，則

2、yf(x*)x，從而可以估計(jì)出y。從(1)式我們看到，f(x0)相對(duì)x是一個(gè)常數(shù)，x是x的高階無窮小，如果yAx0(x)(x0)，則yAx，由此得到微分的概念。二、微分的概念 定義 設(shè)yf(x)在x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，若 yf(xx)f(x)可表示為 yAxo(x) (x0)其中A是寫x無關(guān)的常數(shù)，Ax稱為y的線性部。則稱yf(x)在點(diǎn)x處可微，稱線性部Ax為yf(x)在點(diǎn)x處的微分，記為dy，即dyAx。三、可微與可導(dǎo)的關(guān)系 從概念的引入，我們可以看到可導(dǎo)必可微，反之也是正確的。因此有定理 函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x可微的充要條件是函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)。且Af(x)。證 充分性，由

3、f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，有 f(x)，于是 f(x)，其中0，有yf(x)xx，由0，有xo(x)(x0)所以 yf(x)xo(x) (x0)因此，yf(x)在點(diǎn)x處可微且f(x)A。必要性 由yf(x)在點(diǎn)x處可微，由定義知 yAx0(x) (x0)，A與x無關(guān)。由AAf(x)所以yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)。于是，若yf(x)在點(diǎn)x處可微，則 dyAx,由Af(x)，有 dyf(x)x由函數(shù)x在x處可微，則dx(x)xx，即自變量的改變量等于自變量的微分，因此 dyf（x）dx等價(jià)于f(x)由此可見，導(dǎo)數(shù)f(x)等于函數(shù)yf(x)的微分dy與自變量x的微分dx的商。因此，導(dǎo)數(shù)又稱為微商，這時(shí)不僅可

4、以看成一個(gè)整體記號(hào)，也可以看成dy與dx的商。 下面舉幾個(gè)例子，來說明微分的一些實(shí)際意義(1) 圓面積Sr2，其中r為圓半徑，則圖2-6S(rr) 2r22rr(r) 2 ds2rr2rdr當(dāng)半徑有增量r時(shí)，圓面積的增量S，如圖中圓環(huán)表示，用微分ds近似它即以邊長(zhǎng)為2r(圓)環(huán)內(nèi)圓長(zhǎng))高為圓環(huán)厚度dr的長(zhǎng)方形面積來近似。如圖2-7圖2-7 (2)圓柱體體積Vr2h，其中r為圓柱體的底面半徑，h為圓柱的高 v(rr) 2hr2h 2rhhrh(r) 2dv2rhr2rhdr圖2-8當(dāng)?shù)酌姘霃接性隽縭時(shí)，圓柱體的增量v，如圖中空心圓柱表示，用微分dv近似，即底面長(zhǎng)為2r(內(nèi)圓柱底面周長(zhǎng))寬為h(圓

5、柱的高)高為圓柱厚度r的長(zhǎng)方體體積。如圖2-9(3)球的體積vr3(其中r為地球半徑)，當(dāng)半徑有增量r時(shí)，球體積的增量(即薄球殼的體積v) V(rr)3r3 r33r2r3rr3r3 4r2r(4rrr2)r dv4r2r即薄球殼的體積v用微分dv近似即以球殼內(nèi)球面面積4r2與厚dr的乘積來近似。四、微分的幾何意義若yf(x)在點(diǎn)x處可微，則yf(x)xo(x)dyo(x)圖2-9及PT中曲線yf(x)在曲線上點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率tanf(x) yf(xx)f(x)NQdyf(x)xtanxNT圖2-10o(x)ydyNQTQ由dyy，即 NTNQ，則 PTPQ因此，當(dāng)x很小時(shí)，可用線段

6、NT近似代替NQ，或者說在P點(diǎn)鄰近，可用切線段PT近似代替曲線弧。2.2 微分的基本性質(zhì)一、微分基本公式由dyf(x)dx，將導(dǎo)數(shù)公式表中每個(gè)導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分dx，便得相應(yīng)的微分公式(公式略，請(qǐng)讀者寫出來)。二、微分的四則運(yùn)算定理 設(shè)u(x)，v(x)在點(diǎn)x處均可微，則uv，uv，cu(c為常數(shù))， (v0)在點(diǎn)x處都可微，且1。 d(uv)dudv2。 d(uv)vduudv特別d(cu)cdu(c為常數(shù))3。 d() (v0)，特別d() (v0)注：微分的四則運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算類似，只須把導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的導(dǎo)數(shù)改成微分，就可得到微分的四則運(yùn)算。證3 d()()dxdx (v0)三、一

7、階微分不變形定理 若u(x)在x處可微，yf(u)在點(diǎn)u(u(x)處可微，則復(fù)合函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可微，且 dyf(u)du證：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，yf(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以在點(diǎn)x處可微，且 dyWBf(x)(x)dx f(x)d(x) f(u)du dyf(u)du，即這里u是中間變量，它與當(dāng)x是自變量，yf(x)在點(diǎn)x處可微，dyf(x)dx形式一樣。我們稱之為微分的一階不變性。 例1. ye解法一 由yecos (x2)(2x)于是 dyydxecos (x2)(2x)dx解法2 利用微分的四則運(yùn)算和微分一階不變性 dydeedsin(x2) ecos (x2)d(x2) ec

8、os (x2)d(x2)d ecos (x2)2xdxdx ecos(x2)(2x)dx從這里也可得到y(tǒng)ecos (x2)(2x)例2. 求由方程2yx(xy) ln（xy）所確定的函數(shù)yy(x)的微分dy解 對(duì)方程兩端求微分 d(2yx)ln (xy)d(xy)（xy）dln(xy)得 2dydxln(xy)(dxdy)(dxdy)解出dy，有 dydx例3. 利用微分求，解：y從這里可以看出，只要求(t)，(t)存在且(t)0，存在dt 2.3 近似計(jì)算與誤差估計(jì)一、近似計(jì)算若yf(x)在點(diǎn)x0處可微，即 yf(x0x)f(x0)f(x0)xo（x） (x0)當(dāng)x很小時(shí)，有 yf(x0)x

9、 (1)即f(x0x)）f(x0)f(x0)x，則 f(x0x)f(x0)f(x0)x (2)(1)式為我們提供計(jì)算y近似值的公式(2)式為我們提供計(jì)算f(x0x)近似值的公式特別x00有f(x)f(0)f(0)x設(shè)xx，若x很小時(shí)，有 f(x)f(0)f(0)x，于是當(dāng)x很小時(shí) sinxtsxx，ln (1x)x ex1x，(1x)1x (0)與我們前面講的等價(jià)無窮小量完全一致。例4. 計(jì)算的近似值解 設(shè)f(x) f(x)x，f（）由f(1.002)f(10.002) f(1)f(1)0.002 10.0021.00002二、誤差估計(jì)從微分概念的引入可知，應(yīng)用微分來估計(jì)誤差，是非常方便迅速的

10、。設(shè)x0為準(zhǔn)確數(shù)，x*為近似的數(shù)，則x*xx稱為準(zhǔn)確數(shù)x0的絕對(duì)誤差限，若存在正數(shù)x，使x*x0xx，則稱x為絕對(duì)誤差限。稱 (或)為準(zhǔn)確數(shù)的相對(duì)誤差，而 (或)為相對(duì)誤差限。若yf(x)，則 ydyf(x0)xf(x0)xy于是yf(x0)x或f(x*)x稱為y的絕對(duì)誤差限 x或x稱為y的相對(duì)誤差限。例5. 為了計(jì)算出球的體積精確到1%，問度量球的直徑D所允許的最大相對(duì)誤差是多少?解 球的體積v ()3由 dvdD，于是 3由1%有 31%，即%0.33%2.4* 高階微分若yf(x)在區(qū)間X上可微(x為自變量)，則 dyf(x)dx這里dy不僅與x有關(guān)，與dxx也有關(guān)，而x是與x無關(guān)的一個(gè)

11、量。我現(xiàn)在是研究dy與x之間的關(guān)系。因此，在這里x相對(duì)于x來說是個(gè)常數(shù)，所以dy是x的函數(shù)，如果dy又可微即f(x)存在，則d(dy)d(f(x)dx)d(f(x)dxf(x)dxdxf(x)dx2稱為f(x)的二階微分，記作d2y，即 d2yf(x)dx2一般地若dn1yf（n1）（x）dxn1可微，即f（n）(x)存在則d(dn1y)d(f（n1） (x)dxn)d(f（n1）(x)dxn1 f（n）(x)dxdxnf（n）(x)dxn稱為f(x)的n階微分，記作dny，即dnyf（n）(x)dxn則 f（n）(x) (x為自變量)因此f（n）(x)可看成dny與dxn的商，又稱n階微商。我們知道不論u是中間變量，還是自變量，f(u)存在(若u是中間變量，u(x)存在)都有一階微分不變性。 dyf(u)du二階有沒有微分不變性呢，若x是自變量，f(x)存在，則 d2yf(x)dx2若yf(u)，u(x)且f(u)，都存在由 dyf(u)du,于是 d2yd(dy)d(f(u)du)dudf(u)f(u)d(du) f(u)du duf(u)d2u f(u)du2